Zakharov–Kuznetsov Equation for Describing Low-Frequency Nonlinear Dust Acoustic Perturbations in Saturn’s Dusty Magnetosphere

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Трудно представить себе заполненную плазмой область Солнечной системы, свободную от пылевых частиц [1]. Нано- и микромасштабные пылевые частицы обнаруживаются в межпланетном космическом пространстве, плазме ионосфер и магнитосфер планет Солнечной системы, планетарных кольцах, окрестностях космических тел, не имеющих собственной атмосферы, и др.

Важным объектом с точки зрения исследований пылевой плазмы является магнитосфера Сатурна [2, 3]. Параметры плазмы в ней измеряли еще в 1980-х гг. в рамках миссий Voyager 1 и 2 [4]. Существование волн в плазме также было доказано на основе данных, полученных аппаратом Voyager 1 [5]. Теоретические исследования ионно-звуковых волн в магнитосфере Сатурна проводились в работе [6].

Плазма в магиносфере Сатурна обладает рядом особенностей по сравнению с другими космическими системами, исследования которых в настоящее время проводят весьма активно (для Луны и Марса см., например, работы [7, 8]).

Измерения параметров электронов магнитосферы Сатурна, полученные в рамках миссий Voyager [4, 5] и Cassini [9], показали сосуществование двух видов (“горячих” и “холодных”) электронов. Оказалось [9], что скорости электронных популяций подчиняются так называемому κ-распределению с независимыми низкими значениями κ.

Важным источником пылевых частиц в магнитосфере Сатурна является Энцелад — один из крупнейших спутников, известный своими ледяными гейзерами (ледяными вулканами, криовулканами). Пылевая плазма в его окрестностях была обнаружена в рамках миссии Cassini [2, 3].

Исследования в рамках этой миссии указали также на возможную причину ее появления — космический аппарат Cassini обнаружил фонтаны частиц пыли и небольших частиц водяного льда (которые также могут трактоваться как пылевые частицы) высотой во многие сотни километров, бьющие из четырех трещин в районе южного полюса Энцелада [10]. Все это указывает на актуальность проблемы исследования нелинейных волновых структур в условиях магнитосферы Сатурна, типичными для которой являются пылевые звуковые волны.

Важным видом нелинейных структур, наблюдавшихся в космосе [11, 12], являются солитоны, а в пылевой плазме — пылевые звуковые солитоны [13]. Для плазмы запыленной магнитосферы Сатурна рассмотрение пылевых звуковых солитонов проводилось [14] в одномерном случае в ситуации, когда не учитывается анизотропия, связанная, например, с присутствием магнитного поля, что и позволяет использовать одномерные (в пространстве) уравнения.

Далее было разработано [15] двумерное описание нелинейных пылевых звуковых волн в запыленной магнитосфере Сатурна, которая содержит электроны двух сортов (“горячие” и “холодные”), подчиняющиеся каппа-распределению, ионы магнитосферы, а также заряженные пылевые частицы. В рамках данного рассмотрения приведен вывод уравнения Кадомцева–Петвиашвили, описывающего нелинейную динамику почти одномерных волновых структур, в которых локализация вдоль вектора магнитного поля, значительно сильнее, чем в других направлениях, и получены решения в виде пылевых звуковых одномерных солитонов и двумерных N-солитонов.

Вместе с тем в работе [15] рассматривалась ситуация, когда гирочастота пылевых частиц ω_Bd настолько мала, что для частот пылевых звуковых волн ω выполнено соотношение ω >> ω_Bd. В этом случае, с одной стороны, влиянием магнитного поля можно пренебречь, но с другой — существует анизотропия, связанная с вектором магнитного поля, которая может повлиять на структуру нелинейной волны. Если при этом имеется почти одномерный волновой пакет, в котором локализация вдоль вектора магнитного поля значительно сильнее, чем в других направлениях, то, как показано в работе [15], нелинейные волны в запыленной магнитосфере Сатурна описываются уравнением Кадомцева–Петвиашвили.

В настоящей работе рассматривается противоположная ситуация, когда частоты пылевых звуковых волн не превышают ω_Bd. В обычной плазме (не содержащей пылевых частиц) в случае низких частот и блинообразной формы волнового пакета вдоль внешнего магнитного поля нелинейные волны описываются хорошо известным уравнением Захарова–Кузнецова (см., например, [16]).

Особенности пылевой плазмы магнитосферы Сатурна по сравнению с обычной плазмой весьма велики и ограничиваются не просто заменой ионов на заряженные пылевые частицы. В частности, электроны плазмы магнитосферы Сатурна двух сортов подчиняются каппа-распределению, а при рассмотрении обычной плазмы используется распределение Больцмана для электронов [16]. Поэтому существенный интерес представляет рассмотрение нелинейных пылевых звуковых волн в ситуации низких частот, не превышающих ω_Bd.

Целью настоящей работы является подобное рассмотрение, вывод дифференциального уравнения, описывающего нелинейные пылевые звуковые волны в ситуации низких частот, рассмотрение некоторых частных его решений для параметров плазмы запыленной магнитосферы Сатурна.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Волновые явления, связанные с пылевой звуковой модой, в магнитосфере Сатурна определяются, главным образом, динамикой и процессами зарядки пылевых частиц. С учетом влияния магнитного поля B (без ограничения общности можно считать, что вектор B сонаправлен с осью z), уравнения непрерывности и движения (в координатной форме) имеют вид

$\frac{\partial n_d}{\partial t}+\frac{\partial n_d{\upsilon }_{d,x}}{\partial x}+\frac{\partial n_d{\upsilon }_{d,y}}{\partial y}+\frac{\partial n_d{\upsilon }_{d,z}}{\partial z}=0$, (1)

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\upsilon }_{d,x}}{\partial t}+{\upsilon }_{d,x}\frac{\partial {\upsilon }_{d,x}}{\partial x}+{\upsilon }_{d,y}\frac{\partial {\upsilon }_{d,x}}{\partial y}+\\ +{\upsilon }_{d,z}\frac{\partial {\upsilon }_{d,x}}{\partial z}+\frac{q_d}{m_d}\frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{q_{d}B}{m_{d}c}{\upsilon }_{d,y}\end{array}$, (2)

$\begin{array}{l}\frac{\partial {\upsilon }_{d,y}}{\partial t}+{\upsilon }_{d,x}\frac{\partial {\upsilon }_{d,y}}{\partial x}+{\upsilon }_{d,y}\frac{\partial {\upsilon }_{d,y}}{\partial y}+\\ +{\upsilon }_{d,z}\frac{\partial {\upsilon }_{d,y}}{\partial z}+\frac{q_d}{m_d}\frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{q_{d}B}{m_{d}c}{\upsilon }_{d,x}\end{array}$, (3)

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\upsilon }_{d,z}}{\partial t}+{\upsilon }_{d,x}\frac{\partial {\upsilon }_{d,z}}{\partial x}+{\upsilon }_{d,y}\frac{\partial {\upsilon }_{d,z}}{\partial y}+\\ +{\upsilon }_{d,z}\frac{\partial {\upsilon }_{d,z}}{\partial z}+\frac{q_d}{m_d}\frac{\partial \phi }{\partial z}=0\end{array}$. (4)

Здесь n_d, m_d, q_d = eZ_d — концентрация, масса и заряд пылевых частиц (Z_d — зарядовое число пылевой частицы); B = |B|, -e — заряд электрона; υ_d,x, υ_d,y, υ_d,z — компоненты скорости пылевых частиц, φ — самосогласованный электростатический потенциал плазмы, удовлетворяющий уравнению Пуассона

$\Delta \phi =4\pi e\left(n_{e,c}+n_{e,h}-n_i-n_d{Z}_d\right)$. (5)

Здесь n_i — концентрация ионов, n_e,c(e,h) — концентрация “холодных” (“горячих”) электронов.

В магнитосфере Сатурна присутствуют два сорта электронов: “горячие” (с характерными температурами порядка несколько 100 эВ) и “холодные” (с характерными температурами около 10 эВ). Такие электроны удовлетворяют κ-распределению по скоростям и соответствуют двум типам распределений (распределениям для “холодных” и “горячих” электронов) [17]:

$n_{e,c}=n_{e,c0}{\left(1-\frac{1}{{\kappa }_c-3/2}\frac{e\phi }{T_{ec}}\right)}^{-{\kappa }_c+1/2}$, (6)

$n_{e,h}=n_{e,h0}{\left(1-\frac{1}{{\kappa }_h-3/2}\frac{e\phi }{T_{eh}}\right)}^{-{\kappa }_h+1/2}$. (7)

Здесь n_e,c0(h0) — невозмущенные концентрация холодных” (“горячих”) электронов, T_e,c(eh) — температура “холодных (“горячих”) электронов, выраженная в энергетических единицах; κ_c и κ_h — параметры для κ-распределений “холодных” и “горячих” электронов соответственно. Отметим, что κ_c, κ_h > 3/2. Ионы подчиняются распределению Больцмана

$n_i=n_{i0}e{}^{-e\phi /T_i}$, (8)

где T_i — температура ионов, выраженная в энергетических единицах. Здесь и далее индекс 0 соответствует невозмущенным состояниям.

В данной работе не учитываются вариации зарядов пылевых частиц внутри нелинейной пылевой звуковой волновой структуры. Возможность использования такого приближения обусловлена медленностью пылевых звуковых временны́х масштабов по сравнению с временны́ми масштабами, характеризующими процессы зарядки пылевых частиц (см., например, работу [18]). Тем не менее для нахождения характерного заряда пылевой частицы внутри нелинейной волновой структуры при определении, скажем, формы нелинейной структуры следует провести вычисления зарядового числа, которые, вообще говоря, отличаются от вычислений в обычной пылевой плазме, поскольку в рассматриваемой ситуации электроны удовлетворяют κ-распределениям, тогда как в обычной пылевой плазме на данных временны́х масштабах электроны — больцмановские. Таким образом, представляется необходимым привести уравнение, характеризующее заряд пылевой частицы.

Можно считать, что на пространственно-временны́х масштабах, характерных для пылевых звуковых волн, заряд пылевой частицы описывается трансцендентным уравнением

$I_i\left(Z_d\right)=I_{e,c}\left(Z_d\right)+I_{e,h}\left(Z_d\right)$, (9)

где ионный ток описывается выражением [19]

$I_i\left(Z_d\right)=4\pi a^{2}e{n}_{i0}\sqrt{\frac{T_i}{2\pi m_i}}\left(1-\frac{e^2{Z}_d}{a{T}_i}\right)$, (10)

а токи “холодных” (“горячих”) электронов — уравнением

$\begin{array}{c}{I}_{e,c\left(h\right)}\left(Z_d\right)=2\sqrt{\pi }{a}^{2}e{n}_{e\mathrm{0,}c\left(h\right)}\frac{\sqrt{{\kappa }_{c\left(h\right)}-3/2}}{{\kappa }_{c\left(h\right)}\left({\kappa }_{c\left(h\right)}-1\right)}\times \\ \times \frac{\Gamma \left({\kappa }_{c\left(h\right)}+1\right)}{\Gamma \left({\kappa }_{c\left(h\right)}-1/2\right)}\sqrt{\frac{T_{e,c\left(h\right)}}{m_e}}{\left(1-\frac{1}{{\kappa }_{c\left(h\right)}-3/2}\frac{e^2{Z}_d}{a{T}_{e,c\left(h\right)}}\right)}^{-{\kappa }_{c\left(h\right)}+1}\end{array}$, (11)

где a — характерный размер пылевых частиц, m_i — масса ионов, Г(κ_c(h)) — гамма-функция.

Следует отметить, что в условиях плазмы магнитосферы Сатурна заряды пылевых частиц оказываются отрицательными (см, например, работы [14, 15]).

В условиях квазинейтральности

$n_{i0}+Z_d{n}_{d0}=n_{e0}$, (12)

где $n_{e0}=n_{e\mathrm{0,}c}+n_{e\mathrm{0,}h}$ — суммарная концентрация невозмущенных “холодных” и “горячих” электронов. Удобно ввести коэффициент соотношения между концентрациями “холодных” и “горячих” электронов α (отметим, что 0 ≤ α ≤ 1), тогда

$n_{e\mathrm{0,}c}=\alpha \left(n_{i0}+Z_d{n}_{d0}\right)$, (13)

$n_{e\mathrm{0,}h}=\left(1-\alpha \right)\left(n_{i0}+Z_d{n}_{d0}\right)$. (14)

В предположении малости параметра $\tilde{\phi }=e\phi /T_i$ распределения электронов (6) и (7) принимают вид

$n_{e,c\left(h\right)}=n_{e,c\left(h\right)0}\left(1+a_{\mathrm{1,}c\left(h\right)}\tilde{\phi }+a_{\mathrm{2,}c\left(h\right)}{\tilde{\phi }}^2\right)$, (15)

где

$a_{\mathrm{1,}c\left(h\right)}=\frac{{\kappa }_{c\left(h\right)}-1/2}{{\kappa }_{c\left(h\right)}-3/2}\frac{T_i}{T_{e,c\left(h\right)}}$, (16)

$a_{\mathrm{2,}c\left(h\right)}=\frac{\left({\kappa }_{c\left(h\right)}-1/2\right)\left({\kappa }_{c\left(h\right)}+1/2\right)}{2{\left({\kappa }_{c\left(h\right)}-3/2\right)}^2}{\left(\frac{T_i}{T_{e,c\left(h\right)}}\right)}^2$. (17)

При этом распределение ионов (8) принимает вид

$n_i=n_{i0}\left(1-\tilde{\phi }+{\tilde{\phi }}^2/2\right)$. (18)

Систему уравнений (1)–(5) удобно представить в следующих безразмерных переменных (отметим, что поскольку заряд пылевых частиц для параметров магнитосферы Сатурна оказывается отрицательным, в последующих обозначениях следует использовать модуль зарядового числа: |Z_d|):

$t\to {\omega }_{pd}^{-1}\tilde{t}$, (19)

$\left(x,y,z\right)\to \left(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}\right){\lambda }_D$, (20)

$\left({\upsilon }_{d,x},{\upsilon }_{d,y},{\upsilon }_{d,z}\right)\to \left({\tilde{\upsilon }}_{d,x},{\tilde{\upsilon }}_{d,y},{\tilde{\upsilon }}_{d,z}\right)C_{Sd}$ (21)

$\phi \to T_i\tilde{\phi }/e$, (22)

$n_d\to {\tilde{n}}_d{n}^{\text{'}}/\left|Z_d\right|$, (23)

где ${\omega }_{pd}=\sqrt{4\pi n^{\text{'}}\left|Z_d\right|e^2/m_d}$ — пылевая плазменная частота, ${\lambda }_D=\sqrt{T_i/4\pi n^{\text{'}}{e}^2}$ — дебаевский радиус ионов $C_{Sd}={\omega }_{pd}{\lambda }_D$, а также

$n^{\text{'}}=n_{e,c0}{a}_{\mathrm{1,}c}+n_{e,h0}{a}_{\mathrm{1,}h}+n_{i0}$. (24)

Таким образом, система уравнений (1)–(5) в безразмерном виде (19)–(24) с учетом разложения (15)–(18) по малому параметру $\tilde{\phi }\ll 1$ с точностью до $o\left({\tilde{\phi }}^3\right)$ имеет вид

$\frac{\partial {\tilde{n}}_d}{\partial \tilde{t}}+\frac{\partial {\tilde{n}}_d{\tilde{\upsilon }}_{d,x}}{\partial \tilde{t}}+\frac{\partial {\tilde{n}}_d{\tilde{\upsilon }}_{d,y}}{\partial \tilde{y}}+\frac{\partial {\tilde{n}}_d{\tilde{\upsilon }}_{d,z}}{\partial \tilde{z}}=0$, (25)

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,x}}{\partial \tilde{t}}+{\tilde{\upsilon }}_{d,x}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,x}}{\partial \tilde{x}}+{\tilde{\upsilon }}_{d,y}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,x}}{\partial \tilde{y}}+\\ +{\tilde{\upsilon }}_{d,z}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,x}}{\partial \tilde{z}}-\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial \tilde{x}}=-{\omega }_{Â}{\tilde{\upsilon }}_{d,y}\end{array}$, (26)

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,y}}{\partial \tilde{t}}+{\tilde{\upsilon }}_{d,x}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,y}}{\partial \tilde{x}}+{\tilde{\upsilon }}_{d,y}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,y}}{\partial \tilde{y}}+\\ +{\tilde{\upsilon }}_{d,z}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,y}}{\partial \tilde{z}}-\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial \tilde{y}}={\omega }_{Â}{\tilde{\upsilon }}_{d,x}\end{array}$, (27)

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,z}}{\partial \tilde{t}}+{\tilde{\upsilon }}_{d,x}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,z}}{\partial \tilde{x}}+{\tilde{\upsilon }}_{d,y}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,z}}{\partial \tilde{y}}+\\ +{\tilde{\upsilon }}_{d,z}\frac{\partial {\tilde{\upsilon }}_{d,z}}{\partial \tilde{z}}-\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial \tilde{z}}=0\end{array}$, (28)

$\frac{{\partial }^2\tilde{\phi }}{\partial {\tilde{x}}^2}+\frac{{\partial }^2\tilde{\phi }}{\partial {\tilde{y}}^2}+\frac{{\partial }^2\tilde{\phi }}{\partial {\tilde{z}}^2}=\frac{n_{e,ñ0}+n_{e,h0}-n_{i0}}{n^{\text{'}}}+{\tilde{n}}_d+\tilde{\phi }+\tilde{n}{\tilde{\phi }}^2$, (29)

где введены следующие обозначения:

$\tilde{n}=n^{\text{'}\text{'}}/n^{\text{'}}$, (30)

$n^{\text{'}\text{'}}=n_{e,c0}{a}_{\mathrm{2,}c}+n_{e,h0}{a}_{\mathrm{2,}h}-n_{i0}/2$, (31)

${\omega }_B={\omega }_{Bd}/{\omega }_{pd}$. (32)

Здесь ${\omega }_{Bd}=\left(q_{d}B\right)/\left(m_{d}c\right)$ — пылевая ларморовская частота.

3. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В линейном приближении концентрацию пылевых частиц можно представить в следующем виде:

${\tilde{n}}_d=n_0+\delta {\tilde{n}}_d$, (33)

где $\delta {\tilde{n}}_d$ — безразмерная величина возмущения концентрации пылевых частиц, вызванного изменениями потенциала $\tilde{\phi }$, а безразмерная невозмущенная концентрация пылевых частиц имеет вид

$n_0=\left|Z_d\right|\frac{n_{d0}}{n^{\text{'}}}$. (34)

С учетом квазинейтральности (12) уравнение Пуассона (29) в безразмерном виде (в предположении $\tilde{\phi }\ll 1$) с точностью до $o\left({\tilde{\phi }}^3\right)$ принимает вид

$\frac{{\partial }^2\tilde{\phi }}{\partial {\tilde{x}}^2}+\frac{{\partial }^2\tilde{\phi }}{\partial {\tilde{y}}^2}+\frac{{\partial }^2\tilde{\phi }}{\partial {\tilde{z}}^2}=\tilde{\phi }+n{\tilde{\phi }}^2+\delta {\tilde{n}}_d$. (35)

В условиях распространения гармонических волн

$\delta {\tilde{n}}_d\propto \exp \left(-i\omega t+ikr\right)$, (36)

$\tilde{\phi }\propto \exp \left(-i\omega t+ikr\right)$ (37)

из системы уравнений (25)–(28) и линеаризованного уравнения (35) следует выражение, описывающее эволюцию безразмерного потенциала $\tilde{\phi }$:

$\left\{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\tilde{t}}^2}+{\omega }_B^2\right)\left[\left(1-\tilde{\Delta }\right)\frac{{\partial }^2}{\partial {\tilde{t}}^2}-n_0\tilde{\Delta }\right]+n_0{\tilde{\Delta }}_{\perp }{\omega }_B^2\right\}\tilde{\phi }=0$. (38)

Здесь оператор Лапласа представлен в безразмерном виде $\tilde{\Delta }={\partial }^2/\partial {\tilde{x}}^2+{\partial }^2/\partial {\tilde{y}}^2+{\partial }^2/\partial {\tilde{z}}^2$, а также ${\tilde{\Delta }}_{\perp }={\partial }^2/\partial {\tilde{x}}^2+{\partial }^2/\partial {\tilde{y}}^2$.

Уравнение (38) позволяет получить хорошо известный закон дисперсии (в безразмерном виде) (см., например, [16]):

$k^2+1=\frac{n_0{k}_{\left|\right|}^2}{{\omega }^2}+\frac{n_0{k}_{\perp }^2}{{\omega }^2-{\omega }_B^2}$, (39)

где k_|| и k_⊥ — составляющие волнового вектора k вдоль и поперек магнитного поля соответственно.

Например, для длин волн, значительно превосходящих ларморовский радиус, при малых углах между направлением распространения волны и магнитным полем закон дисперсии (39) принимает вид [16]

$\omega \left(k\right)=n_0\left|k_{\left|\right|}\right|\left[1-\frac{{\left|k_{\left|\right|}\right|}^2}{2}-\frac{\left({\omega }_B^2+n_0\right)}{{\omega }_B^2}\frac{{\left|k_{\perp }\right|}^2}{2}\right]$ (40)

или в размерном виде:

$\omega \left(k\right)=C_{Sd}{n}_0\left|k_{\left|\right|}\right|\left[1-\frac{{\left|k_{\left|\right|}\right|}^2{\lambda }_D^2}{2}\left(1+\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\frac{k_{\perp }^2}{k_{\left|\right|}^2}\right)\right]$, (41)

где характерная скорость пылевого звука

$C_{SD}=\sqrt{\left|Z_d\right|\frac{n_{d0}}{n^{\text{'}}}}{C}_{Sd}$.

Поскольку вектор k_|| сонаправлен с B, а значит, параллелен оси z, уравнение в координатном пространстве, соответствующее закону дисперсии (41), имеет вид

$\begin{array}{c}\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial t}+C_{SD}\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial z}+\frac{C_{SD}{\lambda }_{De}^2}{2}\frac{{\partial }^3\tilde{\phi }}{\partial z^3}+\\ +\frac{C_{SD}{\lambda }_{De}^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)\tilde{\phi }=0\end{array}$. (42)

4. УРАВНЕНИЕ ЗАХАРОВА–КУЗНЕЦОВА

Уравнение (42) является уравнением линейного типа. Оно по форме совпадает с аналогичным уравнением для ионно-звуковых волн, полученном в работе [16] для случая обычной плазмы, когда электроны подчиняются больцмановскому распределению. Учет более высоких порядков малости в системе уравнений (25)–(29) приводит к нелинейному уравнению.

Для его вывода можно воспользоваться стандартным методом разложения по малому параметру ε [20, 21]. Используя метод асимптотического представления на основе классического анализа размерностей, новые переменные можно представить в следующем виде:

$\tau ={\epsilon }^{3/2}t$, (43)

$\xi ={\epsilon }^{1/2}x$, (44)

$\eta ={\epsilon }^{1/2}y$, (45)

$\xi ={\epsilon }^{1/2}z-M{\epsilon }^{1/2}t$. (46)

При этом разложения по малому параметру e принимают вид

$n_d=n_0+\epsilon n_1+{\epsilon }^2{n}_2$, (47)

${\upsilon }_{d,x}={\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}$, (48)

${\upsilon }_{d,y}={\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}$, (49)

${\upsilon }_{d,z}=\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}$, (50)

$\phi =\epsilon {\phi }_1+{\epsilon }^2{\phi }_2$. (51)

Полученное таким образом нелинейное уравнение для пылевых звуковых возмущений в плазме магнитосферы Сатурна с учетом влияния магнитного поля для длин волн, значительно превосходящих ларморовский радиус, при малых углах между направлением распространения волны и магнитным полем имеет вид

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial \tau }-C_{SD}\frac{2n_{0}n+3}{2n_0}{\phi }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial \zeta }+\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{{\partial }^3{\phi }_1}{\partial {\zeta }^3}+\\ +\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\frac{\partial }{\partial \zeta }\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\eta }^2}\right){\phi }_1=0\end{array}$. (52)

Подробности вывода нелинейного уравнения (52) приведены в приложении 1.

Уравнение (52) можно переписать в канонической форме, для этого необходимо заменить φ₁ на –φ₁:

${\phi }_1\to -{\phi }_1$. (53)

В случае замены (53) уравнение (52) принимает вид

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial \tau }+C_{SD}\frac{2n_{0}n+3}{2n_0}{\phi }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial \zeta }+\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{{\partial }^3{\phi }_1}{\partial {\zeta }^3}+\\ +\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\frac{\partial }{\partial \zeta }\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\eta }^2}\right){\phi }_1=0\end{array}$. (54)

Полученное таким образом уравнение (54) является уравнением Захарова–Кузнецова (см., например, работу [16]), полученное для ионно-звуковых волн в обычной плазме, не содержащей пылевых частиц.

5. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

Решение уравнения Захарова–Кузнецова (54) ищем в виде распространяющихся пылевых звуковых волн с характерными пространственными размерами, значительно превосходящими дебаевский радиус λ_D . Перейдем для этого в систему отсчета, в которой ось ζ′ ориентирована в направлении распространения волнового пакета. Вводя угол $\vartheta$ между направлением ζ′ и магнитным полем B, развернем систему координат согласно замене:

${\xi }^{\text{'}}=\xi \cos \vartheta -\zeta \sin \vartheta$, (55)

${\eta }^{\text{'}}=\eta$, (56)

${\zeta }^{\text{'}}=\xi \sin \vartheta +\zeta \cos \vartheta$. (57)

В новой системе координат уравнение (54) принимает вид (ср. с работой [22])

$\begin{array}{l}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial \tau }+{\gamma }_1{\phi }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial {\zeta }^{\text{'}}}+{\gamma }_2{\phi }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial {\xi }^{\text{'}}}+{\gamma }_3\frac{{\partial }^3{\phi }_1}{\partial {{\zeta }^{\text{'}}}^3}+{\gamma }_4\frac{{\partial }^3{\phi }_1}{\partial {{\xi }^{\text{'}}}^3}+\\ +{\gamma }_5\frac{{\partial }^3{\phi }_1}{\partial {\xi }^{\text{'}}\partial {{\zeta }^{\text{'}}}^2}+{\gamma }_6\frac{{\partial }^3{\phi }_1}{\partial {\zeta }^{\text{'}}\partial {{\xi }^{\text{'}}}^2}+{\gamma }_7\frac{{\partial }^3{\phi }_1}{\partial {\zeta }^{\text{'}}\partial {{\eta }^{\text{'}}}^2}+{\gamma }_8\frac{{\partial }^3{\phi }_1}{\partial {\xi }^{\text{'}}\partial {{\eta }^{\text{'}}}^2}=0\end{array}$, (58)

где

${\gamma }_1=C_{SD}\frac{2n_{0}n+3}{2n_0}\cos \vartheta$, (59)

${\gamma }_2=-C_{SD}\frac{2n_{0}n+3}{2n_0}\sin \vartheta$, (60)

${\gamma }_3=\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}{\cos }^3\vartheta +\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\cos \vartheta {\sin }^2\vartheta$, (61)

${\gamma }_4=-\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}{\sin }^3\vartheta -\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\sin \vartheta {\cos }^2\vartheta$, (62)

$\begin{array}{c}{\gamma }_5=-\frac{3C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}{\cos }^2\vartheta \sin \vartheta +\\ +\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\left(2{\cos }^2\vartheta \sin \vartheta -{\sin }^3\vartheta \right)\end{array}$, (63)

$\begin{array}{c}{\gamma }_6=\frac{3C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\cos \vartheta {\sin }^2\vartheta -\\ -\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\left(2\cos \vartheta {\sin }^2\vartheta -{\cos }^3\vartheta \right)\end{array}$, (64)

${\gamma }_7=\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\cos \vartheta$, (65)

${\gamma }_8=-\frac{C_{SD}{\lambda }_D^2}{2}\frac{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}{{\omega }_{Bd}^2}\sin \vartheta$. (66)

Уравнение (58) имеет решение в виде одномерных солитонов, распространяющихся вдоль оси ζ′ со скоростью u₀:

${\phi }_{Sol}=\frac{3u_0/{\gamma }_1}{c{h}^2\left[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{u_0}{{\gamma }_3}}\left({\zeta }^{\text{'}}-u_0\tau \right)\right]}$. (67)

На рис. 1 представлены семейства таких солитонов, построенных для различных параметров, характерных для плазмы магнитосферы Сатурна. При вычислениях использовались следующие значения: n_i0 = 10 см^–3, T_i = 100 K, T_ec = 10 эВ, T_eh = 700 эВ, a = 0,5; κ_c = κ_h = 2, u₀ = 0.1C_SD, a = 1 мкм, n_d0 = 10^–4 см^–3 (рис. 1а), n_d0 = 10^–3 см^–3 (рис. 1б), n_d0 = 10^–2 см^–3 (рис. 1в), B = 0.18 Гс [23]. Характерные значения пылевых плазменных и пылевых ларморовских частот при этом равны: для случая а — ω_pd = 0.4 c^–1, ω_Bd = 3.4 · 10^–5c^–1; для случая б — ω_pd = 0.24 c^–1, ω_Bd = 6.3 · 10^–6 c^–1; для случая в – ω_pd = 0.082 c^–1, ω_Bd = 6.8 · 10^–7 c^–1.

 

Рис. 1. Характерный вид одномерных солитонов, распространяющихся под углом $\mathit{\vartheta }$ к магнитному полю: $\mathit{\vartheta }$ = 1° — сплошная кривая, $\mathit{\vartheta }$ = 3° — штрихпунктирная кривая, $\mathit{\vartheta }$ = 5° — штриховая кривая. Графики построены для трех случаев возможных концентраций пылевых частиц: n_d0 = 10^–4 см^–3 (а), n_d0 = 10^–3 см^–3 (б), n_d0 = 10^–2 см^–3 (в)

 

Из приведенных графиков видно, что характерная ширина солитонов составляет от нескольких тысяч до нескольких десятков тысяч дебаевских радиусов, и чем больше угол $\vartheta$, тем больше пространственный размер солитона.

Следует отметить, что в силу замены (53) изначальные амплитуды всех солитонов оказываются отрицательными, что не противоречит (см., например, работу [24]) ранее полученным результатам о корреляции знаков пылевых частиц и амплитуды пылевых звуковых солитонов.

На рис. 2 приведены модули амплитуд $\left|{\tilde{\phi }}_0\right|$ солитонных решений (67) в зависимости от характерных размеров пылевых частиц a и скорости распространения солитона u при $\vartheta$ = 5° для n_d0 = 10^–4 см^–3 (рис. 2а), n_d0 = 10^–3 см^–3 (рис. 2б), n_d0 = 10^–2 см^–3 (рис. 2в).

 

Рис. 2. Модули амплитуд $\left|{\tilde{\phi }}_0\right|$ солитонных решений (67) в зависимости от характерных средних размеров пылевых частиц a и скорости распространения солитона u при $\mathit{\vartheta }$ = 5° для n_d0 = 10^–4 см^–3 (а), n_d0 = 10^–3 см^–3 (б), n_d0 = 10^–2 см^–3 (в)

 

Уравнение (54) допускает трехмерное сферически симметричное решение, распространяющееся с некоторой скоростью u вдоль направления магнитного поля. Для нахождения такого решения нужно провести следующую замену:

$\varphi \left(\tilde{\xi },\tilde{\eta },\tilde{\zeta }\right)=\frac{C_{SD}}{u}\frac{2n_{0}n+3}{4n_0}{\phi }_1\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)$, (68)

$\tilde{\zeta }=\sqrt{\frac{2u}{C_{SD}}}\frac{\zeta -u\tau }{{\lambda }_D}$, (69)

$\tilde{\xi }=\sqrt{\frac{2u}{C_{SD}}\frac{{\omega }_{Bd}^2}{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}}\frac{\xi }{{\lambda }_D}$, (70)

$\tilde{\eta }=\sqrt{\frac{2u}{C_{SD}}\frac{{\omega }_{Bd}^2}{n_0{\omega }_{pd}^2+{\omega }_{Bd}^2}}\frac{\eta }{{\lambda }_D}$. (71)

В новых переменных уравнение Захарова–Кузнецова (54) принимает вид [16]

$\tilde{\Delta }\varphi =\phi -{\phi }^2$. (72)

Это уравнение допускает численное решение в виде сферически симметричного солитона. Такое решение приведено на рис. 3 для трех ситуаций, соответствующих различным значениям концентрации пыли: n_d0 = 10^–2 см^–3 (рис. 3а), n_d0 = 10^–3 см^–3 (рис. 3б), n_d0 = 10^–4 см^–3 (рис. 3в).

 

Рис. 3. Трехмерный солитон для случаев: n_d0 = 10^–2 см^–3 (а), n_d0 = 10^–3 см^–3 (б), n_d0 = 10^–4 см^–3 (в)

 

Во всех случаях скорость распространения солитона u = 0.1C_SD. Графики построены в координатах $({\rho }_{\perp }=\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2},\zeta )$. Из численного решения видно, что такой солитон имеет блиноподобную форму, т.е. форму эллипсоида, сильно сжатого в направлении распространения: характерный продольный масштаб солитона составляет около 10 дебаевских радиусов, в то время как характерный поперечный размер волны может достигать от нескольких десятков до нескольких сотен тысяч дебаевских радиусов.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, для условий пылевой плазмы в магнитосфере Сатурна, состоящей из ионов, удовлетворяющих закону распределения Больцмана, двух сортов электронов: “холодных” и “горячих”, подчиняющихся κ-распределению, а также заряженных пылевых частиц рассмотрена ситуация низких частот, не превышающих пылевой ларморовской частоты.

В данной ситуации получено нелинейное уравнение Захарова–Кузнецова для пылевых звуковых возмущений, что отличает ее от ситуации [14, 15], когда гирочастота пылевых частиц настолько мала, что частоты пылевых звуковых волн ее существенно превосходят, и, например, в двумерном случае нелинейные пылевые звуковые возмущения описываются уравнением Кадомцева–Петвиашвили.

Рассмотренная ситуация отличается также от ситуации нелинейных пылевых звуковых волн в пылевой плазме в экзосфере Луны [22], когда роль захваченных волной частиц велика и нелинейность в уравнении Захарова–Кузнецова носит неаналитический характер.

В рассматриваемой ситуации магнитосферы Сатурна роль κ-распределений, характеризующих электроны, не столь велика, и поэтому получившееся нелинейное уравнение оказывается классическим уравнением Захарова–Кузнецова.

В нашей работе найдены частные решения уравнения Захарова–Кузнецова в одномерном и трехмерном сферически симметричном случаях. Показано, что характерный пространственный размер солитонов сильно зависит от направления распространения солитонов по отношению к направлению магнитного поля.

В случае одномерных солитонов чем больше угол $\vartheta$, тем больше характерная ширина солитона. В случае трехмерного солитона, распространяющегося вдоль магнитного поля, характерный поперечный размер сильно (в тысячи, а иногда и в сотни тысяч раз) превосходит его продольный размер.

Что касается возможных наблюдений рассмотренных солитонов в будущих космических миссиях, несмотря на их малые (но конечные) амплитуды, такие наблюдения в магнитосфере Сатурна, по-видимому, возможны, на что указывают наблюдения нижнегибридных солитонов в магнитосфере Земли в эксперименте “Фрея” [12].

Для проведения подобных наблюдений будущими космическими аппаратами, направленными к Сатурну, необходима аппаратура, аналогичная размещенной на космическом аппарате “Фрея”, позволяющая с высокой точностью измерять электрические поля в космическом пространстве.

Данная работа была частично поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики “Базис”.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Подробности вывода нелинейного уравнения (52)

Вывод нелинейного уравнения (52) для пылевых звуковых возмущений удобно провести в безразмерных переменных. При этом выражения для новых переменных (43)–(46), а также разложения (47)–(51) в безразмерном виде имеют по форме такой же вид, как и в размерном случае:

$\tilde{\tau }={\epsilon }^{3/2}\tilde{t}$, (П.1)

$\tilde{\xi }={\epsilon }^{1/2}\tilde{x}$, (П.2)

$\tilde{\eta }={\epsilon }^{1/2}\tilde{y}$, (П.3)

$\tilde{\xi }={\epsilon }^{1/2}\tilde{z}-\tilde{M}{\epsilon }^{1/2}\tilde{t}$. (П.4)

При этом разложения по малому параметру ε принимают вид

${\tilde{n}}_d=n_0+\epsilon {\tilde{n}}_1+{\epsilon }^2{\tilde{n}}_2$, (П.5)

${\tilde{\upsilon }}_{d,x}={\epsilon }^{3/2}{\tilde{\upsilon }}_{1d,x}+{\epsilon }^2{\tilde{\upsilon }}_{2d,x}$, (П.6)

${\tilde{\upsilon }}_{d,y}={\epsilon }^{3/2}{\tilde{\upsilon }}_{1d,y}+{\epsilon }^2{\tilde{\upsilon }}_{2d,y}$, (П.7)

${\tilde{\upsilon }}_{d,z}=\epsilon {\tilde{\upsilon }}_{1d,z}+{\epsilon }^2{\tilde{\upsilon }}_{2d,z}$, (П.8)

$\tilde{\phi }=\epsilon {\tilde{\phi }}_1+{\epsilon }^2{\tilde{\phi }}_2$. (П.9)

Подставляя новые переменные (П.1)–(П.4), а также разложения (П.5)–(П.9) в (25)–(28) и (35), получаем следующие соотношения (здесь и далее для того, чтобы не загромождать приведенные выражения, знак “тильда” опускаем, имея в виду, что все переменные приведены в безразмерном виде; знак “тильда” оставляем только перед безразмерными коэффициентами ${\tilde{\omega }}_B$ и $\tilde{n}$).

Уравнение непрерывности:

$\begin{array}{l}{\epsilon }^{5/2}\frac{\partial n_1}{\partial \tau }-M{\epsilon }^{3/2}\frac{\partial n_1}{\partial \zeta }+{\epsilon }^{7/2}\frac{\partial n_2}{\partial \tau }-M{\epsilon }^{5/2}\frac{\partial n_2}{\partial \zeta }+\\ +{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial }{\partial \xi }\left(n_0+\epsilon n_1+{\epsilon }^2{n}_2\right)\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right)+\\ +{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial }{\partial \eta }\left(n_0+\epsilon n_1+{\epsilon }^2{n}_2\right)\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right)+\\ +{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial }{\partial \zeta }\left(n_0+\epsilon n_1+{\epsilon }^2{n}_2\right)\left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right)=0\end{array}$, (П.10)

откуда, объединяя слагаемые при соответствующих степенях относительно малого параметра  имеем

${\epsilon }^{3/2}:M\frac{\partial n_1}{\partial \zeta }=n_0\frac{\partial {\upsilon }_{1d,z}}{\partial \zeta }$, (П.11)

${\epsilon }^2:n_0\left(\frac{\partial {\upsilon }_{1d,x}}{\partial \xi }+\frac{\partial {\upsilon }_{1d,y}}{\partial \eta }\right)=0$, (П.12)

$\begin{array}{c}{\epsilon }^{5/2}:\frac{\partial {\upsilon }_{1d,x}}{\partial \tau }-M\frac{\partial n_2}{\partial \zeta }+n_0\times \\ \times \left(\frac{\partial {\upsilon }_{2d,x}}{\partial \xi }+\frac{\partial {\upsilon }_{2d,y}}{\partial \eta }+\frac{\partial {\upsilon }_{2d,z}}{\partial \zeta }\right)+\frac{\partial \left(n_1{\upsilon }_{1d,z}\right)}{\partial \zeta }=0\end{array}$. (П.13)

Уравнение движения (проекция вдоль оси ξ):

$\begin{array}{c}{\epsilon }^{3/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right)}{\partial \tau }-\\ -M{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right)}{\partial \zeta }+\\ +\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right)}{\partial \xi }+\\ +\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right)}{\partial \eta }+\\ +\left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right)}{\partial \zeta }-\\ -{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left(\epsilon {\phi }_1+{\epsilon }^2{\phi }_2\right)}{\partial \xi }-{\tilde{\omega }}_{Â}\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right)=0\end{array}$, (П.14)

отсюда получаем

${\epsilon }^{3/2}:\frac{\partial {\phi }_1}{\partial \xi }+{\tilde{\omega }}_{Â}{\upsilon }_{1d,y}=0$, (П.15)

${\epsilon }^2:M\frac{\partial {\upsilon }_{1d,x}}{\partial \zeta }+{\tilde{\omega }}_{Â}{\upsilon }_{2d,y}=0$, (П.16)

${\epsilon }^{5/2}:M\frac{\partial {\upsilon }_{2d,x}}{\partial \zeta }+\frac{\partial {\phi }_2}{\partial \xi }=0$. (П.17)

Уравнение движения (проекция вдоль оси η):

$\begin{array}{c}{\epsilon }^{3/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right)}{\partial \tau }-\\ -M{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right)}{\partial \zeta }+\\ +\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right)}{\partial \xi }+\\ +\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right)}{\partial \eta }+\\ +\left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right)}{\partial \zeta }-\\ -{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left(\epsilon {\phi }_1+{\epsilon }^2{\phi }_2\right)}{\partial \eta }+{\tilde{\omega }}_{Â}\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right)=0\end{array}$, (П.18)

отсюда получаем

${\epsilon }^{3/2}:\frac{\partial {\phi }_1}{\partial \eta }-{\tilde{\omega }}_{Â}{\upsilon }_{1d,x}=0$, (П.19)

${\epsilon }^2:-M\frac{\partial {\upsilon }_{1d,y}}{\partial \zeta }+{\tilde{\omega }}_{Â}{\upsilon }_{2d,x}=0$, (П.20)

${\epsilon }^{5/2}:M\frac{\partial {\upsilon }_{2d,y}}{\partial \zeta }+\frac{\partial {\phi }_2}{\partial \eta }=0$. (П.21)

Уравнение движения (проекция вдоль оси ζ):

$\begin{array}{c}{\epsilon }^{3/2}\frac{\partial \left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right)}{\partial \tau }-M{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right)}{\partial \zeta }+\\ +\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,x}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,x}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right)}{\partial \xi }+\\ +\left({\epsilon }^{3/2}{\upsilon }_{1d,y}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,y}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right)}{\partial \eta }+\\ +\left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right){\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left(\epsilon {\upsilon }_{1d,z}+{\epsilon }^2{\upsilon }_{2d,z}\right)}{\partial \zeta }-\\ -{\epsilon }^{1/2}\frac{\partial \left(\epsilon {\phi }_1+{\epsilon }^2{\phi }_2\right)}{\partial \zeta }=0\end{array}$, (П.22)

отсюда получаем

${\epsilon }^{3/2}:M\frac{\partial {\upsilon }_{1d,z}}{\partial \zeta }+\frac{\partial {\phi }_1}{\partial \zeta }=0$, (П.23)

${\epsilon }^{5/2}:\frac{\partial {\upsilon }_{1d,z}}{\partial \tau }-M\frac{\partial {\upsilon }_{2d,z}}{\partial \zeta }+{\upsilon }_{1d,z}\frac{\partial {\upsilon }_{1d,z}}{\partial \zeta }-\frac{\partial {\phi }_2}{\partial \zeta }=0$. (П.24)

5. Уравнение Пуассона:

$\begin{array}{c}\epsilon \left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\eta }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\zeta }^2}\right)\left(\epsilon {\phi }_1+{\epsilon }^2{\phi }_2\right)=\\ =\epsilon {\phi }_1+{\epsilon }^2{\phi }_2+\tilde{n}{\left(\epsilon {\phi }_1+{\epsilon }^2{\phi }_2\right)}^2+\epsilon n_1+{\epsilon }^2{n}_2\end{array}$, (П.25)

отсюда получаем

$\epsilon :n_1+{\phi }_1=0$ (П.26)

${\epsilon }^2:\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\eta }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\zeta }^2}\right){\phi }_1={\phi }_2+\tilde{n}{\phi }_1^2+n_2$. (П.27)

Разрешая систему уравнений (П.11)–(П.13), (П.15)–(П.17), (П.19)–(П.21), (П.23), (П.24), (П.26) и (П.27) относительно φ₁ и переходя вновь к размерному виду, приходим к уравнению (52). В частности, для выполнения одновременного равенства (П.11), (П.23) и (П.26), необходимо, чтобы M² = n₀, что в размерном виде означает равенство величины M скорости пылевого звука (см. выражение (42)).

About the authors

S. I. Kopnin

Space Research Institute, Russian Academy of Sciences

Email: popel@iki.rssi.ru
Russian Federation, Moscow

D. V. Shokhrin

Higher School of Economics

Email: popel@iki.rssi.ru
Russian Federation, Moscow

S. I. Popel

Space Research Institute, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: popel@iki.rssi.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files