Resonant rotations of a dynamically symmetrical satellite with a ball damper in a circular orbit

N. I. Amel’kin; Амелькин Н. И.

doi:10.31857/S1026351924030082

Resonant rotations of a dynamically symmetrical satellite with a ball damper in a circular orbit

Authors: Amel’kin N.I.¹
Affiliations:
1. Moscow Institute of Physics and Technology
Issue: No 3 (2024)
Pages: 112–135
Section: Articles
URL: https://medbiosci.ru/1026-3519/article/view/273722
DOI: https://doi.org/10.31857/S1026351924030082
EDN: https://elibrary.ru/uhyfqf
ID: 273722

Cite item

Full Text

Abstract
Full Text
About the authors
References
Supplementary files
Statistics

Abstract

For a satellite with a ball damper, the effect of internal dissipation on rotational motion in the central gravitational field is studied. The equations of rotational motion of a dynamically symmetric satellite with a spherical damper in an elliptical orbit are obtained. For the case of a circular orbit, the spatial resonance rotations of a dynamically symmetric satellite with a ball damper were investigated using the averaging method.

Keywords

gravitational field, satellite with ball damper, averaging method, evolutionary equations, spatial resonant rotations in circular orbit

Full Text

1. Введение. Данная работа является продолжением работ автора [1 $-$ 8] по исследованию влияния внутренней диссипации на вращательное движение спутника в центральном гравитационном поле. В указанных работах для случая круговой орбиты подробно исследованы стационарные вращения спутника с демпфером и построены осредненные уравнения второго приближения, описывающие эволюцию вращательного движения спутника, в том числе и для случая, когда спутник (планета Земля) движется в поле двух притягивающих центров (Солнца и Луны) [7]. В работе [8] исследованы плоские резонансные и нерезонансные вращения спутника с демпфером на эллиптической орбите.

В данной работе исследуются резонансные эффекты в пространственных вращениях спутника с демпфером в гравитационном поле. Наличие таких эффектов обнаружено по результатам численного интегрирования уравнений движения спутника как на круговой, так и на эллиптической орбите. Эти резонансные эффекты обусловлены синхронизацией между вращательным движением спутника и движением его центра масс, причем проявляются они своеобразно: каждое резонансное вращение спутника с демпфером в гравитационном поле представляет собой эволюционирующий процесс, в котором величина угловой скорости спутника на протяжении всего процесса остается практически неизменной, кратной угловой скорости орбитального базиса, а ось вращения спутника монотонно эволюционирует в сторону нормали к плоскости орбиты.

Следует отметить, что анализ пространственных резонансных вращений спутника с демпфером представляет собой существенно более сложную задачу, чем анализ нерезонансных вращений. Здесь для аналитического обоснования существования и устойчивости резонансных вращений приходится использовать переменные, в которых уравнения движения спутника гораздо сложнее, чем те уравнения, с помощью которых исследовались нерезонансные вращения.

2. Уравнения вращательного движения динамически симметричного спутника с шаровым демпфером на эллиптической орбите в проекциях на оси базиса Кенига. Рассматривается спутник (планета, как спутник Солнца), состоящий из несущего твердого тела (оболочки) и внутреннего ядра, представляющего собой однородный шар, при относительных перемещениях которого возникает демпфирующий момент сил. Пусть Oe₁e₂e₃ $-$ связанный с оболочкой базис главных центральных осей инерции всего спутника. Обозначим через J = diag(A,B,C) главный центральный тензор инерции всего спутника, а через I $-$ момент инерции демпфера относительно его центральной оси.

Действующий на спутник гравитационный момент определяется формулой [9]:

$M_{g} = 3 k R \times J R / R^{5} ,$ (2.1)

где k = γM $-$ постоянная тяготения, γ $-$ гравитационная постоянная, M $-$ масса притягивающего тела (Солнца), R $-$ радиус-вектор, соединяющий центр притяжения с центром масс спутника.

Обозначим через ω вектор абсолютной угловой скорости оболочки, а через Ω $-$ вектор абсолютной угловой скорости демпфера. Полагаем, что действующий на демпфер диссипативный момент сил пропорционален относительной угловой скорости демпфера и определяется формулой:

$M_{d} = - \tilde{μ} I (Ω - ω),$ (2.2)

где $\tilde{μ}$ $-$ коэффициент вязкого трения между оболочкой и демпфером.

Пусть центр масс спутника движется по эллиптической орбите. Оси базиса Кенига Oi₁i₂i₃ выберем так, чтобы ось i₃ совпадала с нормалью к плоскости орбиты, а ось i₁ $-$ с направлением на перицентр орбиты. Обозначим через r = R/R единичный вектор, сонаправленный с радиус-вектором центра масс спутника, а через n $-$ истинную аномалию $-$ угол между векторами r и i₁ (рис. 1). Тогда будем иметь r = i₁ cos v + i₂ sin v.

Рис. 1. Углы Эйлера.

В качестве безразмерного времени будем использовать среднюю аномалию τ = ω₀t, где ω₀ $-$ средняя угловая скорость орбитального базиса, определяемая формулой:

$ω_{0} = {(\frac{k}{a^{3}})}^{1 / 2} = {(\frac{k {(1 - e^{2})}^{3}}{p^{3}})}^{1 / 2},$ (2.3)

здесь a $-$ большая полуось орбиты спутника, p $-$ параметр, e $-$ эксцентриситет.

Введем переменные U, W, L и K согласно формулам:

$U = \frac{w}{ω_{0}},$ $W = \frac{W - w}{ω_{0}},$ L = JU, K = I W, (2.4)

где U $-$ безразмерная угловая скорость оболочки, W $-$ безразмерная относительная угловая скорость демпфера, L $-$ приведенный кинетический момент переносного движения спутника, K $-$ приведенный кинетический момент относительного движения демпфера. Обозначим штрихом производную по безразмерному времени τ = ω₀t. Используя теорему об изменении кинетического момента для всего спутника и для демпфера, получим динамические уравнения вращательного движения спутника в следующем виде:

$L^{'} + I W^{'} = m_{g},$ (2.5)

$W^{'} + U^{'} = - μ W, μ = \tilde{μ} / ω_{0},$ (2.6)

где m_g = M_g/ $ω_{0}^{2}$ $-$ приведенный гравитационный момент, а μ $-$ безразмерный коэффициент вязкого трения.

Закон изменения истинной аномалии описывается уравнением:

$ν^{'} = \frac{{(1 + e \cos ν)}^{2}}{{(1 - e^{2})}^{3 / 2}} .$ (2.7)

Ниже будем рассматривать случай динамически симметричного спутника, “сплюснутого” вдоль оси симметрии: A = B < C. Пусть e₃ = e $-$ единичный вектор оси симметрии. В этом случае гравитационный момент m_g записывается в виде:

$m_{g} = 3 (C - A) (r \cdot e) r \times e {(\frac{1 + e \cos ν}{1 - e^{2}})}^{3},$ (2.8)

а связь между векторами U и L выражается формулой:

$L = A U + (C - A) (U \cdot e) e \Rightarrow (L \cdot e) = C (U \cdot e) .$ (2.9)

На основании этой формулы, учитывая уравнение движения оси симметрии

$e^{'} = U \times e,$ (2.10)

получим

$L^{'} = A U^{'} + (C - A) [(U^{'} \cdot e) e + (U \cdot e) U \times e] \Rightarrow (L^{'} \cdot e) = C (U^{'} \cdot e) .$ (2.11)

Из уравнений (2.5), (2.6) вследствие взаимной ортогональности векторов m_g (2.8) и e следует

$L^{'} - I U^{'} = m_{g} + μ I W \Rightarrow L^{'} \cdot e - I U^{'} \cdot e = μ I W \cdot e .$ (2.12)

Отсюда на основании формул (2.11) получаем:

$(C - I) U^{'} \cdot e = μ I W \cdot e,$ (2.13)

а уравнения (2.5), (2.6) приводятся к следующему виду:

$U^{'} = \frac{1}{A - I} (m_{g} + (A - C) (U \cdot e) U \times e + μ I \frac{(A - C) (W \cdot e)}{C - I} e + μ I W),$ (2.14)

$W^{'} = - \frac{1}{A - I} (m_{g} + (A - C) (U \cdot e) U \times e + μ I \frac{(A - C) (W \cdot e)}{C - I} e + μ A W) .$ (2.15)

Определив безразмерные параметры ε и γ, характеризующие геометрию масс спутника, формулами

$ε = \frac{C - A}{A - I},$ $γ = \frac{I}{A - I}$ (2.16)

получим из (2.14), (2.15) следующую систему уравнений:

$U^{'} = m - ε (U \cdot e) U \times e + μ γ W - ε μ γ \frac{(W \cdot e) e}{1 + ε} = M,$ (2.17)

$W^{'} = - m + ε (U \cdot e) U \times e - μ (1 + γ) W + ε μ γ \frac{(W \cdot e) e}{1 + ε} = - M - μ W,$ (2.18)

где m $-$ безразмерный гравитационный момент, определяемый формулой:

$m = \frac{m_{g}}{A - I} = 3 ε (r \cdot e) r \times e {(\frac{1 + e \cos ν}{1 - e^{2}})}^{3} .$ (2.19)

Уравнения (2.17), (2.18), (2.10) и (2. 7) записаны в проекциях на оси базиса Кенига. Они образуют замкнутую систему относительно переменных U, W, e и v. При этом вектор U задает направление оси вращения оболочки спутника и величину ее безразмерной угловой скорости.

В проекциях на оси базиса Резаля $O {e^{'}}_{1} {e^{'}}_{2} e_{3}$ , задаваемого углами Эйлера ψ и θ (рис. 1), уравнения (2.17), (2.18) и (2.10) записываются в виде следующей системы [4]:

$\begin{array}{l} {w^{'}}_{1} = ε u_{2} u_{3} + u_{2} w_{2} ctg θ - u_{2} w_{3} - μ (1 + γ) w_{1} - \\ - f (ν) F \cos θ [\cos 2 (ν - ψ) - 1], \\ {w^{'}}_{2} = - ε u_{1} u_{3} + u_{1} w_{3} - u_{2} w_{1} ctg θ - μ (1 + γ) w_{2} - f (ν) F \sin 2 (ν - ψ), \\ {u^{'}}_{1} = - (1 + ε) u_{3} u_{2} + u_{2}^{2} ctg θ + μ γ w_{1} + f (ν) F \cos θ [\cos 2 (ν - ψ) - 1], \\ {u^{'}}_{2} = (1 + ε) u_{3} u_{1} - u_{2} u_{1} ctg θ + μ γ w_{2} + f (ν) F \sin 2 (ν - ψ), \\ {w^{'}}_{3} = u_{2} w_{1} - u_{1} w_{2} - μ (1 + γ + ε) w_{3} / (1 + ε), \\ {u^{'}}_{3} = μ γ w_{3} / (1 + ε), \dot{θ} = u_{1}, \dot{ψ} \sin θ = u_{2}, \end{array}$ (2.20)

здесь u_k и w_k $-$ проекции векторов U и W на оси базис $O {e^{'}}_{1} {e^{'}}_{2} e_{3}$ а , а функции F и f выражаются формулами:

$F = \frac{3 ε \sin θ}{2},$ $f (ν) = {(\frac{1 + e \cos ν}{1 - e^{2}})}^{3} .$ (2.21)

Ниже будем рассматривать динамически симметричный спутник, близкий к сферически симметричному, т.е. положим

$0 < ε ≪ 1.$ (2.22)

Для случая круговой орбиты (v = τ, f = 1) в работе [4] на основе уравнений (2.20) были получены следующие осредненные уравнения второго приближения:

$θ^{'} = \frac{9 ε^{2} μ γ \sin θ}{8 (1 + γ) U} (\frac{U (\cos^{2} θ - 3) \cos θ - 4}{(4 + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}) (4 - U^{2})} - \frac{2 \cos^{3} θ}{μ^{2} {(1 + γ)}^{2} U}),$ (2.23)

$U^{'} = \frac{9 ε^{2} μ γ \sin^{2} θ}{8 (1 + γ)} (\frac{U (1 + \cos^{2} θ) + 4 \cos θ}{(4 + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}) (4 - U^{2})} - \frac{2 \cos^{2} θ}{μ^{2} {(1 + γ)}^{2} U}),$ (2.24)

здесь U и θ $-$ эволюционные составляющие в поведении переменных u₃ и θ.

Эволюционные уравнения (2.23), (2.24), как показано в работе [4], адекватно и с высокой точностью описывают нерезонансные вращения спутника с демпфером, т.е. те вращения, для которых значения U лежат вне малых окрестностей значений U ^* = 2 и U ^* = 0. Было установлено также, что в режиме нерезонансного вращения переменные u₁, u₂, w₁, w₂, w₃ являются ограниченными функциями малого параметра ε, вследствие чего и угол между осью симметрии спутника и вектором угловой скорости оболочки остается малой величиной порядка ε. При этом эволюция по углу прецессии описывается уравнением [4]

$\dot{ψ} = - \frac{3 ε \cos θ}{2 (1 + γ) U} + O (ε^{2}) .$ (2.25)

Здесь и всюду далее O(e) $-$ ограниченные функции малого параметра ε.

В работе [4] по результатам численного интегрирования точных уравнений (2.20) для динамически симметричного спутника были обнаружены на круговой орбите асимптотически устойчивые пространные резонансные режимы вращательного движения 2:1. Характерной особенностью этих резонансных вращений является то, что для них величина угловой скорости спутника остается с точностью до O(ε) неизменной, равной удвоенной угловой скорости орбитального базиса, а ось вращения спутника монотонно эволюционирует в сторону нормали к плоскости орбиты. Как будет показано ниже, для симметричного спутника на круговой орбите существуют и асимптотически устойчивые пространственные резонансные вращения 1:1, для которых величина угловой скорости спутника с точностью до O(ε) равна угловой скорости орбитального базиса.

Ниже проводится аналитическое исследование условий существования и устойчивости указанных резонансных вращений спутника, а также анализ поведения спутника в режимах резонансного вращения.

3. Уравнения вращательного движения спутника с демпфером в переменных Белецкого $-$ Черноусько. Для анализа резонансных вращений спутника будем использовать уравнения (2.17), (2.18), (2.10), в которых состояние оболочки спутника будем описывать переменными Белецкого $-$ Черноусько [9]. В этих переменных положение вектора U относительно базиса Кенига Oi₁i₂i₃ задается согласно рис. 2, a величиной U, углом нутации ρ и углом прецессии σ, а положение оси симметрии спутника e относительно определяемого вектором U базиса Os₁s₂s₃ задается углами Эйлера θ и ψ (рис. 2, b). В качестве остальных переменных для рассматриваемой системы будем использовать проекции W₁,W₂,W₃ вектора W на оси базиса Os₁s₂s₃.

Рис. 2. Переменные Белецкого–Черноусько.

Очевидно, что все возможные состояния системы можно описать, рассматривая значения переменных U и ρ в диапазонах

$U \geq 0, 0 \leq ρ \leq π .$ (3.1)

Базис Os₁s₂s₃ вращается относительно базиса Кенига с угловой скоростью

$w_{s} = σ^{'} i_{3} + ρ^{'} s_{2} = - σ^{'} \sin ρ s_{1} + ρ^{'} s_{2} + σ^{'} \cos ρ s_{3},$ (3.2)

а проекции векторов U и W на оси этого базиса выражаются формулами

$U = U s_{3}, W = W_{1} s_{1} + W_{2} s_{2} + W_{3} s_{3} .$ (3.3)

В проекциях на оси базиса Os₁s₂s₃ уравнения (2.17) и (2.18) запишутся в виде:

$U^{'} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ U^{'} \end{array}) + (\begin{matrix} - σ^{'} \sin ρ \\ ρ^{'} \\ σ^{'} \cos ρ \end{matrix}) \times (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ U \end{array}) = (\begin{matrix} ρ^{'} U \\ σ^{'} U \sin ρ \\ U^{'} \end{matrix}) = (\begin{array}{l} M_{1} \\ M_{2} \\ M_{3} \end{array}),$

$\begin{array}{l} W^{'} = (\begin{array}{l} {W^{'}}_{1} \\ {W^{'}}_{2} \\ {W^{'}}_{3} \end{array}) + (\begin{array}{l} - σ^{'} \sin ρ \\ ρ^{'} \\ σ^{'} \cos ρ \end{array}) \times (\begin{array}{l} W_{1} \\ W_{2} \\ W_{3} \end{array}) = \\ = (\begin{array}{l} {W^{'}}_{1} + W_{3} ρ^{'} - W_{2} σ^{'} \cos ρ \\ {W^{'}}_{2} + W_{1} σ^{'} \cos ρ + W_{3} σ^{'} \sin ρ \\ {W^{'}}_{3} - W_{2} σ^{'} \sin ρ - W_{1} ρ^{'} \end{array}) = - (\begin{array}{l} M_{1} + μ γ W_{1} \\ M_{2} + μ γ W_{2} \\ M_{3} + μ γ W_{3} \end{array}), \end{array}$

здесь M_k $-$ проекции правых частей уравнений (2.17) на оси базиса Os₁s₂s₃. Разрешив эти уравнения относительно производных, получим следующую систему:

$ρ^{'} = M_{1} / U,$ (3.4)

$σ^{'} = M_{2} / (U \sin ρ),$ (3.5)

$U^{'} = M_{3},$ (3.6)

${W^{'}}_{1} = (- W_{3} M_{1} + W_{2} M_{2} ctg ρ) / U - M_{1} - μ W_{1},$ (3.7)

${W^{'}}_{2} = - (W_{1} M_{2} ctg ρ + W_{3} M_{2}) / U - M_{2} - μ W_{2},$ (3.8)

${W^{'}}_{3} = (W_{1} M_{1} + W_{2} M_{2}) / U - M_{3} - μ W_{3} .$ (3.9)

Аналогичным образом на основании формулы

$e = \sin θ (\sin ψ s_{1} - \cos ψ s_{2}) + \cos θ s_{3},$

проецируя векторное уравнение (2.10) на оси базиса Os₁s₂s₃, получим после несложных преобразований следующие уравнения, описывающие поведение углов Эйлера $ρ$ и $σ$ :

$θ^{'} = (M_{2} \cos ψ - M_{1} \sin ψ) / U,$ (3.10)

$ψ^{'} = U - (ctg θ (M_{1} \cos ψ + M_{2} \sin ψ) + M_{2} ctg ρ) / U .$ (3.11)

Уравнения (3.4) $-$ (3.11) в сочетании с уравнением (2.7) образуют замкнутую систему относительно переменных $ρ, σ, U, ψ, θ, W_{1}, W_{2}, W_{3}$ и v.

Заметим, что в силу условия (2.22) последнее слагаемое в выражении для вектора M (2.17) мало по сравнению с предпоследним, т.е.

$ε μ γ |(W \cdot e) e| / (1 + ε) ≪ μ γ |W| .$

Ниже при построении осредненных уравнений первого приближения этим слагаемым можно пренебречь и использовать для вектора M следующую формулу:

$M = m - ε (U \cdot e) U \times e + μ γ W .$ (3.12)

В проекциях на оси базиса Os₁s₂s₃ вектор (3.12) запишется в виде:

$M = (\begin{array}{l} M_{1} \\ M_{2} \\ M_{3} \end{array}) = (\begin{array}{l} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \end{array}) - ε U^{2} \sin θ \cos θ (\begin{matrix} \cos ψ \\ \sin ψ \\ 0 \end{matrix}) + μ γ (\begin{array}{l} W_{1} \\ W_{2} \\ W_{3} \end{array}),$ (3.13)

а проекции вектора m (2.19) выражаются через силовую функцию

$\begin{matrix} V = - \frac{3 ε}{16} f (ν) (2 \sin 2 θ \sin ρ [(1 + \cos ρ) \sin (ψ - 2 s) - (1 - \cos ρ) \sin (ψ + 2 s)] + \\ + \sin^{2} θ [4 - {(1 + \cos ρ)}^{2} \cos 2 (ψ - s) - {(1 - \cos ρ)}^{2} \cos 2 (ψ + s)] + \\ + 2 \sin^{2} ρ [(3 \cos^{2} θ - 1) (1 + \cos 2 s) + \sin^{2} θ \cos 2 ψ] + 2 \sin 2 ρ \sin 2 θ \sin ψ), \end{matrix}$ (3.14)

по формулам [9]

$m_{1} = ctg ρ \frac{\partial V}{\partial ψ} + \frac{1}{\sin ρ} \frac{\partial V}{\partial s},$ $m_{2} = \frac{\partial V}{\partial ρ},$ $m_{3} = \frac{\partial V}{\partial ψ} .$ (3.15)

Здесь

$s = ν - σ .$ (3.16)

Заметим, что проекции (3.15) гравитационного момента на оси базиса Os₁s₂s₃ могут быть вычислены и непосредственно на основе формулы (2.19).

4. Резонансные вращения спутника на круговой орбите. Резонанс 2:1. Для случая круговой орбиты будем иметь $s = τ - σ, f = 1$ .

Оценим сначала значения компонент вектора W в режиме медленной эволюции, которая наступает после окончания переходных процессов (при достаточно больших значениях $τ$ ). На основании уравнения (2.18) получим для производной по $τ$ от функции W ² следующее выражение:

$(W^{2})^{'} = - 2 μ (1 + γ) W^{2} - 2 (m \cdot W) + 2 ε (U \cdot e) [(U \times e) \cdot W] + 2 ε μ γ \frac{{(W \cdot e)}^{2}}{1 + ε} .$ (4.1)

Отсюда следует, что если $U ≫ ε$ , то в режиме медленной эволюции все компоненты вектора W, а следовательно, и все компоненты вектора M (3.12), будут ограниченными функциями малого параметра ε:

$W_{k} = O (ε), M_{k} = O (ε); k = 1, 2, 3.$ (4.2)

В свою очередь, из уравнений (3.4) $-$ (3.11) при учете (4.2) следует, что при $U ≫ ε$ в режиме медленной эволюции переменные $τ$ и y будут “быстрыми”, а остальные переменные $-$ “медленными” (скорость изменения этих переменных будет ограниченной функцией $ε$ ).

Для анализа резонансных вращений спутника будем использовать метод осреднения [10, 11]. В процедуре этого метода сначала ищется зависящее явно от “быстрых” переменных $τ$ и $ψ$ решение системы, получаемой линеаризацией уравнений (3.4) $-$ (3.11). Затем это решение подставляется в нелинейные уравнения и после осреднения получаются эволюционные уравнения.

Из уравнений (3.4) $-$ (3.11) и формул (3.14) $-$ (3.16) следует, что в решениях линеаризованной системы будут фигурировать гармонические функции вида:

$\begin{array}{l} \frac{a_{1} \cos (ψ \pm 2 s) + b_{1} \sin (ψ \pm 2 s)}{ψ^{'} \pm 2 s^{'}}, \frac{a_{2} \cos 2 (ψ \pm s) + b_{2} \sin 2 (ψ \pm s)}{ψ^{'} \pm s^{'}}, \\ \frac{a_{3} \cos 2 s + b_{3} \sin 2 s}{s^{'}}, \frac{a_{4} \cos ψ + b_{4} \sin ψ}{ψ^{'}}, \frac{a_{5} \cos 2 ψ + b_{5} \sin 2 ψ}{ψ^{'}} . \end{array}$

Резонансным вращениям спутника будут соответствовать движения, для которых средние по времени $τ$ значения некоторых из знаменателей в записанных выражениях обращаются в нуль. Сначала выясним, для каких из этих знаменателей указанное условие заведомо не выполняется. Средние по времени $τ$ значения переменных будем обозначать угловыми скобками.

Из уравнений (3.5) и (3.11) при учете (4.2) следует, что при $U ≫ ε$ выполняются следующие неравенства:

$〈ψ^{'}〉 = U + O (ε) > 0,$ $〈s^{'}〉 = 1 + O (ε) > 0,$

$〈ψ^{'} + 2 s^{'}〉 = 2 + O (ε) > 0,$ $〈ψ^{'} + s^{'}〉 = 1 + O (ε) > 0.$

Таким образом, в диапазоне значений $U ≫ ε$ резонансные вращения спутника возможны только при выполнении следующих двух резонансных соотношений:

$〈ψ^{'} - 2 s^{'}〉 = 〈ψ^{'} + 2 σ^{'}〉 - 2 = 0$ $\Rightarrow U = 2 + O (ε),$ (4.3)

$〈ψ^{'} - s^{'}〉 = 〈ψ^{'} + σ^{'}〉 - 1 = 0$ $\Rightarrow U = 1 + O (ε) .$ (4.4)

Исследуем сначала вращения спутника, для которых выполняется резонансное соотношение (4.3). Выше такие вращения были названы резонансами 2:1, поскольку для них угловая скорость спутника близка к удвоенной угловой скорости орбитального базиса.

Введем новую переменную X согласно формуле

$X = ψ - 2 (τ - σ) .$ (4.5)

Резонансное соотношение (4.3) будет выполняться для тех движений спутника, где среднее значение переменной X остается неизменным. При этом для резонансных вращений 2:1 будет иметь место такая синхронизация между движением центра масс и вращательным движением спутника, при которой за один оборот центра масс спутника относительно базиса Os₁s₂s₃ ось симметрии спутника e совершает ровно два оборота вокруг вектора угловой скорости U (см. рис. 2, 3).

Согласно (3.5) и (3.11) уравнение, описывающее поведение переменной X, записывается в виде:

$X^{'} = U - 2 - ctg θ (M_{1} \cos ψ + M_{2} \sin ψ) / U + M_{2} (2 - \cos ρ) / (U \sin ρ) .$ (4.6)

Уравнения (3.4) $-$ (3.11), (4.6) заменой $2 (τ - σ) = ψ - X$ приводятся к автономной системе в переменных $ρ, U, W_{1}, W_{2}, W_{3}, θ, X, ψ .$ Далее усредним эти уравнения по “быстрой” переменной $ψ$ , а интересующие нас резонансные вращения спутника будем искать среди стационарных по переменным $U, W_{1}, W_{2}, W_{3}, θ, X$ решений (положений равновесия) осредненной системы при фиксированном значении переменной ρ.

В указанных переменных вычисленные по формулам (3.15) проекции гравитационного момента m (2.19) на оси базиса Os₁s₂s₃ выражаются в виде:

$\begin{array}{l} m_{1} = \frac{3 ε}{8} \{\sin 2 θ (1 + \cos ρ) (2 - \cos ρ) \cos X - 2 \sin 2 θ \cos^{2} ρ \cos ψ + \\ + \sin^{2} θ \sin ρ (1 + \cos ρ) \sin (ψ + X) - 2 \sin ρ (1 - 3 \cos^{2} θ) \sin (ψ - X) + \\ + \sin 2 ρ \sin^{2} θ \sin 2 ψ + \sin 2 θ (1 - \cos ρ) (2 + \cos ρ) \cos (2 ψ - X) - \\ - \sin^{2} θ \sin ρ (1 - \cos ρ) \sin (3 ψ - X)\}, \end{array}$ (4.7)

$\begin{array}{l} m_{2} = \frac{3 ε}{8} \{\sin 2 ρ (1 - 3 \cos^{2} θ) + \sin 2 θ (1 + \cos ρ) (1 - 2 \cos ρ) \sin X - \\ - 2 \sin 2 θ \cos 2 ρ \sin ψ - \sin^{2} θ \sin ρ (1 + \cos ρ) \cos (ψ + X) + \\ + \sin 2 ρ (1 - 3 \cos^{2} θ) \cos (ψ - X) - \sin^{2} θ \sin 2 ρ \cos 2 ψ + \\ + (1 - \cos ρ) [\sin 2 θ (1 + 2 \cos ρ) \sin (2 ψ - X) + \sin^{2} θ \sin ρ \cos (3 ψ - X)]\}, \end{array}$ (4.8)

$\begin{array}{l} m_{3} = \frac{3 ε}{8} \{- \sin 2 θ \sin ρ (1 + \cos ρ) \cos X - \sin^{2} θ {(1 + \cos ρ)}^{2} \sin (ψ + X) - \\ - \sin 2 ρ \sin 2 θ \cos ψ + \sin 2 θ \sin ρ (1 - \cos ρ) \cos (2 ψ - X) + \\ + 2 \sin^{2} θ \sin^{2} ρ \sin 2 ψ - \sin^{2} θ {(1 - \cos ρ)}^{2} \sin (3 ψ - X)\} . \end{array}$ (4.9)

Проведем теперь осреднение уравнений (3.4) $-$ (3.11) и (4.6) по быстрой переменной $ψ$ . Обозначив средние по $ψ$ чертой сверху, получим на основании формул (4.7) $-$ (4.9)

${\bar{m}}_{1} = 3 ε \cos X \sin 2 θ (1 + \cos ρ) (2 - \cos ρ) / 8,$ (4.10)

${\bar{m}}_{2} = 3 ε (\sin 2 ρ (1 - 3 \cos^{2} θ) + \sin 2 θ \sin X (1 + \cos ρ) (1 - 2 \cos ρ)) / 8,$ (4.11)

${\bar{m}}_{3} = - 3 ε \cos X \sin 2 θ \sin ρ (1 + \cos ρ) / 8 .$ (4.12)

При учете формул (4.2) осредненные по y уравнения (3.4) $-$ (3.9) запишутся в виде:

$ρ^{'} = ({\bar{m}}_{1} + μ γ W_{1}) / U$ , $σ^{'} = ({\bar{m}}_{2} + μ γ W_{2}) / (U \sin ρ),$ (4.13)

${W^{'}}_{1} = - μ (1 + γ) W_{1} - {\bar{m}}_{1} + O (ε^{2})$ , ${W^{'}}_{2} = - μ (1 + γ) W_{2} - {\bar{m}}_{2} + O (ε^{2}),$ (4.14)

${W^{'}}_{3} = - μ (1 + γ) W_{3} - {\bar{m}}_{3} + O (ε^{2})$ , $U^{'} = μ γ W_{3} + {\bar{m}}_{3} + O (ε^{2}) .$ (4.15)

В правых частях уравнений (3.10), (3.11) и (4.6) фигурируют функции $M_{2} \cos ψ - M_{1} \sin ψ$ и $M_{1} \cos ψ + M_{2} \sin ψ$ . Для вычисления их среднего по $ψ$ с точностью до O(ε²) необходимо в поведении вектора M (3.12) определить осцилляционные составляющие M_ψ, содержащие гармоники вида:

$M_{ψ} = a (ρ, θ) \cos ψ + b (ρ, θ) \sin ψ .$ (4.16)

Согласно (3.12) и (3.13) вектор M_y выражается формулой:

$M_{ψ} = m_{ψ} - ε (U \cdot e) U \times e + μ γ W_{ψ};$ $(U \cdot e) U \times e = U^{2} \sin θ \cos θ (\begin{matrix} \cos ψ \\ \sin ψ \\ 0 \end{matrix}),$ (4.17)

где m_τ и W_ψ $-$ слагаемые векторов m и W, содержащие гармоники вида (4.16).

Осцилляционные составляющие W_ψ вектора W определяются с точностью до O(ε²) решениями уравнения

$\frac{\partial W}{\partial ψ} ψ^{'} = a \cos ψ + b \sin ψ - μ (1 + γ) W,$ (4.18)

которое получается из уравнения (2.18) отбрасыванием в его правой части членов второго порядка малости по ε. Здесь

$α \cos ψ + β \sin ψ = - m_{ψ} + ε (U \cdot e) U \times e .$ (4.19)

При учете уравнения (3.11) решение уравнения (4.18) описывается с точностью до O(e²) следующей формулой:

$W_{ψ} = \frac{μ (1 + γ) α - U β}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} \cos ψ + \frac{U ε + μ (1 + γ) β}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} \sin ψ .$ (4.20)

Искомый вектор M_ψ выражается формулой

$M_{ψ} = - α \cos ψ - β \sin ψ + μ γ W_{ψ}$ (4.21)

и записывается в следующем виде:

$M_{ψ} = - (\frac{[U^{2} + μ^{2} (1 + γ)] α + μ γ U β}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} \cos ψ + \frac{[U^{2} + μ^{2} (1 + γ)] α - μ γ U β}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} \sin ψ) .$ (4.22)

На основании формулы (4.22) получим:

$〈M_{2} \cos ψ - M_{1} \sin ψ〉 = - \frac{1}{2} (\frac{U^{2} + μ^{2} (1 + γ)}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} (α_{2} - β_{1}) + \frac{μ γ U (α_{1} + β_{2})}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}}),$ (4.23)

$〈M_{1} \cos ψ + M_{2} \sin ψ〉 = - \frac{1}{2} (\frac{U^{2} + μ^{2} (1 + γ)}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} (α_{1} + β_{2}) + \frac{μ γ U (β_{1} - α_{2})}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}}) .$ (4.24)

Для компонент векторов α и β на основании формул (4.7), (4.8), (4.17) и (4.19) получим следующие выражения:

$α_{1} = 3 ε \{2 \sin 2 θ (\cos^{2} ρ + 2 U^{2} / 3) - \sin ρ [2 (1 - 3 \cos^{2} θ) + \sin^{2} θ (1 + \cos ρ)] \sin X\} / 8,$

$β_{1} = 3 ε \cos X \sin ρ [2 (1 - 3 \cos^{2} θ) - \sin^{2} θ (1 + \cos ρ)] / 8,$

$α_{2} = 3 ε \cos X \sin ρ [\sin^{2} θ (1 + \cos ρ) - 2 \cos ρ (1 - 3 \cos^{2} θ)] / 8,$

$\begin{matrix} β_{2} = 3 ε \{2 \sin 2 θ (\cos 2 ρ + 2 U^{2} / 3) - \sin ρ [2 \cos ρ (1 - 3 \cos^{2} θ) + \\ + \sin^{2} θ (1 + \cos ρ)] \sin X\} / 8 . \end{matrix}$

Отсюда находим

$α_{2} - β_{1} = 3 ε \cos^{2} θ \cos X \sin ρ (1 + \cos ρ) / 2,$

$α_{1} + β_{2} = 3 ε (\sin 2 θ (4 U^{2} / 3 + 3 \cos^{2} ρ - 1) + 2 \cos 2 θ \sin X \sin ρ (1 + \cos ρ)) / 4 .$

После подстановки этих выражений в формулы (4.23) и (4.24) осредненные по ψ уравнения (4.6) и (3.10) запишутся в следующем виде:

$\begin{matrix} X^{'} = F_{X} = U - 2 + ({\bar{m}}_{2} + μ γ W_{2}) (2 - \cos ρ) / (U \sin ρ) + \\ + \frac{ctg θ}{2 U} (\frac{U^{2} + μ^{2} (1 + γ)}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} (α_{1} + β_{2}) - \frac{μ γ U (α_{2} - β_{1})}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}}) + O (ε^{2}), \end{matrix}$ (4.25)

$\begin{matrix} θ^{'} = F_{θ} = - \frac{3 ε}{4 U} \frac{U^{2} + μ^{2} (1 + γ)}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} \sin ρ (1 + \cos ρ) \cos^{2} θ \cos X - \\ - \frac{3 ε}{8} μ γ \frac{\sin 2 θ (4 U^{2} / 3 + 3 \cos^{2} ρ - 1) + 2 \cos 2 θ \sin ρ (1 + \cos ρ) \sin X}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} + O (ε^{2}) . \end{matrix}$ (4.26)

Стационарные решения (положения равновесия) системы (4.14), (4.15), (4.25), (4.26) по переменным W₁, W₂, W₃, U, θ, X при фиксированном r описываются следующей системой уравнений:

$W_{1}^{*} = - \frac{3 ε}{8} \frac{\sin 2 θ^{*} \cos X^{*} (1 + \cos ρ) (2 - \cos ρ)}{μ (1 + γ)} + O (ε^{2}),$ (4.27)

$W_{2}^{*} = - \frac{3 ε}{8} \frac{\sin 2 ρ (1 - 3 \cos^{2} θ^{*}) + \sin 2 θ^{*} \sin X^{*} (1 + \cos ρ) (1 - 2 \cos ρ)}{μ (1 + γ)} + O (ε^{2}),$ (4.28)

$W_{3}^{*} = \frac{3 ε}{8} \frac{\sin 2 θ^{*} \cos X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ)}{μ (1 + γ)} + O (ε^{2}) .$ (4.29)

$\sin 2 θ^{*} \cos X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ) = O (ε),$ (4.30)

$U^{*} = 2 + O (ε),$ (4.31)

$\begin{array}{l} (4 + μ^{2} (1 + γ)) \cos^{2} θ^{*} \cos X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ) + \\ + μ γ (\sin 2 θ^{*} (13 / 3 + 3 \cos^{2} ρ) + 2 \cos 2 θ^{*} \sin X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ)) = O (ε) . \end{array}$ (4.32)

Если значения угла нутации r удовлетворяют условию

$\sin ρ (1 + \cos ρ) ≫ ε,$ (4.33)

то с точностью до O(ε) стационарные решения для X ^* и θ^* в уравнениях (4.27) $-$ (4.32) описываются формулами:

$\cos X^{*} = 0,$ $tg 2 θ^{*} = - \frac{2 \sin ρ (1 + \cos ρ)}{13 / 3 + 3 \cos^{2} ρ} \sin X^{*} .$ (4.34)

Вопрос об устойчивости найденных стационарных решений сводится к исследованию корней характеристического уравнения системы (4.14), (4.15), (4.25), (4.26), линеаризованной в окрестности положений равновесия. Матрица этой системы на решениях (4.27) $-$ (4.32), (4.34) выражается следующей формулой:

$A = (\begin{array}{l} - μ (1 + γ) 0 0 0 O (ε) 0 \\ 0 - μ (1 + γ) 0 0 0 O (ε) \\ 0 0 - μ (1 + γ) 0 ε f_{3} 0 \\ 0 0 μ γ 0 - ε f_{3} 0 \\ 0 μ γ \frac{2 - \cos ρ}{2 \sin ρ} 0 1 ε f_{x x} O (ε) \\ 0 0 0 O (ε) O (ε) ε f_{θ θ} \end{array}) .$ (4.35)

Здесь

$ε f_{3} = - \frac{\partial {\bar{m}}_{3}}{\partial X} = - \frac{3 ε}{8} \sin 2 θ^{*} \sin X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ),$ (4.36)

$\begin{matrix} ε f_{θ θ} = \frac{\partial F_{θ}}{\partial θ} = \\ = - \frac{3 ε}{4} μ γ \frac{\cos 2 θ^{*} (13 / 3 + 3 \cos^{2} ρ) - 2 \sin 2 θ^{*} \sin X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ)}{4 + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}}, \end{matrix}$ (4.37)

$ε f_{x x} = \frac{\partial F_{X}}{\partial X} = \frac{3 ε μ γ ctg θ^{*} \cos^{2} θ^{*}}{4 (4 + μ^{2} {(1 + γ)}^{2})} \sin X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ) .$ (4.38)

Характеристический полином матрицы (4.35), в коэффициентах которого учтены только главные члены разложения по ε, записывается в виде:

$\begin{matrix} f (λ) = {(μ (1 + γ) + λ)}^{2} (λ - ε f_{θ}) \times \\ \times (λ^{3} + λ^{2} μ (1 + γ) + λ ε (f_{3} - μ (1 + γ) f_{x x}) + μ ε f_{3}) . \end{matrix}$ (4.39)

Отсюда на основании формул (4.36), (4.38) и критерия Рауса $-$ Гурвица заключаем, что те из стационарных решений, для которых f₃ > 0 и f_θ < 0, асимптотически устойчивы, а решения, для которых f₃ < 0 либо f_θ > 0, неустойчивы.

Из условий f₃ > 0, f_θ < 0 и формул (4.34), (4.36) $-$ (4.38) следует, что асимптотически устойчивым положениям равновесия осредненной системы отвечают те из решений (4.27) $-$ (4.32), для которых

$\sin X^{*} = - 1,$ $tg 2 θ^{*} = \frac{2 \sin ρ (1 + \cos ρ)}{13 / 3 + 3 \cos^{2} ρ}; \sin 2 θ^{*} > 0.$ (4.40)

По теореме Н.Н. Боголюбова [10, 11] асимптотически устойчивым положениям равновесия осредненной системы соответствуют асимптотически устойчивые периодические решения исходной (точной) системы.

Для устойчивых решений полином (4.39) имеет три вещественных корня:

$λ_{1} = λ_{2} = - μ^{2} (1 + γ),$ $λ_{3} = ε f_{θ θ} = - \frac{3 ε}{4} μ γ \frac{(13 / 3 + 3 \cos^{2} ρ) \sqrt{1 + {tg}^{2} 2 θ^{*}}}{4 + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}},$ (4.41)

а вещественные части остальных корней при $μ ≫ ε$ выражаются формулами:

$Re (λ_{4}) = - μ (1 + γ) + O (ε), Re (λ_{5,6}) = - 3 ε γ \frac{\sin ρ (1 + \cos ρ) \sin 2 θ^{*}}{16 μ {(1 + γ)}^{2}} + O (ε^{2}) .$ (4.42)

Из этих формул следует, что при $μ ≫ ε$ и $γ ≫ ε$ вещественные части всех корней характеристического полинома ограничены сверху неравенствами:

$Re (λ_{k}) < - a ε, a ≫ ε; k = 1, 2, \dots, 6.$ (4.43)

Обратимся теперь к первому из уравнений (4.13). Из него и формул (4.10), (4.27), (4.40) следует, что в окрестности асимптотически устойчивых стационарных решений системы (4.14), (4.15), (4.25), (4.26) поведение переменной r описывается уравнением $ρ' = O (ε)$ . Отсюда при учете соотношений (4.43) получаем, что переменная r является “медленной” по сравнению с переменными W₁, W₂, W₃, U, θ, X. Следовательно, применима теорема А.Н. Тихонова [12] об условиях редукции в системе дифференциальных уравнений с малым параметром, согласно которой систему дифференциальных уравнений (4.14), (4.15), (4.25), (4.26) можно заменить системой алгебраических уравнений (4.27) $-$ (4.32), (4.40) и решать их совместно с дифференциальным уравнением (4.13).

Стационарные решения, описываемые формулами (4.27) $-$ (4.32), (4.40), являются функциями переменной $ρ$ . После подстановки этих решений в первое из уравнений (4.13) получается дифференциальное уравнение $ρ' = f (r)$ , описывающее эволюцию переменной r, где f (ρ) будет ограниченной функцией $ε^{2}$ .

По мере медленного изменения переменной r меняются, вообще говоря, и значения переменных W₁^*(ρ), W₂^*(ρ), W₃^*(ρ), U ^*(ρ), q^*(ρ), X ^*(ρ). Поэтому рассматриваемые пространственные резонансные вращения спутника представляют собой эволюционирующий (неустановившийся) процесс. В этом процессе угол θ между осью вращения и осью симметрии спутника согласно второй из формул (4.40) не зависит от значений параметров μ, γ, ε. Он зависит только от величины угла нутации ρ и может достигать значений $θ_{\max} \approx$ 0.25. При этом угловая скорость спутника на резонансном вращении согласно формуле (4.31) будет с точностью до O(ε) совпадать со значением U ^* = 2, а значение переменной X (4.5), отвечающей за синхронизацию между вращательным движением спутника и движением его центра масс, согласно первой из формул (4.40) с точностью до O(ε) будет совпадать со значением X ^* = $-$ π/2.

Согласно формулам (4.27) $-$ (4.29) в режиме резонансного вращения относительная угловая скорость демпфера будет ограниченной функцией малого параметра e, как и в случае нерезонансного вращения.

Прецессия оси вращения спутника описывается вторым из уравнений (4.13). Для устойчивого резонансного вращения спутника в силу формул (4.11), (4.28) и (4.40) это уравнение принимает следующий вид:

$σ^{'} = - \frac{3 ε}{8} (\frac{\cos ρ (1 + 3 \cos 2 θ^{*})}{(1 + γ) U} + \frac{\sin 2 θ^{*} (1 + \cos ρ) (1 - 2 \cos ρ)}{(1 + γ) U \sin ρ}) + O (ε^{2}) .$ (4.44)

Для нерезонансного движения спутника прецессия оси вращения описывается в переменных s, r аналогичным (2.25) уравнением:

$σ^{'} = - \frac{3 ε \cos ρ}{2 (1 + γ) U} + O (ε^{2}) .$ (4.45)

Из формул (4.44) и (4.45) следует, что для одних и тех же значений угла нутации r скорости прецессии в резонансном и нерезонансном вращении спутника могут отличаться на величину порядка e, сопоставимую с (4.45).

Оценим границы интервалов значений угла нутации ρ, в пределах которых существуют резонансные вращения 2 : 1 для динамически симметричного спутника. Положим, что в правой части уравнения (4.30) O(ε) = aε, где $a \neq 0$ $-$ некоторая ограниченная величина. Тогда получим уравнение:

$\sin 2 θ^{*} \cos X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ) = a ε .$

Это уравнение не имеет решений, если $s i n ρ {(1 + c o s ρ)}^{3} < |a| ε$ , т.е. для следующих значений r из интервала (0,π): $2 ρ < ε |a|, {(π - ρ)}^{3} < 2 ε |a|$ .

Таким образом, интервал значений угла нутации r, где существуют резонансные вращения 2 : 1, описывается формулой:

$ρ_{1} < ρ < π - ρ_{2},$ где $ρ_{1} \sim ε, ρ_{2} \sim ε^{1 / 3}$ . (4.46)

Из формулы (4.46) следует, что нет резонансных вращений для значений r, близких к нулю и близких к π. При этом, поскольку $ρ_{2} ≫ ρ_{1}$ , то примыкающий к π интервал (π $-$ ρ₂, π), где нет резонансных вращений, имеет гораздо большие размеры, чем примыкающий к нулю интервал (0,ρ₁).

Из формулы (4.46) следует также, что с уменьшением параметра e диапазон значений r, где существуют резонансные вращения 2:1, увеличивается.

На рис. 4 приведены построенные по результатам численного интегрирования точных уравнений (2.14), (2.15), (2.10) фазовые траектории вращательного движения спутника с демпфером в плоскости переменных U_X, U_Z для следующих значений параметров: μ = 1, γ = 1, ε = 0.1. Здесь U_X $-$ проекция угловой скорости спутника на плоскость орбиты, а U_Z $-$ проекция угловой скорости спутника на нормаль к плоскости орбиты. На рис. 3, а изображены фазовые траектории для начальных условий из области U > 2, а на рис. 3, b $-$ из области U < 2. Стрелками показано направление эволюции.

Рис. 3. Фазовые траектории.

Резонансным вращениям 2:1 на представленных рисунках соответствует дуга окружности радиуса U » 2. Как видно из этих рисунков, асимптотически устойчивые резонансные вращения 2:1 существуют в широком диапазоне значений угла нутации r из интервала (0,π). Отсутствие резонансных вращений, близких к “обратным”, где значения ρ близки к π, объясняется формулой (4.46).

На рис. 4, a $-$ d изображено поведение переменных U, ρ, θ и X на резонансных вращениях 2 : 1. Эти графики построены по результатам численного интегрирования точных уравнений движения спутника (3.4) $-$ (3.11) для следующих значений параметров: μ = 1, γ = 1, ε = 0.1. Здесь N $-$ число оборотов центра масс спутника вокруг притягивающего центра.

Представленные графики полностью подтверждают полученные выше аналитические выводы о поведении переменных на резонансных вращениях 2 : 1. Из графика на рис. 4, a следует, что после захвата в резонансное вращение (в момент захвата N $\approx$ 400) величина угловой скорости спутника практически не меняется и близка к значению U = 2, а графики углов θ и X = ψ $-$ 2(τ $-$ σ) на рис. 4, b, c полностью согласуются с формулами (4.40).

Рис. 4. Резонансные вращения 2:1.

График угла нутации r на рис. 4, d показывает, что значение этой переменной на резонансном вращении монотонно уменьшается, т.е. движение спутника монотонно стремится к “прямому” плоскому стационарному вращению вокруг нормали к плоскости орбиты.

5. Резонансные вращения 1:1. Исследуем теперь вращения спутника, для которых выполняется резонансное соотношение (4.4). Такие вращения будем называть резонансами 1:1. Для них угловая скорость спутника с точностью до O(ε) равна угловой скорости орбитального базиса. Для исследования этих резонансных вращений применим ту же самую процедуру, которая использовалась выше при анализе резонансов 2 : 1.

Введем новую переменную X согласно формуле

$X = ψ - (τ - σ) .$ (5.1)

Резонансное соотношение (4.4) будет выполняться для тех движений спутника, где среднее значение переменной X остается неизменным. При этом для резонансных вращений 1:1 будет иметь место такая синхронизация между движением центра масс и вращательным движением спутника, при которой за один оборот центра масс спутника относительно базиса Os₁s₂s₃ ось симметрии спутника e совершает ровно один оборот вокруг вектора угловой скорости U (см. рис. 2, 3).

Согласно (3.5) и (3.11) уравнение, описывающее поведение переменной X (5.1), записывается в виде:

$X^{'} = U - 1 - ctg θ (M_{1} \cos ψ + M_{2} \sin ψ) / U + M_{2} (1 - \cos ρ) / (U \sin ρ) .$ (5.2)

Уравнения (3.4) $-$ (3.11) и (5.2) заменой $τ - σ = ψ - X$ приводятся к автономной системе в переменных r, U, W₁, W₂, W₃, θ, X, ψ. В рассматриваемом случае вычисленные по формулам (3.15) проекции гравитационного момента m (2.19) на оси базиса Os₁s₂s₃ запишутся в виде:

$\begin{array}{l} m_{1} = \frac{3 ε}{8} \{\sin ρ (1 + \cos ρ) \sin^{2} θ \sin 2 X + \\ + \sin 2 θ [- 2 \cos^{2} ρ \cos ψ + (1 + \cos ρ) (2 - \cos ρ) \cos (ψ - 2 X)] + \\ + \sin 2 ρ \sin^{2} θ \sin 2 ψ + \sin 2 θ ((1 - \cos ρ) (2 + \cos ρ) \cos (3 ψ - 2 X) + \\ _{} + \sin^{2} θ \sin ρ (\cos ρ - 1) \sin (4 ψ - 2 X) + 2 \sin ρ (3 \cos^{2} θ - 1) \sin 2 (ψ - X)\}, \end{array}$ (5.3)

$\begin{array}{l} m_{2} = \frac{3 ε}{8} \{\sin 2 ρ (1 - 3 \cos^{2} θ) - \sin^{2} θ \sin ρ (1 + \cos ρ) \cos 2 X + \\ + \sin 2 θ [- 2 \cos 2 ρ \sin ψ + (\cos ρ + \cos 2 ρ) \sin (ψ - 2 X)] + \end{array}$

$\begin{array}{l} - \sin 2 ρ [\sin^{2} θ \cos 2 ψ + (3 \cos^{2} θ - 1) \cos (2 ψ - 2 X)] + \\ + \sin^{2} θ \sin ρ (1 - \cos ρ) \cos (4 ψ - 2 X) + \sin 2 θ (\cos 2 ρ - \cos ρ) \sin (3 ψ - 2 X)\}, \end{array}$ (5.4)

$\begin{array}{l} m_{3} = \frac{3 ε}{8} \{- \sin^{2} θ {(1 + \cos ρ)}^{2} \sin 2 X - \sin 2 θ \sin 2 ρ \cos ψ - \\ - \sin 2 θ \sin ρ (1 + \cos ρ) \cos (ψ - 2 X)] + 2 \sin^{2} θ \sin^{2} ρ \sin 2 ψ + \\ + \sin 2 θ \sin ρ (1 - \cos ρ) \cos (3 ψ - 2 X) - \sin^{2} θ {(1 - \cos ρ)}^{2} \sin (4 ψ - 2 X)\} . \end{array}$ (5.5)

После осреднения уравнений (3.4) $-$ (3.9) по “быстрой” переменной y получим систему (4.13) $-$ (4.15), в которой согласно (5.3) $-$ (5.5) средние по y компоненты гравитационного момента будут выражаться формулами:

${\bar{m}}_{1} = 3 ε \sin^{2} θ \sin 2 X \sin ρ (1 + \cos ρ) / 8,$ (5.6)

${\bar{m}}_{2} = 3 ε (\sin 2 ρ (1 - 3 \cos^{2} θ) - \sin ρ (1 + \cos ρ) \sin^{2} θ \cos 2 X) / 8,$ (5.7)

${\bar{m}}_{3} = - 3 ε \sin^{2} θ \sin 2 X {(1 + \cos ρ)}^{2} / 8 .$ (5.8)

Чтобы усреднить правые части уравнений (3.10) и (5.2) с точностью до O(e²), воспользуемся формулами (4.23) и (4.24). В рассматриваемом случае на основании формул (4.17), (4.19), (5.3) и (5.4) получим:

$α_{1} = 3 ε \sin 2 θ (2 \cos^{2} ρ + 4 U^{2} / 3 + (1 + \cos ρ) (\cos ρ - 2) \cos 2 X) / 8,$

$β_{1} = 3 ε \sin 2 θ \sin 2 X (1 + \cos ρ) (\cos ρ - 2) / 8,$

$α_{2} = 3 ε \sin 2 θ \sin 2 X (\cos ρ + \cos 2 ρ) / 8,$

$β_{2} = 3 ε \sin 2 θ (2 \cos 2 ρ + 4 U^{2} / 3 - (\cos ρ + \cos 2 ρ) \cos 2 X) / 8 .$

Отсюда находим

$α_{2} - β_{1} = 3 ε \sin 2 θ \sin 2 X {(\cos ρ + 1)}^{2} / 8,$ (5.9)

$α_{1} + β_{2} = 3 ε \sin 2 θ (6 \cos^{2} ρ - 2 + 8 U^{2} / 3 - {(1 + \cos ρ)}^{2} \cos 2 X) / 8 .$ (5.10)

В итоге осредненные по y уравнения (5.2) и (3.10) запишутся в виде:

$\begin{matrix} X^{'} = F_{X} = U - 1 + ({\bar{m}}_{2} + μ γ W_{2}) (1 - \cos ρ) / (U \sin ρ) + \\ + \frac{ctg θ}{2 U} (\frac{U^{2} + μ^{2} (1 + γ)}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} (α_{1} + β_{2}) + \frac{μ γ U (β_{1} - α_{2})}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}}) + O (ε^{2}), \end{matrix}$ (5.11)

$θ^{'} = F_{θ} = - \frac{3 ε}{16 U} \frac{U^{2} + μ^{2} (1 + γ)}{U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2}} \sin 2 θ \sin 2 X {(\cos ρ + 1)}^{2} -$

$- \frac{3 ε μ γ \sin 2 θ (6 \cos^{2} ρ - 2 + 8 U^{2} / 3 - {(1 + \cos ρ)}^{2} \cos 2 X)}{16 (U^{2} + μ^{2} {(1 + γ)}^{2})} + O (ε^{2}) .$ (5.12)

В рассматриваемом случае стационарные решения (положения равновесия) осредненной системы (4.14), (4.15), (5.11), (5.12) по переменным W₁, W₂, W₃, U, θ, X при фиксированном ρ определяются решениями следующей системы уравнений:

$W_{1}^{*} = - \frac{3 ε}{8} \frac{\sin^{2} θ^{*} \sin 2 X^{*} \sin ρ (1 + \cos ρ)}{μ (1 + γ)} + O (ε^{2}),$ (5.13)

$W_{2}^{*} = - \frac{3 ε}{8} \frac{\sin 2 ρ (1 - 3 \cos^{2} θ^{*}) - \sin ρ (1 + \cos ρ) \sin^{2} θ^{*} \cos 2 X^{*}}{μ (1 + γ)} + O (ε^{2}),$ (5.14)

$W_{3}^{*} = \frac{3 ε}{8} \frac{\sin^{2} θ^{*} \sin 2 X^{*} {(1 + \cos ρ)}^{2}}{μ (1 + γ)} + O (ε^{2}),$ (5.15)

$\sin^{2} θ^{*} \sin 2 X^{*} {(1 + \cos ρ)}^{2} = O (ε),$ (5.16)

$U^{*} = 1 + O (ε),$ (5.17)

$\begin{array}{l} \sin 2 θ^{*} \sin 2 X^{*} [1 + μ^{2} (1 + γ)] + \\ + \sin 2 θ^{*} μ γ (6 \cos^{2} ρ - 2 + 8 / 3 - {(1 + \cos ρ)}^{2} \cos 2 X^{*}) = O (ε) . \end{array}$ (5.18)

Если значения угла нутации r удовлетворяют условию

${(1 + \cos ρ)}^{2} ≫ ε,$ (5.19)

то система (5.13) $-$ (5.18) допускает стационарные решения (положения равновесия), в которых X^* и θ^* с точностью до O(ε) описываются формулами:

$\sin 2 X^{*} = 0$ , $θ^{*} = \pm π / 2$ $\Rightarrow \cos 2 θ^{*} = - 1$ (5.20)

Матрица линеаризованной системы для этих положений равновесия выражается следующей формулой:

$A = (\begin{array}{l} - μ (1 + γ) 0 0 0 O (ε) 0 \\ 0 - μ (1 + γ) 0 0 0 0 \\ 0 0 - μ (1 + γ) 0 ε f_{3} 0 \\ 0 0 μ γ 0 - ε f_{3} 0 \\ 0 μ γ \frac{1 - \cos ρ}{\sin ρ} 0 1 0 O (ε) \\ 0 0 0 0 0 ε f_{θ θ} \end{array}) .$ (5.21)

Здесь

$ε f_{3} = - \frac{\partial {\bar{m}}_{3}}{\partial X} = \frac{3 ε}{4} \cos 2 X^{*} {(1 + \cos ρ)}^{2},$ (5.22)

$ε f_{θ θ} = \frac{\partial F_{θ}}{\partial θ} = \frac{3 ε μ γ (6 \cos^{2} ρ - 2 + 8 / 3 - {(1 + \cos ρ)}^{2} \cos 2 X^{*})}{8 (1 + μ^{2} {(1 + γ)}^{2})} .$ (5.23)

Характеристический полином матрицы (5.21), в коэффициентах которого учтены только главные члены разложения по e, записывается в виде:

$f (λ) = {(μ (1 + γ) + λ)}^{2} (λ - ε f_{θ}) (λ^{3} + λ^{2} μ (1 + γ) + λ ε f_{3} + μ ε f_{3}) .$ (5.24)

Отсюда на основании критерия Рауса $-$ Гурвица заключаем, что те из стационарных решений, для которых f₃ > 0 и f_θ < 0, асимптотически устойчивы, а решения, для которых f₃ < 0 либо f_θ > 0, неустойчивы.

Условия f₃ > 0, f₃ < 0 асимптотической устойчивости найденных стационарных решений на основании формул (5.20), (5.22) и (5.23) записываются в виде:

$\cos 2 X^{*} = 1,$ $5 \cos^{2} ρ - 2 \cos ρ - 1 / 3 < 0.$ (5.25)

Отсюда следует, что пространственные резонансные вращения спутника 1:1 асимптотически устойчивы в следующем интервале значений угла нутации r:

$\frac{3 - \sqrt{24}}{15} < \cos ρ < \frac{3 + \sqrt{24}}{15}$ $\Rightarrow ρ_{1} < ρ < ρ_{2};$ $ρ_{1} \approx 1.0, ρ_{2} \approx 1.7.$ (5.26)

Вне этого интервала резонансные вращения (5.20) неустойчивы.

Отметим, что согласно формулам (5.20), резонансные движения 1:1 для динамически симметричного спутника представляют собой вращения вокруг оси, лежащей в экваториальной плоскости эллипсоида инерции спутника.

Оценим интервалы значений угла нутации r, где существуют исследуемые резонансные вращения 1:1. Положим, что в правой части уравнения (5.16) O(ε) = aε, где a $\neq$ 0 $-$ некоторая ограниченная величина. Тогда получим уравнение $s i n^{2} θ^{*} s i n 2 X^{*} {(1 + c o s ρ)}^{2} = a ε$ . Это уравнение не имеет решений, если ${(1 + c o s ρ)}^{2} < a ε$ , т.е. для следующих значений $ρ : {(π - ρ)}^{4} < 4 ε |a|$ . Таким образом, интервал значений угла нутации r, где существуют резонансные вращения 1:1 для динамически симметричного спутника, описывается формулой:

$0 \leq ρ < π - ρ^{*} ,$ где $ρ^{*} \sim ε^{1 / 4} .$ (5.27)

Из этой формулы следует, что нет резонансных вращений для значений r, близких к p, т.е. для движений, близких к “обратным” вращениям спутника.

На рис. 5, a, b изображены типичные графики поведения переменных θ и X = ψ $-$ (τ $-$ σ) в зависимости от угла нутации r на резонансных вращениях 1:1. Эти графики построены по результатам численного интегрирования точных уравнений движения спутника (3.4) $-$ (3.11). Здесь стрелками показано направление эволюции.

Рис. 5. Резонансные вращения 1:1.

Графики полностью подтверждают полученные выше выводы о существовании асимптотически устойчивых резонансных вращений спутника 1:1 и формулы (5.20) для значений переменных θ и X = ψ $-$ (τ $-$ σ) на этих вращениях.

Из графиков видно, что правая граница интервала асимптотической устойчивости резонансных вращений 1:1 хорошо согласуется со значением ρ₂ = 1.7 из формулы (5.26). Вычисленная же из графиков левая граница этого интервала составляет ρ₁ - 0.8 и немного отличается от значения ρ₁ = 1.0 формулы (5.26). Но это небольшое различие объяснимо. Когда в процессе эволюции значение угла нутации становится меньше, чем ρ₁ = 1.0, стационарные решения θ^*(ρ), X ^*(ρ) не исчезают, а только становятся неустойчивыми, т.е. имеет место “мягкая” потеря устойчивости. В таких случаях заметный уход из окрестности неустойчивого решения наблюдается с некоторой задержкой по времени Δτ, что на графиках проявляется в смещении границы ρ₁ влево на некоторую величину Δr₁.

Следует отметить, что в рассматриваемой задаче численным интегрированием уравнений движения спутника устойчивые резонансные вращения 1:1 можно обнаружить только соответствующим подбором начальных условий, а именно: начальное значение U должно быть близким к U^* = 1, а начальное значение θ $-$ близким к θ^* = π/2. Если же начальные условия не удовлетворяют указанным требованиям, то спутник быстро переходит в режим устойчивого нерезонансного вращения, где θ=O(ε), а этот режим является устойчивым для всех значений U из окрестности U^*=1. Иначе говоря, в отличие от резонансов 2:1, резонансные вращения 1:1 для симметричного спутника изолированы от нерезонансных вращений в том смысле, что спутник, эволюционирующий в режиме нерезонансного вращения, не может перейти в режим резонансного вращения 1:1.

Заключение. В работе получены уравнения вращательного движения динамически симметричного спутника с шаровым демпфером на эллиптической орбите и проведено детальное исследование пространственных резонансных вращений на круговой орбите. Установлено, что для спутника, “сплюснутого” вдоль оси симметрии, на круговой орбите существуют асимптотически устойчивые пространственные резонансные вращения 2:1 и 1:1. Эти резонансные вращения обусловлены синхронизацией между вращательным движением спутника и движением его центра масс и представляют собой эволюционирующие процессы, в которых величина угловой скорости спутника остается практически неизменной, равной угловой скорости орбитального базиса для резонанса 1:1 и удвоенной угловой скорости орбитального базиса для резонанса 2:1, а ось вращения спутника монотонно поворачивается в сторону нормали к плоскости орбиты. Определены интервалы значений угла нутации, в пределах которых существуют пространственные резонансные вращения 2:1 и 1:1, а также интервалы, в пределах которых эти резонансные вращения асимптотически устойчивы.

Аналитические выводы работы подтверждаются результатами компьютерного моделирования.

About the authors

N. I. Amel’kin

Moscow Institute of Physics and Technology

Author for correspondence.
Email: namelkin@mail.ru
Russian Federation, Moscow

References

Amel’kin N.I. The asymptotic properties of the motions of satellites in a central field due to internal dissipation // J. Appl. Math. Mech. 2011. V. 75. № 2. P. 140–153. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2011.05.003
Amel’kin N.I., Kholoshchak V.V. Stability of the steady rotations of a satellite with internal damping in a central gravitational field // J. Appl. Math. Mech. 2017. V. 81. № 2. P. 85–94. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2017.08.002
Amel’kin N.I., Kholoshchak V.V. Steady rotations of a satellite with internal elastic and dissipative forces // J. Appl. Math. Mech. 2017. V. 81. № 6. P. 431–441. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2018.03.011
Amel’kin N.I., Kholoshchak V.V. Evolution of the rotational movement of a dynamically symmetric satellite with inner damping in a circular orbit // Mech. Solids. 2019. V. 54. № 2. P. 179–189. https://doi.org/10.3103/S0025654419030014
Amel’kin N.I., Kholoshchak V.V. Rotational motion of a non-symmetrical satellite with a damper in a circular orbit // Mech. Solids. 2019. V. 54. № 2. P. 190–203. https://doi.org/10.3103/S0025654419030026
Amel’kin N.I. Evolution of the rotational motion of a planet in a circular orbit under the influence of internal elastic and dissipative forces // Mech. Solids. 2020. V. 55. № 2. P. 234–247. https://doi.org/10.3103/S0025654420020053
Amel’kin N.I. Evolution of rotational motion of the planet Earth under the influence of internal dissipative forces // Cosmic Res. 2023. V. 61. № 6. P. 510–521. https://doi.org/10.1134/S001095252370051X
Amel’kin N.I. On the plane resonant rotations of a satellite with a spherical damper in an elliptical orbit // Mech. Solids. 2022. V. 57. № 7. P. 1644–1656. https://doi.org/10.31857/S003282352203002X
Beletskii V.V. Motion of a Satellite with Respect to Center of Mass in Gravitational Field. Moscow: Izd. MGU, 1975 (in Russian).
Bogolyubov N.N., Mitropol’skii Yu.A. Asymptotic Methods for Theory of Nonlinear Oscillations. Moscow: Nauka, 1974 (in Russian).
Zhuravlev V.Ph., Klimov D.M. Applied Methods for Oscillations Theory. Moscow: Nauka, 1988 (in Russian).
Tikhonov A.N. Systems of differential equations containing small parameters at derivatives // Math. collection. 1952. V. 73. № 3. P. 575–586 (in Russian).