Estimation of accuracy of determining the number of nucleons-spectators by the energy recorded in the calorimeter in A+A collisions

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В современных экспериментах по столкновениям релятивистских ядер важное значение имеет экспериментальная информация о начальных условиях, которые определяют в каждом событии плотность энергии в области взаимодействия и ответственны за эволюцию процессов образования материи в экстремальном состоянии кварк-глюонной плазмы. Общепринятым критерием является центральность столкновения — величина, связанная с геометрией столкновения, которая характеризуется значением прицельного параметра. Поскольку последний не может быть измерен непосредственно в эксперименте, то для классификации событий по степени их центральности используются различные наблюдаемые величины, косвенно связанные с прицельным параметром.

К таким наблюдаемым относится, в частности, число нуклонов-участников (N_part), которое может быть получено в ядро-ядерном столкновении, если известно число нуклонов-спектаторов (N_s). Так, например, в эксперименте MPD по столкновению тяжелых ионов на коллайдере NICA число нуклонов-спектаторов может быть экспериментально определено по энергии, регистрируемой в так называемом “переднем” калориметре (или калориметре «нулевого» угла), который детектирует нуклоны-спектаторы под предельно малыми углами к оси пучка [1]. Каждый из нуклонов-спектаторов сохраняет энергию и импульс, близкие к начальным до столкновения, что позволяет восстановить полное число нуклонов-спектаторов по измеренной энергии. При этом ясно, что при решении данной обратной задачи, неопределенность в оценке числа нуклонов-спектаторов с использованием калориметра будет приводить к ошибке в определении центральности [2].

Эта неопределенность связана с общей проблемой восстановления числа частиц, попавших в детектор, по величине некоторого суммарного сигнала. Так, известно, что в ряде детектирующих систем в физике высоких энергий существует эффект суммирования отдельных откликов детектора от частиц в некоторый суммарный сигнал, по величине которого может быть восстановлена искомая величина числа частиц. Например, по энергии или заряду от нескольких частиц, порожденных в одном событии, можно оценить число попавших в детектор частиц. При этом, при восстановлении информации возникают задачи, связанные как с функцией отклика детектора, так и с видом распределения по числу частиц, образовавшихся в событии в области аксептанса детектора.

В качестве примера можно привести задачу восстановления числа частиц (множественности) по результатам измерения суммарного значения величины заряда от нескольких частиц, порожденных в одном событии. Эта проблема рассматривалась ранее в работах [3, 4], в которых в качестве одного из возможных вариантов для измерения множественности было предложено использование детектора на микроканальных пластинах (МКП).

В этих работах было показано, что в результате взаимодействия минимально ионизирующих частиц с детектором на выходе МКП получается случайное значение заряда, коррелированное с числом падающих частиц. При этом при малых множественностях детектор на МКП может быть применен в счетном режиме [5].

Для выявления возможности применения МКП детекторов при больших загрузках в работе [6] был рассмотрен способ определения множественности рождающихся в событии частиц путем ее восстановления из величины зарегистрированного заряда. В этом случае на основе формулы Байеса, для детектора на МКП была получено оценка относительной погрешности 5 % — 10 % для значений множественности между 100—20 заряженных частиц соответственно. При этом в процедуре восстановлении множественности использовалась известная функция отклика детектора.

Для экспериментального подтверждения методики расчета в работе [7] была проведена проверка детектора множественности с использованием импульсного лазерного излучения и системы масок. В этой работе частицы имитировались отверстиями в системе масок. Восстановление числа “частиц” (числа отверстий) по суммарному заряду, регистрируемому детектором, подтвердило возможность применения детектора на МКП в качестве детектора множественности.

В настоящей работе разработанная ранее на основе формулы Байеса методика оценки числа частиц по заряду в детекторах на микроканальных пластинах применятся для анализа относительной погрешности определения числа нуклонов-спектаторов по энергии, регистрируемой калориметром. Приводятся результаты расчетов и их обсуждение.

ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА ПРОТОНОВ — СПЕКТАТОРОВ ПО ЭНЕРГИИ, РЕГИСТРИРУЕМОЙ В КАЛОРИМЕТРЕ

Интерес к определению числа протонов-спектаторов по энергии, регистрируемой в калориметре, связан с тем, что число спектаторов может быть использовано для оценки степени центральности столкновения и величины прицельного параметра. Между количеством нуклонов-участников (N_part) и числом спектаторов (N_s) существует очевидная связь N_part = A - N_s а число нуклонов-участников (N_part) в событии коррелирует со значением прицельного параметра b. Таким образом, абсолютная и относительная погрешности восстановления числа нуклонов-участников (N_part) и прицельного параметра (b) по энергии, регистрируемой в переднем калориметре в данном событии, связаны с погрешностями определения числа нуклонов-спектаторов (N_s). Примеры практической реализации калориметра FHCal для регистрации спектаторов приводятся в работах [1, 8].

В последнее время проблемы оценки точности восстановления среднего значения прицельного параметра и погрешности определения числа спектаторов с использованием калориметров широко обсуждаются [9—14]. В частности, в последние годы были опубликованы работы [10, 11], дающие различающиеся результаты. В работе ниже мы применяем для определения точности восстановления числа нуклонов-спектаторов в событии ядро-ядерного столкновения ранее разработанную методику, основанную на формуле Байеса, что позволяет провести модельно-независимый анализ.

В данной работе мы находим оценки точности определения числа спектаторов по энергии, регистрируемой в калориметре при следующих предположениях:

• распределение спектаторов статистически устойчиво;
• калориметр регистрирует только протоны-спектаторы (что эквивалентно предположению о линейности отклика калориметра в случае попадания в него фрагментов, а не одиночных нуклонов);
• известна функция отклика калориметра на попадание в него одного нуклона.

Для функции отклика в данной работе мы используем результаты GEANT моделирования [8]. Используемая функция отклика калориметра на 1 протон в относительных единицах представлена на рис. 1.

 

Рис. 1. Функция отклика калориметра (в относительных единицах).

 

Очевидно, что функция отклика калориметра на 2 протона в одном событии может быть получена сложением двух случайных величин с распределениями, представленными на рис. 1, что приводит к результату, представленному на рис. 2.

 

Рис. 2. Отклик калориметра на 2 протона в одном событии с учетом функции отклика калориметра рис. 1. Точки — расчетные значения. Плавная кривая — аппроксимация расчетных значений гауссовой кривой.

 

Из рис. 2 видно, что функции отклика калориметра на 2 протона в одном событии уже близка к нормальному распределению. При суммировании пяти и более случайных величин итоговое распределение мало отличается от нормального. Другими словами, отклик калориметра на пять и более спектаторов в данном событии при известной энергии сталкивающихся ядер вследствие центральной предельной теоремы вполне допустимо описывать, используя гауссовы распределения.

В измерениях с калориметром в каждом событии мы имеем две коррелированные случайные величины: N_s — число протонов (спектаторов), попадающих в акцептанс калориметра, E_t — соответствующая энергия на выходе калориметра. Обозначим через P(N_s) — вероятность иметь N_s спектаторов на входе калориметра и P(Q|M)dQρ(E_t /N_s)dE_t — вероятность иметь энергию E_t в интервале dE_t при условии, что число спектаторов равно N_s.

Среднеквадратичное отклонение энергии, регистрируемой в калориметре (E_t) при попадании в него одного протона с энергией E_b, от истинного значения (E_b) может быть параметризовано следующим образом [9]:

$\sigma \left[GeV\right]=0.56 \sqrt{E_b\left[GeV\right]}$. (1)

Тогда, согласно результатам имитационного моделирования, условную плотность вероятности отклика калориметра E_t при условии, что в него попало ровно N_s нуклонов, можно записать в следующем виде:

$\rho \left(E_t|N_s\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi N_s}}\exp \left[-\frac{{\left(E_t-N_s{E}_b\right)}^2}{2N_s{\sigma }^2}\right]$. (2)

Применяя теперь теорему Байеса, можно найти P(N_s |E_t) — вероятность попадания в калориметр N_s нуклонов при условии, что в данном событии измеренный отклик калориметра был равен E_t.

$P\left(N_s\text{|}{E}_t\right)=\frac{P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}{\rho \left(E_t\right)}=\frac{P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}{{\displaystyle {\sum }_{N_s}P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}}$

${\sum }_{N_s}P\left(N_s\right|E_t)=1 .$ (3)

Используя формулу (3), можно найти среднее значение N_s для данной энергии E_t:

$\begin{array}{c}{⟨N_s⟩}_{E_t}={\sum }_{N_s}{N}_s P\left(N_s\right|E_t)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{N_s}{N}_s P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}}{\rho \left(E_t\right)}=\\ =\frac{{\displaystyle {\sum }_{N_s}{N}_s P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}}{{\displaystyle {\sum }_{N_s}P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}}\end{array}$(4)

и среднее значение квадрата $N_s^2$ при энергии E_t:

$\begin{array}{c}{⟨N_s^2⟩}_{E_t}={\sum }_{N_s}{N}_s^2 P\left(N_s\right|E_t)=\\ =\frac{{\displaystyle {\sum }_{N_s}{N}_s^2 P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}}{\rho \left(E_t\right)}=\\ =\frac{{\displaystyle {\sum }_{N_s}{N}_s^2 P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}}{{\displaystyle {\sum }_{N_s}P\left(N_s\right)\rho \left(E_t\text{|}{N}_s\right)}},\end{array}$ (5)

а также абсолютную

${\sigma }_{N_S|E_t}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sqrt{D_{N_S|E_t}}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sqrt{{⟨N_S^2⟩}_{E_t}-{⟨N_S⟩}_{E_t}^2}$ (6)

и относительную погрешности определения N_s для данного E_t

${\delta }_{N_S|E_t}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{{\sigma }_{N_S|E_t}}{{⟨N_S⟩}_{E_t}^{}}=\sqrt{\frac{{⟨N_S^2⟩}_{E_t}}{{⟨N_S⟩}_{E_t}^2}-1}$(7)

Для погрешностей определения N_part для данного E_t имеем:

${\sigma }_{N_{\text{part}}|E_t}={\sigma }_{N_s|E_t}$, (8)

${\delta }_{N_{\mathrm{part}}|E_t}\stackrel{def}{=}\frac{{\sigma }_{N_{\mathrm{part}}|E_t}}{{〈N_{\mathrm{part}}〉}_{E_t}}=\frac{{\sigma }_{N_S|E_t}}{A-{〈N_S〉}_{E_t}}$ (9)

Знание числа спектаторов может быть использовано для определения прицельного параметра b, а также и для оценок абсолютной и относительной ошибок значения прицельного параметра для данного E_t по формуле

${\delta }_{b|E_t}\stackrel{def}{=}\frac{{\sigma }_{b|E_t}}{{〈b〉}_{E_t}}$ (10)

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В этом разделе анализируются результаты расчетов, проведенных с использованием формул (1)—(9). Результаты представлены на рис. 1—5.

Расчеты были выполнены в различных вариантах, с использованием для распределения спектаторов, $P\left(N_s\right)$ — равномерного, пуассоновского и нормального распределений.

Плотность вероятности ρ(N_s |E_t) получить отклик калориметра E_t, когда через него проходит N_s нуклонов-спектаторов, найденная по формуле (3), представлена на рис. 3.

 

Рис. 3. Плотность вероятности получить отклика калориметра E_t, когда через него проходит N_s нуклонов-спектаторов, как функция величины E_t / E_b. E_b — энергия одного спектаторного нуклона: малое число нуклонов-спектаторов N_s (а), большое число нуклонов-спектаторов N_s (б).

 

Среднее число протонов, восстановленное по измеренному отклику калориметра E_t, рассчитанное по формуле (4) с использованием в качестве P(N_s) — распределение Пуассона с математическим ожиданием $N_s=E_t/E_b$ представлено на рис. 4. Аналогичные распределения получаются с равномерным и гауссовым распределениями спектаторов, P(N_s).

 

Рис. 4. Среднее число протонов N_s при измеренном отклике калориметра E_t, рассчитанное по формуле (4) с использованием в качестве P(N_s) распределения Пуассона с математическим ожиданием N_s = E_t / E_b: для зарегистрированной энергии E_t / E_b < 12 (а), E_t / E_b > 30 (б).

 

Относительная погрешность определения N_s для данного E_t, рассчитанная по формуле (7), представлена на рис. 5 и 6.

 

Рис. 5. Относительная погрешность определения N_s для данного E_t с использованием в качестве P(N_s) распределения Пуассона с математическим ожиданием равным N_s = E_t / E_b (черные кружки) и N_s = 9 (светлые кружки) при зарегистрированной энергии E_t / E_b < 12.

 

Рис. 6. Относительная погрешность определения N_s для данного E_t, с использованием в качестве P(N_s) распределения Пуассона с математическим ожиданием равным N_s = E_t / E_b (черные кружки) и равномерного распределения (светлые кружки) при зарегистрированной энергии E_t / E_b > 30.

 

Представленные выше результаты аналитических расчетов, подтверждены с использованием имитационного моделирования для случаев, когда в качестве распределения спектаторов P(N_s) использовались равномерное или нормальное распределения, а также распределение Пуассона. Из полученных графиков видно, что при ожидаемом числе спектаторов более 10, относительная погрешность определения их числа не превышает 10 %, а при числе спектаторов более 30, она меньше 5 %.

Информация о числа спектаторов может быть использована для определения числа нуклоновучастников (N_part) и точности его восстановления для данного E_t по формулам (8) и (9). Подобным образом с использованием байесовского подхода может быть найдена абсолютная и относительная точность восстановления прицельного параметра b по измеренной величине энергии в калориметре E_t, с использованием формулы (10) аналогично (2)–(7).

С практической точки зрения нужно иметь в виду следующие замечания, касающиеся точности определения прицельного параметра в событии:

• точность определения на основе оценки числа спектаторов увеличится, если использовать дополнительную информацию о множественности частиц в событиях [11], либо если применить вместо калориметра позиционно-чувствительные времяпролетные системы [12, 13];
• для совершенствования метода определения центральности столкновений двух ядер посредством регистрации энергии нуклонов-спектаторов необходимо также дополнительно исследовать возможное влияние на отклик калориметра тяжелых спектаторных фрагментов [14, 15].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача восстановления числа нуклонов-спектаторов по измеренной величине энергии в калориметре E_t и оценки точности его восстановления с использованием формулы Байеса была изучена как в рамках аналитического подхода, так и путем имитационного моделирования. Были рассмотрены три случая априорного распределения P(N_s) числа нуклонов-спектаторов по событиям: равномерное, пуассоновское и нормальное распределения. Показано, что для любого вида априорного распределения числа нуклонов-спектаторов в событии, P(N_s), оба подхода дают одинаковые результаты при числе спектаторов более 5. Это объясняется тем, что в этом случае для дисперсии N_s выполняется условие $D_{N_s}\gg D_{N_s|E_t}$, которое согласно (3) и (4) и приводит к независимости точности определения N_s по измеренному E_t от вида априорного распределения числа нуклонов-спектаторов в событии, P(N_s). При ожидаемом числе спектаторов более 10, относительная погрешность определения их числа не превышает 10 %, а при числе спектаторов более 30, она меньше 5 %.

Исследование выполнено в рамках проекта Санкт-Петербургского государственного университета ID 95413904.

About the authors

F. F. Valiev

Saint-Petersburg State University

Author for correspondence.
Email: valiev07@list.ru
Russian Federation, St. Petersburg, 199034

V. V. Vechernin

Saint-Petersburg State University

Email: valiev07@list.ru
Russian Federation, St. Petersburg, 199034

G. A. Feofilov

Saint-Petersburg State University

Email: valiev07@list.ru
Russian Federation, St. Petersburg, 199034

References

Supplementary files