Few-cycle two-frequency light bullets with detuning of phase and group velocities

Введение

Одновременное линейное расплывание оптических импульсов из-за дисперсии и дифракции может компенсироваться нелинейными эффектами. Это приводит к образованию и распространению световых пуль в средах с различной нелинейностью. Тип нелинейности играет ключевую роль в стабильности пространственно-временных солитонов. Известно, что пространственно-временные солитоны (ПВС) неустойчивы в среде с кубичной нелинейностью. В среде же с квадратичной нелинейностью даже при небольших расстройках фазовых и групповых скоростей могут формироваться и распространяться устойчивые двухцветные световые пули [1—6].

Кубичная нелинейность свойственна не только центросимметричным кристаллам, но и кристаллам, не обладающим центром симметрии. Эта нелинейность становится существенной, сравнимой с основной нелинейностью второго порядка лишь при высокой интенсивности входного сигнала. Кубичная нелинейность оказывает значительное влияние на генерацию второй гармоники (ГВГ), снижая эффективность ГВГ, и на поведение пучков света в среде. В среде с квадратичной и кубичной нелинейностью наблюдаются два типа трехчастотных солитонов [7]. Для их возникновения необходимы определенные соотношения между коэффициентами дисперсии групповой скорости (ДГС), нелинейности и частотами волн.

Благодаря развитию волоконно-оптической связи, область квадратично-кубичной нелинейности стала предметом пристального изучения. Анализ пространственно-временных эффектов для комбинированной нелинейности является сложной задачей, так как конкуренция между двумя нелинейностями может иметь решающее значение. Например, в экспериментальной работе [8] с кристаллом бета-бората бария, который обладает заметной кубичной нелинейностью, были обнаружены самосжимающиеся пространственно-временные солитоны.

В отличие от квазимонохроматических ПВС, малопериодные световые пули на комбинированной нелинейности исследованы в меньшей степени. Настоящая работа посвящена исследованию возможности формирования малопериодных ПВС при учете эффектов высшего порядка, таких как дисперсия третьего порядка, дисперсия нелинейности и т. д.

Основные уравнения

В книге [9] для описания распространения ультракороткого импульса длительностью меньше одной пикосекунды вводится обобщенное многомерное нелинейное уравнение Шредингера, которое учитывает линейные эффекты высших порядков, таких как дисперсия третьего порядка и дисперсия дифракции. В работе [10] выведены уравнения, описывающие процесс генерации второй гармоники предельно короткими импульсами с учетом дисперсии нелинейности. По аналогии с методами [9, 10], можно записать систему квазиоптических уравнений, описывающую распространение малопериодного импульса в среде со смешанной квадратично-кубичной нелинейностью:

$\begin{array}{c}i\left(\frac{\partial A_1}{\partial z}+\delta \frac{\partial A_1}{\partial \tau }\right)=\frac{-{\beta }_1}{2}\frac{{\partial }^2{A}_1}{\partial {\tau }^2}+i\frac{{\gamma }_1}{6}\frac{{\partial }^3{A}_1}{\partial {\tau }^3}+\\ +(a_1{A}_1^{*}{A}_2+i{b}_1\frac{\partial }{\partial \tau }\left(A_1^{*}{A}_2\right))e^{i \Delta kz}+\\ +\frac{c}{2n_1\omega }\frac{{\partial }^2{A}_1}{\partial x^2}-i\frac{c}{2n_1{\omega }^2}\frac{\partial }{\partial \tau }\frac{{\partial }^2{A}_1}{\partial x^2}+\\ +A_1\left( g_{11}{\left|A_1\right|}^2+ g_{12}{\left|A_2\right|}^2\right); \end{array}$ (1)

$\begin{array}{c} i\left(\frac{\partial A_2}{\partial z}-\delta \frac{\partial A_2}{\partial \tau }\right)=\frac{-{\beta }_2}{2}\frac{{\partial }^2{A}_2}{\partial {\tau }^2}+i\frac{{\gamma }_2}{6}\frac{{\partial }^3{A}_2}{\partial {\tau }^3}+\\ +\left(a_2{A}_1^2+i{b}_2\frac{\partial }{\partial \tau }\left(A_1^2\right)\right)e^{-i \Delta kz}+\\ +\frac{c}{4n_2\omega }\frac{{\partial }^2{A}_2}{\partial x^2}-i\frac{c}{8n_2{\omega }^2}\frac{\partial }{\partial \tau }\frac{{\partial }^2{A}_2}{\partial x^2}+\\ +A_2\left( g_{21}{\left|A_1\right|}^2+ g_{22}{\left|A_2\right|}^2\right);\end{array}$ (2)

В (1)–(2) $A_1$ и $A_2$ – медленно меняющиеся огибающие электрического поля импульса на основной частоте и на частоте второй гармоники, соответственно, $\tau =t-\frac{z}{2}\left(\frac{1}{v_{\text{g}2}}+\frac{1}{v_{\text{g}1}}\right)-$ время, $z -$ направление распространения, $v_{\text{g}\mathrm{1,2}}-$ групповая скорость на основной и удвоенной частотах, $\delta =\frac{\left(\frac{1}{v_{\text{g}1}}-\frac{1}{v_{\text{g}2}}\right)}{2}-$ групповая расстройка, ${\beta }_{\mathrm{1,2}}=\frac{{\partial }^2{k}_{\mathrm{1,2}}}{\partial {\omega }^2} -$ коэффициенты ДГС, ${\gamma }_{\mathrm{1,2}}=\frac{{\partial }^3{k}_{\mathrm{1,2}}}{\partial {\omega }^3} -$ коэффициенты дисперсии третьего порядка (ДТП), $k_{\mathrm{1,2}} -$ волновые числа, $\Delta k=2k_1-k_2-$ расстройка фазовых скоростей, $a_1=\frac{4\pi \omega }{c{n}_1}{\chi }^{\left(2\right)}\left(2\omega ;-\omega \right)$,

$a_2=\frac{8\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(2\right)}\left(\omega ;\omega \right), g_{11}=\frac{3\pi \omega }{2c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;\omega ;-\omega \right), g_{12}=\frac{3\pi \omega }{c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;2\omega ;-2\omega \right), g_{21}=\frac{6\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(3\right)}\left(2\omega ;\omega ;-\omega \right),$

$a_2=\frac{8\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(2\right)}\left(\omega ;\omega \right), g_{11}=\frac{3\pi \omega }{2c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;\omega ;-\omega \right), g_{12}=\frac{3\pi \omega }{c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;2\omega ;-2\omega \right), g_{21}=\frac{6\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(3\right)}\left(2\omega ;\omega ;-\omega \right),$

$a_2=\frac{8\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(2\right)}\left(\omega ;\omega \right), g_{11}=\frac{3\pi \omega }{2c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;\omega ;-\omega \right), g_{12}=\frac{3\pi \omega }{c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;2\omega ;-2\omega \right), g_{21}=\frac{6\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(3\right)}\left(2\omega ;\omega ;-\omega \right),$ 

$a_2=\frac{8\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(2\right)}\left(\omega ;\omega \right), g_{11}=\frac{3\pi \omega }{2c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;\omega ;-\omega \right), g_{12}=\frac{3\pi \omega }{c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;2\omega ;-2\omega \right), g_{21}=\frac{6\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(3\right)}\left(2\omega ;\omega ;-\omega \right),$ 

$a_2=\frac{8\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(2\right)}\left(\omega ;\omega \right), g_{11}=\frac{3\pi \omega }{2c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;\omega ;-\omega \right), g_{12}=\frac{3\pi \omega }{c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;2\omega ;-2\omega \right), g_{21}=\frac{6\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(3\right)}\left(2\omega ;\omega ;-\omega \right),$

$a_2=\frac{8\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(2\right)}\left(\omega ;\omega \right), g_{11}=\frac{3\pi \omega }{2c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;\omega ;-\omega \right), g_{12}=\frac{3\pi \omega }{c{n}_1}{\chi }^{\left(3\right)}\left(\omega ;2\omega ;-2\omega \right), g_{21}=\frac{6\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(3\right)}\left(2\omega ;\omega ;-\omega \right),$ 

$g_{22}=\frac{3\pi \omega }{c{n}_2}{\chi }^{\left(3\right)}\left(2\omega ;2\omega ;-2\omega \right) -$ коэффициенты нелинейности,

$b_1=\frac{4\pi }{c{n}_1}\left({\chi }^{\left(2\right)}\left(2\omega ;-\omega \right)+\omega \frac{\partial {\chi }^{\left(2\right)}}{\partial \omega }\left(2\omega ;-\omega \right)\right)$,

$b_2=\frac{8\pi }{c{n}_2}\left({\chi }^{\left(2\right)}\left(\omega ;\omega \right)+\omega \frac{\partial {\chi }^{\left(2\right)}}{\partial \omega }\left(\omega ;\omega \right)\right) -$ 

коэффициенты дисперсии нелинейности, n_1,2 – показатели преломления, ${\chi }^{\left(2\right)}\left(\omega ,\omega \right),{\chi }^{\left(2\right)}\left(2\omega ,-\omega \right)$- восприимчивости, индекс i = 1 относится к параметрам импульса на основной частоте, а $i=2$ – на второй гармонике. В систему уравнений (1)–(2) для импульсов фемтосекундной включены такие эффекты высших порядков как: дисперсия третьего порядка, дисперсия квадратичной нелинейности, пространственно-временная фокусировка и керровская нелинейность (второе, четвертое, шестое и седьмое слагаемые в правой части системы соответственно). При распространении квазимонохроматического импульса пикосекундной длительности влиянием этих эффектов обычно пренебрегают ввиду их относительной малости, а наличием в кристалле керровской нелинейности – ввиду малой интенсивности сигнала. Роль слагаемого, содержащего смешанные пространственно-временные производные и ответственного за эффект пространственно-временной фокусировки, была отмечена в главе 7 книги [9].

Безразмерная система уравнений

Для проведения численного эксперимента в системе (1)–(2) продольная координата нормируется на квадратичную нелинейную длину, поперечная координата – на поперечный размер входного пучка, а время на длительность импульса на входе в среду:

$\begin{array}{c}i \frac{\partial {\psi }_1}{\partial \overline{z}}+i\overline{\delta }\frac{\partial {\psi }_1}{\partial \overline{\tau }}=\frac{-D_{\beta 1}}{2}\frac{{\partial }^2{\psi }_1}{\partial {\overline{\tau }}^2}+\frac{i{D}_{\gamma 1}}{6}\frac{{\partial }^3{\psi }_1}{\partial {\overline{\tau }}^3}+\\ +\left({\psi }_1^{*}{\psi }_2-i{D}_{b1}\frac{\partial \left({\psi }_1^{*}{\psi }_2\right)}{\partial \overline{\tau }}\right)e^{i\overline{\Delta k}\overline{z}}+D_{c1}\frac{{\partial }^2{\psi }_1}{\partial {\overline{x}}^2}-\\ -i{D}_{c2}\frac{\partial }{\partial \overline{\tau }}\frac{{\partial }^2{\psi }_1}{\partial {\overline{x}}^2}+{\psi }_1\left( D_{11}{\left|{\psi }_1\right|}^2+ D_{12}{\left|{\psi }_2\right|}^2\right); \end{array}$ (3)

$\begin{array}{c}i\frac{\partial {\psi }_2}{\partial \overline{z}}-i\overline{\delta }\frac{\partial {\psi }_2}{\partial \overline{\tau }}=\frac{-D_{\beta 2}}{2}\frac{{\partial }^2{\psi }_2}{\partial {\overline{\tau }}^2}+\frac{i{D}_{\gamma 2}}{6}\frac{{\partial }^3{\psi }_2}{\partial {\overline{\tau }}^3}+\\ +\left(\eta {\psi }_1^2-i{D}_{b2}\frac{\partial {\psi }_1^2}{\partial \overline{\tau }}\right)e^{-i\overline{\Delta k}\overline{z}}+\frac{D_{c1}}{2}\frac{{\partial }^2{\psi }_2}{\partial {\overline{x}}^2}-\\ -i\frac{D_{c2}}{4}\frac{\partial }{\partial \overline{\tau }}\frac{{\partial }^2{\psi }_2}{\partial {\overline{x}}^2}+{\psi }_2\left( D_{21}{\left|{\psi }_1\right|}^2+ D_{22}{\left|{\psi }_2\right|}^2\right);\end{array}$ (4)

Здесь ${\psi }_{\mathrm{1,2}}=\frac{A_{\mathrm{1,2}}}{A_{\text{in}}}$, $\overline{z}=\frac{z}{l_{\text{nl}}}$, $l_{\text{nl}}=\frac{1}{a_1{A}_{\text{in}}}$, $D_{{\beta }_{\mathrm{1,2}}}=\frac{{\beta }_{\mathrm{1,2}}{l}_{\text{nl}}}{2{\tau }_{\text{in}}^2}$,

$D_{{\gamma }_{\mathrm{1,2}}}=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1,2}}{l}_{\text{nl}}}{6{\tau }_{\text{in}}^3}$, $\overline{\tau }=\frac{\tau }{{\tau }_{\text{in}}}$, $\overline{x}=\frac{x}{R_{\text{in}}},\eta =\frac{n_2{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(2\omega \right)}}{2n_1{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(\omega \right)}},D_{11}=\frac{g_{11}{A}_{in}}{a_1},D_{{\text{b}}_1}=\frac{1}{N}\frac{{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(\omega \right)}+\omega \frac{\partial {\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(\omega \right)}}{\partial \omega }}{{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(\omega \right)}},$

$\overline{x}=\frac{x}{R_{\text{in}}},\eta =\frac{n_2{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(2\omega \right)}}{2n_1{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(\omega \right)}},D_{11}=\frac{g_{11}{A}_{in}}{a_1},D_{{\text{b}}_1}=\frac{1}{N}\frac{{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(\omega \right)}+\omega \frac{\partial {\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(\omega \right)}}{\partial \omega }}{{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(\omega \right)}},$ 

$D_{{\text{b}}_2}=\frac{\eta }{N}\frac{{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(2\omega \right)}+\omega \frac{\partial {\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(2\omega \right)}}{\partial \omega }}{{\chi }^{\left(2\right)}{}_{\left(2\omega \right)}} , D_{{\text{c}}_1}=\frac{{\text{cl}}_{\text{nl}}}{2\omega {\text{n}}_1{\text{R}}_{\text{in}}^2}$,

$D_{{\text{c}}_2}=\frac{{\text{cl}}_{\text{nl}}}{2{\omega }^2{\text{n}}_1{\text{R}}_{\text{in}}^2{\tau }_{\text{in}}}$, $\overline{\Delta k}=l_{nl}\Delta k$, $\overline{\delta }=\frac{\delta {\text{l}}_{\text{nl}}}{ {\tau }_{\text{in}}}-$,

расстройка групповых скоростей, N ≈ ωτ_in — число колебаний поля под огибающей сигнала, А_in — начальная пиковая амплитуда на основной частоте, R_in — начальная ширина импульса, τ_in — начальная длительность импульса, $D_{11}>0$,— фокусирующая нелинейность, $D_{11}<0$ — дефокусирующая.

На вход в среду ( $\overline{z}=0$ ) подаются компоненты на обеих частотах, имеющие гауссовскую огибающую:

${\psi }_1=E_1\exp \left[-{\overline{x}}^2-{\overline{\tau }}^2\right],{\psi }_2=E_2\exp \left[-{\overline{x}}^2-{\overline{\tau }}^2\right]$. (5)

Для решаемой численно системы уравнений (3)–(4) в условиях синхронизма фазовых и групповых скоростей нами ранее [2] были найдены следующие оптимальные безразмерныe параметры, при которых пучок гауссовской формы распространяется в «дышащем» режиме: $D_{\beta 1}=-0.1$, $D_{\beta 2}=-\mathrm{0.2,} D_{\gamma 1}=\frac{D_{\beta 1}}{N}, D_{c1}=\mathrm{0.1,} D_{c2}=\frac{ D_{c1}}{N}, \eta =0.5$, $D_{c2}=\mathrm{0.01,} D_{b1}=\frac{1}{N}, D_{b2}=\frac{\eta }{N},E_1=\mathrm{1,} E_2=\mathrm{0.5.}$ $D_{c2}=\mathrm{0.01,} D_{b1}=\frac{1}{N}, D_{b2}=\frac{\eta }{N},E_1=\mathrm{1,} E_2=\mathrm{0.5.}$ Под «дышащим» режимом понимается наличие осцилляций параметров солитона, таких как интенсивность, длительность. В данной работе мы отталкиваемся от приведенных оптимальных значений безразмерных коэффициентов, постепенно увеличивая безразмерные коэффициенты групповых и фазовых расстроек, а также добавляя кубичную нелинейность, считая взаимодействие по прежнему двухчастотным.

Проведем некоторые оценки допустимых значений коэффициентов. Для многих нелинейных анизотропных кристаллов, например ${\text{LiNbO}}_3$, ДГС и ДТП в диапазоне прозрачности можно оценить по формуле Зельмейера [11]. В области частот $\omega \sim {10}^{15}$ Гц ДГС может быть отрицательной. При длительности импульса τ_in ~ 10^-14 c для кристалла ниобата лития в случае длин волн $\lambda \approx 1 мкм \left(\omega \approx {10}^{15} Гц\right), \left|{\beta }_1\left(\omega \right)\right|\approx {10}^{-27}-{10}^{-26}\frac{{с}^2}{см}$. В этом диапазоне длин волн расстройки фазовых скоростей Δk ~ 0.1 мкм^-1, а характерные длины имеют следующие величины: длина группового запаздывания $l_{\text{g}}=\frac{{\tau }_{\text{in}}}{\left|\delta \right|}\approx 10 мкм,$ дисперсионная длина второго порядка $l_{\text{dis}}=\frac{{\tau }^2}{\left|{\beta }_1\left(\omega \right)\right|}\approx 100 мкм,$ дисперсионная длина третьего порядка $l_{\text{dis}3}=\frac{{\tau }^3}{\left|{\Upsilon }_1\left(\omega \right)\right|}\approx 150 мкм.$ Если $l_{\text{dis}}\approx 5-10l_{\text{nl}2},$ то нелинейная длина второго порядка $l_{\text{nl}2}$ = $\frac{1}{A_{\text{in}}{a}_1}\approx 10 .$ ≈ 10 мкм. Тогда интенсивность I ≈ 10¹² - 10¹³ Вт/см². Безразмерный коэффициент, отвечающий за кубичную нелинейность в таком случае D₁₁ ≈ $D_{11}\approx \frac{{\chi }^{\left(3\right)}{A}_{\text{in}}}{{\chi }^{\left(2\right)}}~1.$ ≈ 1.

Результаты численного моделирования

На первом этапе численные эксперименты мы проводим с учетом только квадратичной нелинейности. В таком случае при условии фазового синхронизма и оптимального набора параметров формируется устойчивая световая пуля при осцилляции интенсивностей обеих гармоник по мере распространения в среде [2]. Зафиксировав расстройку групповых скоростей $\overline{\delta }=0$, постепенно увеличиваем расстройку фазовых скоростей. Удается найти диапазон значений безразмерного коэффициента $\Delta \overline{k}$, при котором пуля остается устойчивой. На рис. 1а представлены зависимости интенсивности сигнала (при $\overline{\delta }=0$ и N=10) на основной частоте для разных значений $\Delta \overline{k}$. Так, при значениях $\Delta \overline{k}$ < 0.8 наблюдается «дышащий» режим распространения, форма огибающей сигнала остается практически неизменной.

Рис. 1. Зависимости пиковых интенсивностей сигнала на основной частоте │ψ₁│² от продольной координаты z (а) при N=10, D_β1 = −0.1, D_β2 = −0.2, D_c1 = 0.1, D_c2 = 0.01, D_b1 = 0.1, D_b2 = 0.05, δ = 0 и различных значениях безразмерной фазовой расстройки: Δk = 0.5, Δk = 0.6 (пунктир), Δk = 0.7 (короткий пунктир), Δk = 0.9 (точечный пунктир). Зависимости пиковых интенсивностей сигнала на основной и удвоенной частотах │ψ_1,2│² от продольной координаты z (б) при N=5, D_β1 = −0.1, D_β2 = −0.2, D_γ1 = 0.02, D_γ2 = 0.04, D_c1 = 0.1, D_c2 = 0.02, D_b1 = 0.2, D_b2 = 0.1, δ = Δk = 0.25 (сплошные), δ = Δk = 0.28 (пунктир).

При уменьшении числа осцилляций до N=5, эффекты высшего порядка возрастают в два раза. Проводя ряд экспериментов, находим, что при значениях вплоть до $\Delta \overline{k}$ = $\overline{\delta }=0.25$ = 0.25 (рис. 1б) формируется световая пуля, однако при больших значениях устойчивого режима не наблюдается.

Далее мы уменьшаем число осцилляций под огибающей до N=3 (рис. 2а). Предельное значение расстроек фазовых и групповых скоростей, при которых может сформироваться световая пуля $\overline{\delta }=\Delta k=0.2$. Фактически, это иллюстрирует возрастающую роль эффектов высших порядков.

Рис. 2. Зависимости пиковых интенсивностей сигнала на основной частоте │ψ₁│² от продольной координаты z (а) при N=3, D_β1 = −0.1, D_β2 = −0.2, D_c1 = 0.1, D_c2 = 0.0333, D_b1 = 0.333, D_b2 = 0.166,δ = Δk и различных значениях безразмерной фазовой расстройки: Δk = 0.1 (сплошная), Δk = 0.2 (пунктир), Δk = 0.25 (короткий пунктир). Зависимости пиковых интенсивностей сигнала на основной частоте │ψ₁│² от продольной координаты z (б) при N=5, D_β1 = −0.1, D_β2 = 0, D_c1 = 0.1, D_c2 = 0.02, D_b1 = 0.2, D_b2 = 0.1, δ = 0.1 и различных значениях безразмерной фазовой расстройки: Δk = 0 (сплошная), Δk = 0.1 (пунктир), Δk = 0.25 (короткий пунктир).

Рассмотрим случай, когда дисперсия групповой скорости отсутствует на частоте второй гармоники. Такой случай сравнительно проще реализовать в реальных кристаллах. Так как теперь нарушено оптимальное соотношение между коэффициентами ДГС, формирование световых пуль становится возможным только в условиях фазового синхронизма, так как даже при сравнительно небольших расстройках $\Delta \overline{k}$ = $\overline{\delta }=0.25$ = 0.1 световая пуля заметно уширяется по поперечной и продольной координате, а интенсивность заметно убывает, как показано на рис. 2б.

Напомним, что после перехода к безразмерной системе коэффициентов нами исходя из оптимальных безразмерных параметров были приведены оценки допустимых значений параметров системы (3)–(4). При увеличении интенсивности входного импульса возрастает безразмерный коэффициент, ответственный за наличие кубичной нелинейности $D_{11}\approx \frac{{\chi }^{\left(3\right)}{A}_{\text{in}}}{{\chi }^{\left(2\right)}}.$ 

Поэтому на следующем этапе мы учитываем коэффициент D₁₁, выбирая коэффициенты, равные D₁₁ =0.1, δ = Δk = 0.1 (рис. 3а), δ = Δk = 0.2 (сплошные), δ = Δk = 0.3 (пунктир) (рис. 3б). В обоих случаях заметнее становится начальная компрессия солитона, однако во последнем случае световая пуля не формируется. Увеличение фазовых и групповых расстроек приводит к уменьшению средней интенсивности световой пули.

Рис. 3. Зависимости пиковых интенсивностей сигнала на основной и удвоенной частотах │ψ_1,2│² от продольной координаты z при наличии кубичной нелинейности (а), N=5, D_β1 = −0.1, D_β2 = −0.2, D_c1 = 0.1, D_c2 = 0.02, D_b1 = 0.2, D_b2 = 0.1,D₁₁ = 0.1, δ = Δk = 0.1. Зависимости пиковых интенсивностей сигнала на основной и удвоенной частотах │ψ_1,2│² от продольной координаты z (б) при N=5, D_β1 = −0.1, D_β2 = −0.2, D_c1 = 0.1, D_c2 = 0.02, D_b1 = 0.2, D_b2 = 0.1, δ = Δk и различных значениях безразмерной фазовой расстройки: Δk = 0.2 (сплошные), Δk = 0.3 (пунктир).

При увеличении коэффициента кубичной нелинейности до $D_{11}=0.15$ существенных отличий не наблюдается. Для сравнения на рис. 4а и 4б приведены четыре случая с разным значением коэффициента $D_{11}$. При дальнейшем увеличении до значения $D_{11}=0.5$ наблюдается сильная самокомпрессия после прохождения всего двух-трех нелинейных длин, после чего световая пуля не формируется. Используя приведенные выше оценки характерных интенсивностей для кристалла ниобата лития, коэффициенту $D_{11}=0.5$ на частоте $\omega \sim {10}^{15}$ Гц соответствует интенсивность I ≈ 10¹¹ - 10¹² Вт/см², а нелинейные длины второго и третьего порядков l_n12 ≈ l_n13 принимают значения нескольких десятков микрометров. Таким образом при столь высоких интенсивностях по причине наличия сильной самокомпрессии устойчивость малопериодных световых пуль нарушается.

Рис. 4. Зависимости пиковых интенсивностей сигнала (N=5) на основной и удвоенной частотах │ψ_1,2│² от продольной координаты z при наличии кубичной нелинейности (а), D_β1 = −0.1, D_β2 = −0.2, D_c1 = 0.1, D_c2 = 0.02, D_b1 = 0.2, D_b2 = 0.1, δ = Δk = 0.1, D₁₁ = 0.1 (пунктир), D₁₁ = 0 (сплошные). Зависимости пиковых интенсивностей сигнала (N = 5) на основной и удвоенной частотах │ψ_1,2│² от продольной координаты z при наличии кубичной нелинейности (б), D_β1 = −0.1, D_β2 = −0.2, D_c1 = 0.1, D_c2 = 0.02, D_b1 = 0.2, D_b2 = 0.1, δ = Δk = 0.1, D₁₁ = 0.25 (пунктир), D₁₁ = 0.15 (сплошные).

Заключение

Анализ малопериодных параметрических световых пуль требует учета совместного влияния дифракции и дисперсии высшего порядка, квадратичной, а также зачастую и кубичной нелинейностей. Для решения этой задачи была исследована система связанных квазиоптических уравнений. Мы демонстрируем, что формирование световых пуль остается возможным в определенном диапазоне расстроек фазовых и групповых скоростей, а также при наличии кубичной нелинейности. Для кристалла ниобата лития проведена оценка характерных нелинейных и дисперсионных длин, а также длительности и интенсивности импульса.