Том 78, № 3 (2023)

Изучаются вопросы существования и устойчивости $\varepsilon$-выборок (выборок из оператора почти наилучшего приближения). Раскрывается связь существования непрерывных $\varepsilon$-выборок с другими аппроксимативными и структурными характеристиками приближающих множеств. В таких задачах рассматриваются как абстрактные, так и конкретные приближающие множества: $n$-звенные ломаные, $n$-звенные $r$-полиномиальные функции и их обобщения, $k$-монотонные функции и обобщенные дробно-рациональные функции. Для задач обобщенного дробно-рационального приближения рассматриваются классические вопросы существования, единственности и устойчивости наилучших и почти наилучших приближений. Библиография: 70 названий.

Цель настоящего обзора – изучение инвариантов циклических накрытий графов. При этом накрываемый граф предполагается фиксированным, а циклическая группа накрытия имеет сколь угодно большой порядок. Классическим примером такого накрытия является циркулянтный граф. Он накрывает одновершинный граф с заданным числом петель. Более сложными представителями семейства циклических накрытий являются $I$-, $Y$-, $H$-графы, обобщенные графы Петерсена, сэндвич-графы, дискретные торы и многие другие. В обзоре приведены аналитические формулы, позволяющие вычислять число отмеченных остовных лесов и деревьев в циклических накрытиях, найдена их асимптотика и изучены арифметические свойства этих чисел. Кроме того, для циркулянтных графов указаны точные формулы для вычисления индекса Кирхгофа и приведены структурные теоремы о строении якобианов таких графов. Библиография: 95 названий.