О максвелловом представлении гравитационного потенциала симметричного тела

Полный текст

1. Введение. В работе рассматривается восходящий к Максвеллу подход [1–3] к представлению потенциала, в частности потенциала гравитационного поля в виде суммы последовательных дифференцирований различных порядков функции 1/r по направлениям h₁, h₂, ..., h_k, ..., где r = (r₁² + r₂² + r₃²)^1/2 — расстояние от начала системы отсчета, связанной с телом, до пробной точки пространства. Методика, изначально применявшаяся Максвеллом при исследовании ряда задач электростатики [1], находит свое применение как в вопросах земного магнетизма [4], так и при изучении гравитационного поля Земли [5]. Представление гравитационного потенциала тела в виде ряда по шаровым функциям может рассматриваться как совокупность потенциалов гравитационных полей, каждое из которых связано с определенным распределением масс в теле. Привлечение максвеллова подхода позволяет изучать источники этих полей [5]. Конструктивный алгоритм определения направлений h_k, k = 1, 2, 3, ... может быть построен на основании теоремы Сильвестра о существовании системы вещественных полюсов сферической функции [2, 6]. Этот алгоритм кратко излагается ниже в форме, опирающейся на интегралы инерции тела, гравитационный потенциал которого предполагается построить. В случае, когда тело обладает теми или иными симметриями в распределении масс, соответствующие интегралы инерции обращаются в ноль и обсуждаемый алгоритм не может быть применим явно. В настоящем исследовании обсуждается ряд таких критических случаев, а также приводятся рекомендации по преодолению трудностей с ними связанных. Рассматривается модельное тело в виде однородного равногранного тетраэдра.

В литературе известно много различных способов моделирования гравитационного поля небесных тел. Помимо разложений потенциала притяжения изучаемого небесного тела в ряды по шаровым функциям, по гармоникам сжатого эллипсоида вращения, а также по функциям Ламе (см. [7]) имеет место представление потенциала тела в рамках наиболее универсального способа описания формы поверхности тела в виде многогранника с треугольными гранями. Модель задается набором всех вершин, выраженных в виде векторов в фиксированной с телом системе координат, и набором граней с согласованной ориентацией. В предположении об однородности небесного тела в работах [8, 9], (см. также [10]) дается явное выражение для его потенциала ньютоновского притяжения. Обобщая предположение об однородности распределения массы тела, подход получил свое развитие в работах, например [11, 12], где обсуждается линейное распределение плотности, и работах [13, 14], где рассматривается распределение плотности полиномиального типа.

Можно указать и иные подходы, опирающиеся, например, на замену исходного тела совокупностью гравитирующих масс с известной структурой поля притяжения. Так, например, поле притяжения тел вытянутой формы зачастую приближается полем притяжения гравитирующей гантели – пары массивных точек, удаленных друг от друга на некоторое фиксированное расстояние (см., например, [15–20]); для сплюснутых тел такие точки наделяются комплексными массами и размещаются в комплексной области, но потенциал такой комплексифицированной гантели остается вещественной функцией (см., например, [21, 22], а также [23]). Анализ многочисленных обобщений классической задачи двух неподвижных центров дается в [24], где отмечается роль интенсивных исследований этой задачи, а также приводится обзор широкого круга публикаций по теме исследования. Для более полного учета особенностей распределения масс тела в экваториальной плоскости в работе [25] предлагается модель небесных тел в виде троек соприкасающихся шаров, параметры которых определяются с помощью так называемой “скелетонизации” области, высекаемой в теле его экваториальной плоскостью, (ср. [26]). Представление распределения масс тела четверкой материальной точек обсуждается, например, в работах [27, 28]. Представления тела в виде конечного, но большого набора гравитирующих точечных масс рассматривается в [29].

2. Максвеллово представление гравитационного потенциала. Пусть B – гравитирующее тело, ограниченное поверхностью ∂B. Потенциал порождаемой им силы притяжения определяется следующим образом [7]. Пусть OX₁X₂X₃ – фиксированная в теле B декартова система отсчета, в осях которой положение произвольной точки тела Q и произвольной точки пространства P, внешней по отношению к телу, определяется радиусами-векторами:

$\overrightarrow{OQ}=={(q_1,q_2,q_3)}^T,q={(,)}^{1/2},\overrightarrow{OP}=={(r_1,r_2,r_3)}^T,r={(,)}^{1/2}.$

Пусть G – гравитационная постоянная, тогда потенциал притяжения тела B в точке P определяется тройным интегралом:

$U\left(r\right)=-G\underset{\mathcal{B}}{\iiint }\frac{dm\left(q\right)}{r_{QP}},r_{QP}={\left(\mathbf{\text{r−q}}\text{,}\mathbf{\text{r−q}}\right)}^{\frac{1}{2}},$ (2.1)

где интегрирование распространено по всему телу B. В общем случае dm(q) обозначает элемент массы, сосредоточенной в элементарном объеме dq = dq₁dq₂dq₃, окружающем точку Q. Функция m = m(q), вообще говоря, недифференцируема. Поэтому интеграл (2.1) рассматривают как интеграл Римана–Стилтьеса. Если предположить, что масса m – это дифференцируемая функция координат, то dm = $\rho$(q)dq, где $\rho$(q) – плотность в точке Q. В этом случае

$U\left(\mathbf{r}\right)=-G\underset{\mathcal{B}}{\iiint }\frac{\rho \left(q\right)d\mathbf{q}}{r_{QP}}.$

Во внешних по отношению к телу B точках пространства потенциал может быть представлен в виде функционального ряда (см., например, [7, 30]):

$U\left(\mathbf{r}\right)=-G\underset{n=0}{\overset{\infty }{}}{U}_n,$

где слагаемые U_n имеют вид:

$U_n\left(r\right)=\underset{k_1+k_2+k_3=n}{}\frac{{(-1)}^n}{k_1!k_2!k_3!}{I}_{k_1{k}_2{k}_3}\frac{{\partial }^n}{\partial r_1^{k_1}\partial r_2^{k_2}\partial r_3^{k_3}}\left(\frac{1}{r}\right),$ (2.2)

здесь k₁, k₂, k₃ – целые неотрицательные числа,

$I_{k_1{k}_2{k}_3}=\underset{\mathcal{B}}{\iiint }{x}_1^{k_1}{x}_2^{k_2}{x}_3^{k_3}dm\left(x\right)$

– моменты инерции (интегралы инерции) порядка n.

Следуя Максвеллу [1] (см. также [2, 3, 30]), функции U_n могут быть представлены в виде:

$U_n\left(r\right)={(-1)}^n\frac{p_n}{n!}\frac{{\partial }^n}{\partial h_1\partial h_2\dots \partial h_n}\left(\frac{1}{r}\right),$ (2.3)

где ∂/∂h_k – дифференцирование вдоль единичного вектора h_k = ($\alpha$_k, $\beta$_k, $\gamma$_k)^T,${\alpha }_k^2+{\beta }_k^2+{\gamma }_k^2=\mathrm{1,}$ (k = 1, 2, ..., n), p_n – постоянная положительная величина, характеризующаяся распределением массы в теле B.

Функция 1/r – гармоническая, следовательно функция U_n тоже, очевидно, гармоническая, т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа. Функция U_n определяет потенциал так называемого мультиполя n-го порядка — предельного точечного объекта, задаваемого определенной конфигурацией материальных точек. Постоянную величину p_n называют моментом мультиполя, а векторы h_k — его осями. Свойствам мультиполей и их физической интерпретации посвящены многочисленные исследования (см., например, [1–3, 6, 30]).

Согласно Сильвестру [6] (см. также [2]), вычисление осей мультиполя сводится к решению системы алгебраических уравнений:

$\begin{array}{l} r^{2n+1}\cdot U_n\left(r\right)=\mathrm{0,}\\ \left(\mathbf{r}\mathbf{,}\mathbf{r}\right)=\mathrm{0,}\end{array}$ (2.4)

где r ²ⁿ⁺¹ · U_n(r) – однородный гармонический многочлен степени n. В монографии [3] для решения системы (2.4) предлагается выполнить подстановку

$r_1=\frac{1-u^2}{1+u^2}v,r_2=\frac{2u}{1+u^2}v,r_3=iv,$ (2.5)

где $u\in \left(-\infty ;+\infty \right)$ и $v\in \left(-\infty ;+\infty \right)$, $i=\sqrt{-1}.$ В результате такой подстановки второе уравнение системы (2.4) оказывается выполненным тождественно. При этом первое уравнение системы (2.4) принимает вид:

$\frac{v^n}{{(u^2+1)}^n}\cdot P_{2n}\left(u\right)=0.$ (2.6)

Отбрасывая тривиальное решение v = 0, встает задача определения корней многочлена P_2n(u) степени 2n относительно переменной u с комплексными коэффициентами.

Далее, для всех различных пар корней u₁ и u₂ многочлена P_2n(u), рассматривают формы:

$A{r}_1+B{r}_2+C{r}_3=\left|\begin{array}{ccc}{r}_1& r_2& r_3\\ \xi \left(u_1\right)& \eta \left(u_1\right)& i\\ \xi \left(u_2\right)& \eta \left(u_2\right)& i\end{array}\right|=\mathrm{0,}\xi \left(u\right)=\frac{1-u^2}{1+u^2},\eta \left(u\right)=\frac{2u}{1+u^2},$ (2.7)

линейные относительно r₁, r₂, r₃. Выбирают из них лишь те, для которых коэффициенты A, B и C из соотношения (2.7) являются вещественными. Согласно [3, 6], в общем случае таких пар будет ровно n. Пусть отвечающие им коэффициенты (A_k, B_k, C_k), k = 1, ..., n, тогда оси мультиполя n-го порядка определяются как

${\mathbf{\text{h}}}_k\mathbf{=}{(\frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{k}}}{\sqrt{{\mathrm{A}}_{\mathrm{k}}^2+{\mathrm{B}}_{\mathrm{k}}^2+{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}^2}},\frac{{\mathrm{B}}_{\mathrm{k}}}{\sqrt{{\mathrm{A}}_{\mathrm{k}}^2+{\mathrm{B}}_{\mathrm{k}}^2+{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}^2}},\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}}{\sqrt{{\mathrm{A}}_{\mathrm{k}}^2+{\mathrm{B}}_{\mathrm{k}}^2+{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}^2}})}^{\mathbf{T}}\mathbf{\text{}}\mathbf{,}k=1,\dots ,n.$

Теперь, когда оси мультиполей известны, вычисляют мультипольный момент p_n. Для этого приравнивают правые части соотношений (2.2) и (2.3). Подставляя координаты произвольной точки пространства в получающееся равенство, а также вычисленные оси, приходят к линейному уравнению на величину p_n. Момент p_n считают величиной положительной [2, 3], поэтому в случае необходимости изменяют направление одного из векторов h_k на противоположное.

3. Случай неполного набора корней многочлена P_2n. Случай неполного набора корней многочлена P_2n из (2.6) является критическим для изложенного выше алгоритма, так как при этом не удается отыскать полного набора осей мультиполя порядка n.

Заметим, что подстановка (2.5) является примером одной из шести возможных замен переменных, позволяющих упростить систему (2.4). Например, при подстановке

$r_1=\frac{2u}{1+u^2}v,r_2=\frac{1-u^2}{1+u^2}v,r_3=iv$

второе уравнение системы (2.4) также окажется выполненным тождественно, а решение первого уравнения системы (2.4) сводится к определению корней многочлена P_2n(u), вообще говоря, отличающегося от многочлена из (2.6). Фактически для каждого фиксированного n имеется шесть различных многочленов, которые можно отнести к одному из двух семейств {P₂ⁱ_n}, $\left\{ {\tilde{P}}_{2n}^i\right\}$, i = 1, 2, 3. Циклическая перестановка индексов величин $I_{k_1{k}_2{k}_3}\to I_{k_3{k}_1{k}_2}\to I_{k_2{k}_3{k}_1}$ позволяет получить выражения всех многочленов из указанных семейств: $P_{2n}^1\to P_{2n}^2\to P_{2n}^3$ и ${\tilde{P}}_{2n}^1\to {\tilde{P}}_{2n}^2\to {\tilde{P}}_{2n}^3$. Приведем явный вид многочленов P₂¹_n, ${\tilde{P}}_{2n}^1$ при n = 1, 2, 3, по которым можно восстановить выражения для остальных многочленов из указанных семейств:

$P_2^1\left(u\right)=c_{10}^1{u}^2+c_{11}^{1}u-\overline{c_{10}^1}=\mathrm{0,}{\tilde{P}}_2^1\left(u\right)=\overline{c_{10}^1}{u}^2+i\cdot c_{11}^{1}u+c_{10}^1=\mathrm{0,}$

$c_{10}^1=-I_{100}+i{I}_{001},c_{11}^1=2I_{010},$

$P_4^1\left(u\right)=c_{20}^1{u}^4+c_{21}^1{u}^3+c_{22}^1{u}^2-\overline{c_{21}^1}u+\overline{c_{20}^1}=\mathrm{0,}$

${\tilde{P}}_4^1\left(u\right)=\overline{c_{20}^1}{u}^4+i\cdot \overline{c_{21}^1}{u}^3-c_{22}^1{u}^2+i\cdot c_{21}^{1}u+c_{20}^1=\mathrm{0,}$

$c_{20}^1=\frac{1}{2}\left(I_{002}-I_{200}\right)+i{I}_{101},c_{21}^1=2\left(I_{110}-i{I}_{011}\right),c_{22}^1=I_{200}-2I_{020}+I_{002},$

$P_6^1\left(u\right)=c_{30}^1{u}^6+c_{31}^1{u}^5+c_{32}^1{u}^4+c_{33}^1{u}^3-\overline{c_{32}^1}{u}^2+\overline{c_{31}^1}u-\overline{c_{30}^1}=\mathrm{0,}$

${\tilde{P}}_6^1\left(u\right)=\overline{c_{30}^1}{u}^6+i\cdot \overline{c_{31}^1}{u}^5-\overline{c_{32}^1}{u}^4-i\cdot c_{33}^1{u}^3-c_{32}^1{u}^2+i\cdot c_{31}^{1}u+c_{30}^1=\mathrm{0,}$

$c_{30}^1=I_{300}-3I_{102}+i\left(I_{003}-3I_{201}\right),c_{31}^1=6\left(I_{012}-I_{210}+2i{I}_{111}\right),$

$c_{32}^1=3\left(4I_{120}-I_{102}-I_{300}+i\left(-4I_{021}+I_{003}+I_{201}\right)\right),c_{33}^1=4\left(3I_{012}+3I_{210}-2I_{030}\right).$

Сдвиг индексов коэффициентов позволяет получить, например, такой многочлен:

$P_4^2\left(u\right)=c_{20}^2{u}^4+c_{21}^2{u}^3+c_{22}^2{u}^2-\overline{c_{21}^2}u+\overline{c_{20}^2},$

$c_{20}^2=\frac{1}{2}\left(I_{200}-I_{020}\right)+i{I}_{110},c_{21}^2=2\left(I_{011}-i{I}_{101}\right),c_{22}^2=I_{020}-2I_{002}+I_{200}.$

В зависимости от системы координат, связанной с телом B, а также от его формы и распределения масс, коэффициенты при старших степенях многочленов $P_{2n}^1\left(u\right)$ и ${\tilde{P}}_{2n}^i\left(u\right),$ i = 1, 2, 3, могут обращаться в ноль, при этом сами многочлены уже не будут обладать 2n корнями, что, как отмечалось, является препятствием для определения полного набора из n осей мультиполя n-го порядка приведенным выше способом.

Рассмотрим случаи, когда многочлены $P_{2n}^1\left(u\right)$ имеют меньше 2n корней для n = 1, 2, 3. Многочлены $P_{2n}^2\left(u\right)$, $P_{2n}^3\left(u\right)$ могут быть исследованы аналогично. Заметим, что старший коэффициент многочлена ${\tilde{P}}_{2n}^1\left(u\right),$ равный $\overline{c_{10}^1},$ обращается в ноль в тех же случаях, что и коэффициент c₁¹₀.

Для n = 1 старший коэффициент $c_{10}^1$ обращается в ноль, если I₁₀₀ = 0 и I₀₀₁ = 0. Тогда $P_2^1\left(u\right)$ принимает вид $c_{11}^{1}u=0$ и имеет корень u = 0. Дополнительно при I₀₁₀ = 0 многочлен $P_2^1\left(u\right)$ обращается тождественно в ноль, что имеет место в случае, когда начало системы координат совпадает с центром масс тела: I₁₀₀ = I₀₁₀ = I₀₀₁ = 0 и P₂(u) ≡ 0. В этом случае U₁(r) ≡ 0, а мультиполя первого порядка не существует.

Для n = 2 старший коэффициент $c_{20}^1$ обращается в ноль, если I₀₀₂ = I₂₀₀ и I₁₀₁ = 0, т.е. тело B является динамически симметричным с осью динамической симметрии OX₂, а начало системы координат лежит на этой оси. В этом случае многочлен примет вид: $P_4^1\left(u\right)=c_{21}{u}^3+c_{22}{u}^2-\overline{c_{21}}u=0.$ Корни такого многочлена имеют вид:

$u_1=\mathrm{0,}{u}_{\mathrm{2,3}}=\frac{I_{200}-I_{020}\pm \sqrt{4I_{110}^2+4I_{011}^2+{(I_{200}-I_{020})}^2}}{-2I_{110}+2I_{011}i}.$

Подставляя в соотношение (2.7) различные пары корней u₁, u₂ и u₃, можно определить лишь одну ось мультиполя:

${\mathbf{\text{h}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathit{1}}{\sqrt{{\left(I_{200}-I_{020}\right)}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{4}{\mathit{I}}_{\mathit{110}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{4}{\mathit{I}}_{\mathit{011}}^{\mathit{2}}}}\mathit{\cdot }{\left(2I_{110},I_{020}-I_{200},2I_{011}\right)}^{\mathit{T}}\mathit{\text{}}\mathit{.}$

Чтобы отыскать вторую ось, предлагается сделать следующее. Полагая h₂ = ($\alpha$₂, $\beta$₂, $\gamma$₂), подставим найденную ось h₁ в соотношение (2.3). Приравнивая коэффициенты в U₂(r) из соотношений (2.2) и (2.3) при одинаковых степенях r₁, r₂, r₃, получаем вторую ось и момент мультиполя:

${\mathbf{\text{h}}}_{\mathbf{2}}\mathit{=}\left(0,1,0\right)\mathit{,}{p}_{\mathit{2}}\mathit{=}\sqrt{{\mathit{(}{I}_{200}\mathit{-}{I}_{020}\mathit{)}}^2\mathit{+}\mathit{4}{I}_{110}^2\mathit{+}\mathit{4}{I}_{011}^2}\mathit{.}$

Отметим, что вторая ось оказывается сонаправленной с осью динамической симметрии тела B.

Если тензор инерции тела не является шаровым, то выберем такую замену переменных (2.5), которая приводит к случаю, когда $c_{20}^2=\left(I_{200}-I_{020}\right)/2+i{I}_{110}\ne \mathrm{0,}$ а многочлен $P_4^2\left(u\right)$ обладает четырьмя корнями, что позволяет найти обе оси мультиполя.

Рассмотрим случай, когда тело B обладает трехосным эллипсоидом инерции, а связанная с ним система координат совпадает с его главными центральными осями инерции. В этом случае коэффициент $c_{21}^1 \equiv 0$, и многочлен имеет вид:

$P_4^1\left(u\right)=c_{20}^1{u}^4+c_{22}^1{u}^2+c_{20}^1,c_{20}^1=\left(I_{002}-I_{200}\right)/\mathrm{2,}{c}_{22}^1=I_{200}-2I_{020}+I_{002}.$

Полагая для определенности I₂₀₀ > I₀₂₀ > I₀₀₂, корни $P_4^1\left(u\right) = 0$ имеют вид:

$u_1=-u_2=\sqrt{\frac{I_{002}+I_{200}-2I_{020}-2i\sqrt{\left(I_{200}-I_{020}\right)\left(I_{020}-I_{002}\right)}}{I_{200}-I_{002}}},$

$u_3=-u_4=\sqrt{\frac{I_{002}+I_{200}-2I_{020}+2i\sqrt{\left(I_{200}-I_{020}\right)\left(I_{020}-I_{002}\right)}}{I_{200}-I_{002}}},$

а оси мультиполя второго порядка при этом записываются как

${\mathbf{\text{h}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}{\left(\frac{\sqrt{{\mathrm{I}}_{200}-{\mathrm{I}}_{020}}}{\sqrt{{\mathrm{I}}_{200}-{\mathrm{I}}_{002}}},0,-\frac{\sqrt{{\mathrm{I}}_{020}-{\mathrm{I}}_{002}}}{\sqrt{{\mathrm{I}}_{200}-{\mathrm{I}}_{002}}}\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{\text{}}\mathbf{,}{\mathbf{\text{\hspace{0.33em}h}}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\left(\frac{\sqrt{{\mathrm{I}}_{200}-{\mathrm{I}}_{020}}}{\sqrt{{\mathrm{I}}_{200}-{\mathrm{I}}_{002}}},0,\frac{\sqrt{{\mathrm{I}}_{020}-{\mathrm{I}}_{002}}}{\sqrt{{\mathrm{I}}_{200}-{\mathrm{I}}_{002}}}\right)}^{\mathrm{T}}\text{},$

момент мультиполя равен p₂ = I₂₀₀ – I₀₀₂.

Укажем геометрический смысл полученных осей. Рассмотрим круговые сечения эллипсоида инерции $J_x{x}^2+J_y{y}^2+J_z{z}^2=\mathrm{1,}$ где $J_x=I_{020}+I_{002},$ J_y = I₂₀₀ + I₀₀₂, J_z = I₂₀₀ + I₀₂₀ тела B. Имеются два таких сечения, они лежат в пересечениях эллипсоида плоскостями, проходящими через его среднюю ось [31]. Вычисления показывают, что найденные оси h₁ и h₂ ортогональны этим круговым сечениям.

Замечание. Мультипольное представление потенциала спутникового приближения, нашедшего широкое применение в небесной механике и динамике космического полета [7], имеет вид:

$U_{\mathrm{спутник}}=-G\left(\frac{p_0}{r}+\frac{p_2}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\text{h}}_1\partial {\text{h}}_2}\left(\frac{1}{r}\right)\right).$

Если тело обладает шаровым тензором инерции, то U₂(r) ≡ 0 и мультиполя второго порядка не существует.

Особый случай вычисления мультиполя третьего порядка рассмотрим на примере однородного тела, имеющего форму равногранного тетраэдра. В общем случае такое тело обладает трехосным эллипсоидом инерции, а в главных центральных осях инерции из десяти моментов инерции третьего порядка лишь один не является тождественным нулем.

4. Мультиполь третьего порядка однородного равногранного тетраэдра. Пусть твердое тело B – однородный равногранный тетраэдр массы m, а Ox₁x₂x₃ – связанная с ним система отсчета, оси которой направлены вдоль его бимедиан. Эти оси – главные оси инерции тетраэдра [32] (см. также [28, 33, 34]). Если 2a₁, 2a₂, 2a₃ – длины бимедиан, то вершины тетраэдра P₁, P₂, P₃ и P₄ в этой системе отсчета задаются радиусами-векторами:

$\begin{array}{l}{r}_1\mathrm{=}\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{=}{\mathrm{(}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{-}{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{-}{\mathrm{a}}_{\mathrm{3}}\mathrm{)}}^{\mathrm{T}}\mathrm{,}{\text{\hspace{1em}r}}_2\mathrm{=}\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{2}}}\mathrm{=}{\mathrm{(}\mathrm{-}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{-}{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}{\mathrm{a}}_{\mathrm{3}}\mathrm{)}}^{\mathrm{T}}\mathrm{,}\\ r_3\mathrm{=}\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{3}}}\mathrm{=}{\mathrm{(}\mathrm{-}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{-}{\mathrm{a}}_{\mathrm{3}}\mathrm{)}}^{\mathrm{T}}\mathrm{,}{\text{\hspace{1em}r}}_4\mathrm{=}\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{4}}}\mathrm{=}{\mathrm{(}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}{\mathrm{a}}_{\mathrm{3}}\mathrm{)}}^{\mathrm{T}}\mathrm{.}\end{array}$

Для вычисления величин I_k1k2k3 определим границы интегрирования. Так, например, полагая -a₃ ≤ x₃ ≤ a₃, область, по которой берется оставшийся двойной интеграл, представим в виде объединения трех областей со следующими границами:

$-a_1\le x_1\le -a_1\cdot x_3/a_3$ и $x_{23}\le x_2\le x_{21}$

$-a_1\cdot x_3/a_3\le x_1\le a_1\cdot x_3/a_3$ и$x_{22}\le x_2\le x_{21}$

$a_1\cdot x_3/a_3\le x_1\le a_1$ и$x_{22}\le x_2\le x_{24},$

где

$x_{21}\left(x_1,x_3\right)=a_2\cdot x_1/a_1-a_2\cdot x_3/a_3+a_2,x_{22}\left(x_1,x_3\right)=a_2\cdot x_1/a_1+a_2\cdot x_3/a_3-a_2,$

$x_{23}\left(x_1,x_3\right)=-a_2\cdot x_1/a_1-a_2\cdot x_3/a_3-a_2,x_{24}\left(x_1,x_3\right)=-a_2\cdot x_1/a_1+a_2\cdot x_3/a_3+a_2,$

причем имеют место следующие равенства:

$x_{21}\left(x_1,-x_3\right)=-x_{23}\left(x_1,x_3\right),x_{22}\left(x_1,-x_3\right)=-x_{24}\left(x_1,x_3\right),$

$x_{23}\left(x_1,-x_3\right)=-x_{21}\left(x_1,x_3\right),x_{24}\left(x_1,-x_3\right)=-x_{22}\left(x_1,x_3\right).$

Утверждение. Если индексы k_i, k_j, i ≠ j, i, j = 1, 2, 3 имеют различную четность, то коэффициент I_k1k2k3 = 0.

Доказательство этого факта техническое и заключается в том, что если найдутся два индекса k_i, k_j, i ≠ j, i, j = 1, 2, 3 разной четности, то двойной интеграл по x₁ и x₂ является нечетной функций переменной x₃. Интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю.

Ненулевые моменты инерции вплоть до третьего порядка имеют следующий вид:

$I_{000}=m,I_{200}=m{a}_1^2/\mathrm{5,}{I}_{020}=m{a}_2^2/\mathrm{5,}{I}_{002}=m{a}_3^2/\mathrm{5,}{I}_{111}=m{a}_1{a}_2{a}_3/15.$

В осях Ox₁x₂x₃ главные центральные моменты инерции, отнесенные к массе тетраэдра, имеют вид:

$J_{200}=\left(a_2^2+a_3^2\right)/\mathrm{5,}{J}_{020}=\left(a_1^2+a_3^2\right)/\mathrm{5,}{J}_{002}=\left(a_1^2+a_2^2\right)/5.$

Замечание. Моменты инерции также могут быть вычислены с помощью их производящей функции. В осях Ox₁x₂x₃ производящая функция моментов инерции I_abc однородного равногранного тетраэдра имеет вид [35] (см. также [36]):

$F\left(\mathbf{t};a_1,a_2,a_3\right)=4a_1{a}_2{a}_3\sum _{}_{\left(\mathrm{1,2,3}\right)}\frac{e^{a_1{t}_1}\text{ch}\left(a_2{t}_2+a_3{t}_3\right)-e^{-a_1{t}_1}\text{ch}\left(a_2{t}_2-a_3{t}_3\right)}{\left(a_1^2{t}_1^2-a_2^2{t}_2^2\right)\left(a_3^2{t}_3^2-a_1^2{t}_1^2\right)}{a}_1{t}_1.$

В частном случае однородного правильного тетраэдра с бимедианами длины 2a эта функция записывается как

$F\left(\mathbf{t};a\right)=4\sum _{}_{\left(\mathrm{1,2,3}\right)}\frac{e^{a{t}_1}\text{ch}\left(\left(t_2+t_3\right)a\right)-e^{-a{t}_1}\text{ch}\left(\left(t_2-t_3\right)a\right)}{(t_1^2-t_2^2)(t_3^2-t_1^2)}{t}_1.$

Для нахождения осей мультиполя третьего порядка выпишем многочлен P₆¹(u). Подставляя найденные моменты инерции для равногранного тетраэдра, получим:

$c_{30}^1=c_{32}^1=c_{33}^1=\mathrm{0,}{c}_{31}^1=12i\cdot m{a}_1{a}_2{a}_3/\mathrm{15,}{P}_6^1\left(u\right)=c_{31}^1{u}^5+\overline{c_{31}^1}u=0.$

Паре корней u = ±1 отвечает ось мультиполя h₁ = (1; 0; 0), паре корней u = ±i отвечает ось мультиполя h₃ = (0; 0; 1). Приравнивая коэффициенты при соответствующих слагаемых в (2.2) и (2.3), находим третью ось h₂ = (0; 1; 0), а также момент мультиполя, который оказывается равным $p_3=6I_{111}=2m\cdot a_1{a}_2{a}_3/5.$

Легко убедиться, что для любой из шести замен переменных типа (2.5) коэффициент при старшей степени многочлена $P_6^1\left(u\right)$ всегда обращается в ноль.

5. Выводы. В работе рассмотрен восходящий к Максвеллу подход к представлению гравитационного потенциала тела в виде суммы потенциалов мультиполей различных порядков. Определены критические случаи работы алгоритма по нахождению параметров мультиполя – его осей и момента, основанного на теореме Сильвестра о существовании системы вещественных полюсов сферической функции. Такие случаи имеют место, когда тело обладает теми или иными симметриями в распределении масс. В исследовании приведены рекомендации по преодолению трудностей с ними связанными.

В случае тела, обладающего трехосным эллипсоидом инерции, получены явные выражения для осей и момента мультиполя второго порядка. Вычисления показали, что оси мультиполя ортогональны круговым сечениям эллипсоида инерции тела.

Рассмотрено модельное тело с постоянной плотностью, имеющее форму равногранного тетраэдра. В общем случае такое тело имеет трехосный эллипсоид инерции, а в главных центральных осях инерции из десяти моментов инерции третьего порядка лишь один не обращается в ноль тождественно. Приведен способ вычисления осей и момента мультиполя третьего порядка такого тела.

Об авторах

Е. А. Никонова

Автор, ответственный за переписку.
Email: nikonova.ekaterina.a@gmail.com
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы