Глобальные семейства периодических орбит, примыкающие к точкам либрации в ограниченной задаче трех тел

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ

Ограниченная задача трех тел описывает движение пассивно гравитирующей точки m в поле двух основных тел M₀ и M₁. Точка m не влияет на движение основных тел, динамика которых описывается задачей двух тел. Задача введена в небесную механику Л. Эйлером при изучении движения Луны [1]. Данная модель стала основной задачей небесной механики по исследованию орбит [2].

Движение точки m с малой массой можно изучать также в рамках неограниченной (общей) задачи трех тел с учетом взаимного притяжения всех трех тел. На сегодня несоответствие в динамиках двух задач обнаружено только при резонансной неустойчивости треугольных точек либрации [3].

Во вращающейся системе координат задачи двух тел M₀ и M₁ точка m может занимать равновесные положения — точки либрации. Три из них, называемые коллинеарными точками либрации, L₁, L₂, L₃, принадлежат прямой, соединяющей тела M₀ и M₁. Остальные две — треугольные точки либрации L₄ и L₅, образуют равносторонние треугольники с основными телами.

Ограниченная круговая задача трех тел описывается автономными уравнениями. Согласно теореме Ляпунова о центре [4], к равновесию консервативной системы в случае пары чисто мнимых корней характеристического уравнения примыкает локальное семейство нелинейных периодических движений (семейство Ляпунова). Поэтому к коллинеарной точке либрации примыкает одно семейство Ляпунова [5], а к треугольной точке либрации могут примыкать два ляпуновских семейства. Вопрос о глобальном семействе периодических орбит, содержащего все орбиты семейства, в данной задаче ранее не ставился.

Теорема А.М. Ляпунова о центре (1892 г.) находит многочисленные приложения. В них всегда встает вопрос о границе применимости семейства Ляпунова. Сейчас стало понятно, что вопрос разрешается знанием о глобальном семействе периодических решений, которое включает в себя локальное ляпуновское семейство. Прогресс в задаче о границе наметился с исследований А. А. Зевина [6, 7]. В работе [6] даны условия на гамильтониан, гарантирующие в компакте $\Omega \in R^{2n}$ продолжение ляпуновского семейства на границу $\partial \Omega$, в работе [7] предложены строго звездообразные (strictly starshaped) гамильтонианы, для которых условия продолжения выполняются.

Обратимая механическая система выделяется свойством пространственно-временнóй симметрии, однако в общем случае она не допускает первый интеграл. В системе рассматриваются симметричные периодические движения (СПД), для которых справедлив аналог теоремы Ляпунова о центре [8]. Проблема границы СПД в работах [9, 10] решалась путем продолжения невырожденного СПД обратимой механической системы на глобальное семейство СПД. Наиболее общий результат изложен в работе [11], где снимаются ограничения, наложенные в статьях [9, 10]. Для автономной системы общего вида, не стесненной дополнительными ограничениями типа консервативности, обратимости, гамильтоновости и т.п., двумерное глобальное семейство невырожденных периодических решений построено в работе [12]. На глобальном семействе период меняется монотонно вместе с параметром семейства; оно содержит все связное множество невырожденных периодических решений семейства.

В данной статье показано, что каждое ляпуновское семейство, примыкающее к точке либрации, продолжается на глобальное семейство периодических орбит. Приведены сценарии образования глобальных семейств. Описаны плоские и пространственные семейства. Найдены цепочки глобальных семейств, в которых одно семейство переходит в другое с изменением энергии системы.

Цепочки глобальных семейств впервые исследованы в работе [13].

Круговая ограниченная задача трех тел допускает интеграл Якоби, для нее можно использовать формализм Гамильтона. Однако в работах [6, 7] не достигнуто глобальное семейство периодических орбит.

В статье применяется ранее развитая теория [9, 10, 11, 12]. При этом глобальное семейство для коллинеарных точек либрации можно получить также из результатов для систем общего вида [12]. Теория позволяет вывести в фазовом пространстве симметричность орбит глобального семейства [9, 10, 11].

2. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ. ОБРАТИМОСТЬ

Уравнения круговой ограниченной задачи трех тел¹ в безразмерных переменных и времени записываются в виде

$\begin{array}{c}\ddot{x}-2\dot{y}\frac{\partial \Omega }{\partial x}\mathrm{,}\\ \ddot{y}+2\dot{x}\frac{\partial \Omega }{\partial y}\mathrm{,}\\ \ddot{z}\frac{\partial \Omega }{\partial z}\mathrm{,}\\ \Omega \frac{1}{2}{x}^2+y^2+\frac{1-\mu }{r_0}+\frac{\mu }{r_1}\mathrm{,}\\ \Omega x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\Omega x\mathrm{,}-y\mathrm{,}\pm z\\ r_0^{2}x+{\mu }^2+y^2+z^2\mathrm{,}\\ r_1^{2}x-1+{\mu }^2+y^2+z^2\mathrm{.}\end{array}$ (1)

Они содержат единственный безразмерный массовый параметр μ.

Положения относительного равновесия (точки либрации) находятся из системы уравнений

$\frac{\partial \Omega }{\partial x}=\mathrm{0,} \frac{\partial \Omega }{\partial y}=\mathrm{0,} \frac{\partial \Omega }{\partial z}=0$.

Задача допускает 5 точек либрации L_i, i = 1, ..., 5, все они принадлежат плоскости (x, y). При этом L₁, L₂, L₃ лежат на оси абсцисс x, а точки L₄ и L₅ расположены симметрично относительно оси x и образуют равносторонние треугольники с основными телами, расположенными на оси x.

Особенностью системы уравнений (1) является ее инвариантность относительно замен

$(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t)\to (x,-y,\pm z,-\dot{x},\dot{y},\mp \dot{z},-t)$.

Система принадлежит к классу обратимых механических систем [14]:

$\begin{array}{c}\dot{u}=U(u,v),\\ \dot{v}=V(u,v),\\ u\in R^{l}v\in R^{n}l\ge n,\\ U(u,-v)=U(u,v),\\ V(u,-v)=-V(u,v),\end{array}$ (2)

с неподвижным множеством {u,v: v = 0}. В силу симметричности уравнений по координате z для определенности далее рассматривается неподвижное множество

$R=\{x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}:y=\mathrm{0,} \dot{x}=\mathrm{0,} \dot{z}=0\}$.

Тогда в системе (1), записанной в виде (2), размерности l = n = 3, а для векторов u и v получаем: $u=(x,\dot{y},z)$, $v=(\dot{x},y,\dot{z})$.

Фазовый портрет системы (2) симметричен относительно неподвижного множества R. Постоянные решения системы (2), принадлежащие R, называются равновесиями обратимой механической системы. Для них справедливо v = 0, V(u,0) = 0. Траектории, пересекающие неподвижное множество, будут симметричными относительно R. Симметричная траектория, дважды пересекающая множество R, называется СПД. В системе (1) она представляет собой симметричную периодическую орбиту.

Коллинеарные точки либрации принадлежат множеству R, и их ляпуновские семейства являются симметричными. В плоской задаче (z ≡ 0) характеристическое уравнение для точки L_i (i = 1, 2, 3) имеет пару действительных корней противоположного знака и два чисто мнимых корня [5]. Паре чисто мнимых корней, согласно аналогу [8] теоремы Ляпунова о центре, соответствует локальное нелинейное семейство симметричных периодических орбит, примыкающее к коллинеарной точке либрации. Период на ляпуновском семействе монотонно зависит от постоянной энергии, поэтому семейство, по определению, является невырожденным. Следовательно, в соответствии с результатами работ [9, 10, 11], эти орбиты продолжаются на глобальное семейство симметричных периодических орбит.

Треугольные точки либрации не принадлежат неподвижному множеству R. Характеристическое уравнение для них допускает чисто мнимые корни только при выполнении условия

$1-27\mu (1-\mu )>0$, (3)

т.е. если произведение двух конечных масс меньше 1/27 [5]. При выполнении неравенства (3) квадраты ${\lambda }_j^2$ корней будут отрицательными и вычисляются по формуле

${\lambda }_{\mathrm{1,2}}^2=\frac{-1\pm \sqrt{1-27\mu (1-\mu )}}{2}$. (4)

Обозначим за λ₁ меньший по модулю корень. Тогда корню λ₁, по теореме Ляпунова о центре [4], всегда будет отвечать локальное ляпуновское семейство орбит. При условии, что корень λ₂ не будет кратным λ₁, второму корню также отвечает ляпуновское семейство.

Глобальные семейства периодических орбит для треугольных точек либрации строятся продолжением локального ляпуновского семейства с применением теории [12] для систем общего вида.

3. ГЛОБАЛЬНОЕ СЕМЕЙСТВО ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Система (1) записывается также как система автономных дифференциальных уравнений общего вида

$\dot{w}=W\left(w\right), w\in R^k, k=6$. (5)

Тогда орбиты близ точек либрации анализируются как периодические решения системы (5) близ равновесия. Период на семействе ляпуновских орбит монотонно зависит от постоянной энергии h. Поэтому ляпуновские орбиты в (5) образуют семейство по параметру h периодических решений.

Для произвольного семейства периодических решений по скалярному параметру $\hat{h}$ вводятся следующие понятия [12].

Определение 1. Семейство периодических решений называется невырожденным, если на нем период T($\hat{h}$) монотонно зависит от параметра $\hat{h}$.

Определение 2. Невырожденное семейство периодических решений, на котором параметр $\hat{h}$ принимает всевозможные для решений семейства значения, называется глобальным семейством.

Глобальное семейство периодических решений обозначается через Σ.

Определения 1 и 2 справедливы как для обратимых механических систем (2), так и для автономного уравнения общего вида (5). При этом в (2) рассматриваются СПД. Независимо от вида рассматриваемой системы справедлив следующий результат.

Теорема (о глобальном семействе). Пусть система допускает семейство невырожденных периодических решений по параметру $\hat{h}$. Тогда оно продолжается по периоду T на глобальное семейство S. На S период T($\hat{h}$) монотонно зависит от параметра семейства $\hat{h}$. Семейство S заполняет глобальную область $\hat{\Sigma }$; Σ описывается редуцированной системой второго порядка.

Доказательство теоремы для уравнения (5) приведено в работе [12], для системы (2) оно дано в статье [11] (см. также [9, 10]).

Заметим, что, согласно приведенной теореме, при подходе к границе семейства период T может стремится к нулю, ненулевому числу T ^* или к бесконечности. Нуль получается для семейства с убывающим периодом; для центра период T →T ^*; для седла T → +∞ [9, 10, 11, 12]. Многообразие $\hat{\Sigma }$ многомерной системы в общей ситуации не будет плоским.

В задаче трех тел применяются следствия из приведенной теоремы.

Следствие 1. Ляпуновское семейство продолжается на глобальное семейство невырожденных периодических решений (глобальная теорема Ляпунова о центре для консервативной системы).

Следствие 1 применяется для периодических орбит близ треугольных точек либрации L_{4, 5}.

Такой же вывод получается для симметричного ляпуновского семейства обратимой механической системы.

Следствие 2. Симметричное ляпуновское семейство обратимой механической системы продолжается на глобальное семейство невырожденных симметричных периодических решений (глобальная теорема Ляпунова о центре для обратимой механической системы).

Следствие 2 применяется для симметричных периодических орбит близ коллинеарных точек либрации L_{1, 2, 3}.

4. ГЛОБАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ, СВЯЗЫВАЩИЕ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ

4.1. Кривая Г нулевой скорости точек на глобальном семействе

На каждой периодической орбите скорость точки в некоторый момент времени обращается в нуль. Существование на плоскости (x, y) точечного следа периодической орбиты лежит в основе метода построения глобального семейства периодических орбит.

Согласно теореме раздела 3, глобальное семейство периодических орбит описывается редуцированной системой. Для консервативной системы выводится редуцированная консервативная система с одной степенью свободы.

На периодическом решении скорость точки в некоторый момент обращается в нуль, причем существуют, по крайнем мере, два таких момента. При изменении параметра семейства $\hat{h}$ в фазовом пространстве системы (1) получается кривая нулевой скорости точек. Она обозначается через Г($\hat{h}$). Для описания глобального семейства иногда достаточно привести одну из кривых Г($\hat{h}$).

В плоской ограниченной задаче область возможных движений точки m при рассматриваемом значении параметра C выделяется неравенством 2Ω(x, y) ≥ C, где C = –2h, h < 0 — постоянная интеграла энергии. Кривая Хилла представляет собой линию уровня 2Ω(x, y) = C функции Ω(x, y) на плоскости (x, y); на ней cкорость точки m равна нулю. На рис. 1 кривые Хилла изображены с учетом симметрии относительно оси x: приведена верхняя полуплоскость. Как и в работе [5], значения C_j уменьшаются при росте номера j, а кривые Хилла для значений C, превосходящих C₂, обозначены штриховой замкнутой линией.

Рис. 1. Кривая Г нулевой скорости на орбитах глобального семейства, пересекающая кривые Хилла

Точке либрации L_i соответствует значение параметра C(L_i). Поэтому для точек глобального семейства периодических орбит, рожденного из точки L_i, значения параметра C > C(L_i). С изменением параметра C происходит переход от одной к другой периодической орбите. На каждой периодической орбите семейства скорость точки в некоторый момент времени становится нулевой. В этот момент времени периодическая орбита оставляет точечный след на кривой Хилла с параметром C. В результате монотонного изменения C получается кривая Г нулевой скорости для орбит глобального семейства. Кривая Г начинается в точке либрации. Она пересекает кривые Хилла. Для глобального семейства имеется, по крайней мере, две кривые Г.

Проекция точек неподвижного множества R на плоскость (x, y) совпадает с осью x. Поэтому для симметричных периодических орбит одна из кривых Г принадлежит оси x, примыкая к соответствующей коллинеарной точке либрации.

Для гладкого по параметру С глобального семейства на рис. 1 изображена гладкая кривая Г. Она выделена цветом. Треугольной точке либрации L_{4, 5} отвечают два глобальных семейства, поэтому от точки либрации отходят две кривые Г(С) синего цвета: левая (a) и правая (b). Кривые нулевой скорости для орбит, рожденных из точек L₁, L₂ и L₃, на рис. 1 выделены зеленым, оранжевым и коричневым цветами соответственно. Кривые Г, принадлежащие оси x, выделены красным, розовым и желтым цветами.

Для определенности полагаем, что масса тела M₀ больше или равна массе тела M₁. Cначала рассмотрим диапазон 0 < m < 1/2. Тогда для точек либрации выполняются неравенства

$C\left(L_2\right)>C\left(L_3\right)>C\left(L_1\right)>C\left(L_4\right)=C\left(L_5\right)$.

4.2. Двойственный характер коллинеарных точек либрации

Характеристическое уравнение для коллинеарной точки либрации L_i (i = 1, 2, 3) содержит пару чисто мнимых корней и пару действительных корней противоположного знака. Поэтому в фазовом пространстве точка либрации L_i раздваивается на пару центр-седло. Окрестность точки L_i содержит два двумерных многообразия, одно из которых отвечает центру, другое — седловой точке. В седловой точке начинаются сепаратрисы — устойчивые (направленные к седловой точке) и неустойчивые (исходящие из седловой точки). При локальном изучении седловой точки сепаратрисы представлены двумя парами «усов».

Что касается чисто мнимых корней, то на втором многообразии, согласно аналогу [8] теоремы Ляпунова о центре, к точке L_i примыкает симметричное ляпуновское семейство периодических орбит. Это семейство локальное. По следствию 2 [11] оно продолжается на глобальное семейство Σ₁ симметричных периодических орбит.

Двойственный характер коллинеарной точки либрации L_i отмечается мысленным разделением ее на L_i⁺ (центр) и L_i^– (седло).

4.3. Голобальные симметричные семейства периодических орбит

В данном разделе описано формирование глобального семейства периодических орбит для коллинеарной точки либрации L₁. Семейство S₁ состоит из периодических орбит, симметричных относительно неподвижного множества R, на котором y = 0, .x = 0. На плоскость (x, y) точки множества R для Σ₁ проецируются (см. рис. 1) как отрезок X₁ (выделен красным цветом на оси x), содержащий точку L₁. Сам отрезок расположен между двумя пересечениями кривой C = C(L₃) с осью абсцисс. Следовательно, орбиты семейства Σ₁ занимают на рис. 1 область, ограниченную кривыми C = C(L₁) и C = C(L₃).

Кривая нулевой скорости Г(С) (зеленого цвета) для орбит семейства S₁ берет начало в точке L₁ и с увеличением параметра С стремится к кривой со значением C = C(L₃). Она получается сдвигом вдоль траекторий правой от L₁ части отрезка X₁. Правая граница отрезка X₁ принадлежит C = C(L₃), на которой расположена равновесная точка L₃. Поэтому при C → C(L₃) кривая Г(С) входит в точку L₃, скорость в которой также равна нулю.
Многообразие ${\hat{\Sigma }}_1$ содержит центр L₁⁺, период на Σ₁ меняется монотонно, орбиты семейства Σ₁ стремятся к кривой C = C(L₃) с одновременным стремлением кривой Г(С) к точке L₃. Поэтому равновесие L₃ становится седлом L₃^– для семейства Σ₁. Глобальное семейство Σ₁ ограничено в фазовом пространстве. Границы глобального семейства образуют центр L₁⁺ и седло L₃^–. С учетом нижней половины рис. 1 получаем вывод: глобальное множество Σ₁ ограничено сепаратрисами, которые начинаются в точке L₃^–. Период на Σ₁ увеличивается неограниченно.

Точка L₃ имеет двойственный характер. Центру L₃⁺ отвечает симметричное локальное ляпуновское семейство, которое продолжается, согласно следствию 2, на глобальное семейство симметричных периодических орбит Σ₃. Здесь проекцией на плоскость (x, y) множества точек R для Σ₃ является отрезок X₃ (желтого цвета). На внешней от кривой C = C(L₂) области нет равновесия, поэтому начальные точки для СПД принадлежат левосторонней окрестности точки L₃ на оси x. В результате получается двумерное многообразие ${\hat{\Sigma }}_3$ в пространстве.

Семейство Σ₃ начинается в точке L₃⁺. Второй равновесной точкой на двумерном многобразии ${\hat{\Sigma }}_3$ становится седло L₂^–. На Σ₃ период увеличивается от центра L₃⁺ к седлу L₂^– неограниченно. С учетом нижней половины рис. 1 получается, что орбиты Σ₃ проецируются на плоскость (x, y) в виде симметричной фигуры, связывающей точки L₃ и L₂.

Третье глобальное симметричное семейство Σ₂ периодических орбит начинается в точке L₂⁺. Оно качественно повторяет поведение глобальных семейств Σ₁ и Σ₃ с тем лишь отличием, что орбиты семейства не ограничиваются точкой либрации. На рис. 1 кривая Г нулевой скорости (оранжевого цвета) для орбит семейства Σ₂ начинается в точке L₂ и с увеличением C стремится к телу M₁. Вторая такая же кривая стремится к телу M₀: на рис. 1 изображены две кривые Г для одного глобального семейства. Проекцией на плоскость (x, y) множества точек R для Σ₂ является отрезок X₂ (розового цвета).

Орбиты глобального семейства Σ₂ «прижимаются» к основным телам. Качественная оценка поведения орбит при подходе к границе глобального семейства связана с особенностями задачи трех тел в точках M₀ и M₁. При подходе к ним реализуется сценарий, когда в теореме о глобальном семействе параметр C ограничивается конечным числом. На рис. 1 «прижимание» отражено в прерывании кривых Г (оранжевого цвета) и двустороннем ограничении длины отрезка X₂.

Вывод 1. Глобальные семейства симметричных орбит S_i (i = 1, 2, 3) существуют при 0 < m < 1/2. На них период возрастает. Семейство S₁ связывает точки L₁⁺ и L₃^–, семейство S₃ связывает точки L₃⁺ и L₂^–, семейство S₃ начинается в точке L₂⁺ и «прижимается» к основным телам M₀ и M₁. Семейства S₁, S₃ и S₂ образуют цепочку с растущим на ней параметром C = –2h.

4.4. Случай μ(1 –μ) < 1/27

При выполнении условия (3) к коллинеарным точкам либрации добавляются треугольные точки либрации L_{4, 5}, расположенные на плоскости (x, y) симметрично относительно оси x. Их глобальные семейства Σ_{4, 5} периодических орбит также расположены на плоскости (x, y) симметрично относительно x.

Обратимся к точке либрации L₄, которая в фазовом пространстве представлена двумя центрами. К точке L₄ примыкают два ляпуновских семейства, которые, согласно следствию 1, продолжаются на свои глобальные семейства. На рис. 1 кривая Г нулевой скорости для периодических орбит начинается в точке L₄, на ней параметр С увеличивается, начиная со значения C = C(L₄).

Предположим, что при увеличении параметра С кривая Г(C) не покидает область Y, ограниченную замкнутой кривой C = C(L₁). Тогда получается глобальное семейство, для которого параметр C ограничен снизу и сверху. Нижнее значение C отвечает центру (в точке L₄), верхнее значение — седлу L₁^–. Существование семейства не зависит от условия нерезонансности частот | l₁ | и | l₂ |, следовательно, оно соответствует меньшей частоте | l₁ |. Глобальное семейство ${\Sigma }_4^{\left(1\right)}$ орбит качественно ведет себя как семейства S₁ и S₃. Кривая Г нулевых скоростей для семейства ${\Sigma }_4^{\left(1\right)}$ на рис. 1 изображена синим цветом, обозначена буквой a и идет влево от точки L₄.

Симметричное семейству ${\Sigma }_4^{\left(1\right)}$ глобальное семейство ${\Sigma }_5^{\left(1\right)}$ также имеет седлом L₁^–. Тем самым обе пары «усов» седла L₁^– заполняются.

Пусть выполнено условие нерезонансности для корня l₂ ≠ pl₁, p = N. Тогда, по теореме Ляпунова о центре, к точке либрации L₄ (L₅) примыкает второе ляпуновское семейство. По следствию 1 оно продолжается по периоду T на глобальное семейство, обозначаемое через ${\Sigma }_4^{\left(2\right)}$ (${\Sigma }_{5,4}^{\left(2\right)}$). Седла L₁^– и L₃^– не содержат свободной пары «усов», а одной пары «усов» седла L₂^– недостаточно для примыкания двух равноправных семейств.

Таким образом, семейства (${\Sigma }_{4,5}^{\left(2\right)}$ или покидают любую ограниченную в фазовом пространстве область, или «прижимаются» к основным телам.

На рис. 1 кривая b нулевых скоростей синего цвета идет вправо от точки L₄.

Вывод 2. При выполнении условия (3) из точек либрации L_4,5 начинаются глобальные семейства периодических орбит ${\Sigma }_{4,5}^{\left(1\right)}$, отвечающие меньшей частоте | l₁ | малых колебаний. На ${\Sigma }_{4,5}^{\left(1\right)}$ параметр C возрастает, периоды орбит стремятся к бесконечности, а орбиты неограниченно подходят к точке L₁^–. Глобальные семейства ${\Sigma }_{4,5}^{\left(2\right)}$, соответствующие большей частоте | l₂ |, существуют, если частота |l₂| ≠ p|l₁|, p ∈ N. На ${\Sigma }_{4,5}^{\left(2\right)}$ параметр C возрастает, сопровождаясь монотонным изменением периода орбит на семействе. Орбиты семейств ${\Sigma }_{4,5}^{\left(2\right)}$ уходят на бесконечность или «прижимаются» к основным телам M₀ и M₁.

4.5. Задача с основными телами одинаковой массы

При m = 1/2 основные тела имеют равные массы. Условие (3) не выполняется: глобальные семейства, примыкающие к треугольным точкам либрации, в задаче отсутcтвуют. Точка L₂ находится в центре масс. Семейство S₃ по-прежнему существует. Точки L₁ и L₃ равноправны, поэтому точки L₁⁺ и L₂^– (L₃⁺ и L₂^–) связываются глобальным семейством S₁. На общей границе глобальных семейств S₁ и S₃ находится седло L₂^–. Семействами S₁ и S₃ заполняются обе пары «усов» седловой точки L₂^–.

Вывод 3. В плоской ограниченной задаче с основными телами M₀ и M₁ с одинаковой массой глобальные семейства S₁ и S₃, начинающиеся из разных точек либрации, идентичны друг другу, заканчиваются в точке L₂^– и разнесены в фазовом пространстве. В задаче реализуются две цепочки S₁ - S₂ и S₃ - S₂, на них параметр С возрастает, а орбиты семейства S₂ «прижимаются» к основным телам M₀ и M₁.

5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ

В пространственной ограниченной круговой задаче трех тел для точек либрации вычисляется производная

$\frac{\partial \Omega }{\partial z}=-a_{k}z, a_k=\frac{1-\mu }{r_0^3}+\frac{\mu }{r_1^3}, k=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,5}$.

При этом для коллинеарных точек либрации выполняется неравенство a_{1, 2, 3} > 1, для треугольных точек либрации получаем a_{4, 5} = 1 [5]. В результате для всех точек либрации выводятся пары чисто мнимых корней, соответствующие малым пространственным колебаниям.

Характеристическое уравнение для коллинеарной точки либрации L_k в плоской задаче записывается в виде

${\sigma }^4+(2-a_k){\sigma }^2+(1-a_k)(1+2a_k)=0$,

а квадраты корней вычисляются по формуле

${\sigma }_{\mathrm{1,2}}^2=\frac{a_k-2}{2}\pm \frac{\sqrt{D}}{2}, D=(9a_k-8)a_k>0$

Эти формулы связывают частоты малых пространственных и плоских колебаний.

Сравним квадраты частот a_k и |${\sigma }_2^2$|. Для чисто мнимых корней получаем $|2{\sigma }_2{|}^2=2-a_k+\sqrt{D}$. Поэтому условие a_k > |${\sigma }_2^2$| приобретает вид $\sqrt{D}<3a_k-2$. Оно выполняется только при a_k > 2/3. При извлечении квадратного корня получается также условие a_k < 1.

Таким образом, для всех коллинеарных точек либрации частота малых пространственных колебаний меньше частоты малых плоских колебаний. Поэтому, согласно аналогу [8] теоремы Ляпунова о центре, к каждой коллинеарной точке либрации примыкает симметричное семейство пространственных ляпуновских орбит. Эти орбиты по следствию 2 продолжаются на глобальное семейство пространственных периодических орбит. В семействе период орбит меняется монотонно, само семейство стремится к бесконечности.

Для треугольных точек либрации частота пространственных колебаний равна 1. При этом частоты плоских колебаний вычисляются по формуле (4) и не превышают единицы. Значит, для применения теоремы Ляпунова о центре [4] необходимо исключить два счетных ряда значений параметра m: $p{\lambda }_{\mathrm{1,2}}, p\in \text{N}$. В явном виде условия записываются с применением формулы (4).

Вывод 4. Пространственные глобальные семейства периодических орбит примыкают к точкам либрации, на них параметр С и период меняются монотонно, а сами семейства уходят в бесконечность. Семейства существуют для всех коллинеарных и треугольных точек либрации.

При этом для коллинеарной точки либрации L_i (i = 1, 2, 3) пространственное глобальное семейство состоит из симметричных орбит. Для треугольных точек либрации пространственные глобальные семейства реализуются для всех значений массового параметра m, подчиняющихся неравенству (3), таких, что $p^2\pm \sqrt{1-27\mu -\mu }\ne \mathrm{2,} p\in \text{N}$.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ограниченной круговой задаче трех тел существуют глобальные семейства периодических орбит, примыкающие к точкам либрации и содержащие в себе локальные ляпуновские семейства орбит. Семейства делятся на плоские и пространственные, симметричные и несимметричные.

В плоской задаче при 0 < m < 1/2 из точки L₁ начинается глобальное семейство Σ₁, которое приходит к точке L₃; из точки L₃ начинается глобальное семейство S₃, приходящее к точке L₂, из которой начинается глобальное семейство Σ₂. Каждое семейство ограничено в пространстве, на семействах Σ₁ и Σ₃ период неограниченно возраcтает, орбиты семейства Σ₂ «прижимаются» с ростом C к основным телам M₀ и M₁; эволюция глобальных семейств происходит с изменением энергии системы h. Семейства Σ_j, j = 1, 2, 3, состоят из симметричных относительно оси x орбит и образуют цепочку Σ₁ - Σ₃ - Σ₂ с растущим на ней параметром C, где C = -2h, h < 0.

Для точек либрации L_{4, 5} периодические орбиты глобального семейства несимметричны, но сами семейства являются симметричными относительно оси x на плоскости (x, y). Семейства существуют, если массовый параметр m удовлетворяет условию (3). К треугольным точкам либрации примыкают два глобальных семейства, одно из которых ${\Sigma }_{4,5}^{\left(1\right)}$ существует всегда и соответствует меньшей частоте | l₁ | малых колебаний в окрестности точки либрации, другое семейство — ${\Sigma }_{4,5}^{\left(2\right)}$, реализуется при выполнении условий | l₂ | ≠ p | l₁ |, p ∈ N на большую частоту. Глобальные семейства ${\Sigma }_{4,5}^{\left(1\right)}$ приходят с неограниченно возрастающим периодом к точке L₁. На семействах ${\Sigma }_{4,5}^{\left(2\right)}$ период орбит меняется монотонно. Орбиты семейств ${\Sigma }_{4,5}^{\left(2\right)}$ уходят на бесконечность или «прижимаются» к основным телам M₀ и M₁.

Глобальные семейства образуют цепочки; цепочка начинается в треугольной точке либрации, содержит глобальные семейства для треугольной и всех коллинеарных точек либрации, заканчивается семейством, орбиты которого «прижимаются» к основным телам. На цепочках семейств ${\Sigma }_{\mathrm{4,5}}^{\left(1\right)}-{\Sigma }_1-{\Sigma }_3-{\Sigma }_2$ параметр C возрастает. На семействах ${\Sigma }_{4,5}^{\left(1\right)}$, Σ₁ и Σ₃ на двумерном многообразии связываются центр и седло.

При μ = 1/2 семейства Σ₁ и Σ₃, начинающиеся из разных точек либрации, идентичны друг другу, примыкают к одной конечной точке L₂ и разнесены в фазовом пространстве.

Пространственные глобальные семейства периодических орбит примыкают к точкам либрации, на них параметр C и период меняются монотонно, а сами семейства уходят в бесконечность. При этом для коллинеарной точки либрации L_k (k = 1, 2, 3) пространственное глобальное семейство состоит из симметричных орбит относительно неподвижных множеств $\{x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}:y=\mathrm{0,} \dot{x}=\mathrm{0,} \dot{z}=0\}$ и $\{x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}:y=\mathrm{0,} z=\mathrm{0,} \dot{x}=0\}$ одновременно. Для треугольных точек либрации пространственные глобальные семейства реализуются, когда массовый параметр  принадлежит диапазону (3) и выполняются условия $p^2(1\pm \sqrt{1-27\mu (1-\mu )})\ne p\in N$.

¹ Изложение задачи трех тел следует учебному пособию для университетов [5].

Об авторах

В. Н. Тхай

Автор, ответственный за переписку.
Email: tkhai@ipu.ru
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Кривая Г нулевой скорости на орбитах глобального семейства, пересекающая кривые Хилла

Скачать (268KB)

Метаданные