Метамагнетизм зонных электронов в модели Хаббарда для ГЦК решетки, обусловленный особенностью ван ХОВА

Полный текст

Введение

Данная работа посвящена исследованию фазового перехода, при котором магнитно неупорядоченная система зонных электронов под действием магнитного поля (внешнего или эффективного) скачком переходит в магнитоупорядоченное состояние. Явление, при котором происходит такой переход, называется зонным метамагнетизмом [1]. Понятие зонного метамагнетизма качественно отличается от понятия метамагнетизма в модели локализованных моментов, где метамагнитный переход — это переход в поле из антиферромагнитного в ферромагнитное состояние [2].

Свойства зонных магнетиков сильно зависят от особенностей их зонной структуры, поэтому необходимым для существования метамагнетизма является наличие особенности в энергетической зависимости плотности электронных состояний (DOS), которая должна иметь положительную кривизну на уровне Ферми [2, 3]. Одним из механизмов реализации такой особенности может быть наличие сингулярностей ван Хова в электронном спектре кубических решеток в приближении ближайших и следующими за ближайшими соседями [4–6]. Типичными примерами зонных метамагнетиков являются соединения, такие как CoS₂ [7, 8], Y(Co_1−xAl_x)₂ [9–12], LuCo₂ [13, 14], UCoFeAl [15–17] и материалы с гигантским магнитокалорическим эффектом, такие как MnAs [18], Gd₅Ge₂Si₂ [19, 20] и MnFeP_1−xAs_x [20].

Для объяснения возникновения метамагнитного фазового перехода можно рассмотреть теорию фазовых переходов Ландау, где разложение свободной энергии имеет вид

$F_{\text{Landau }}(T,n\mid m)=a_0(T,n)+a_2(T,n)m^2+$

$+a_4(T,n)m^4+a_6(T,n)m^6-hm$, (1)

где 𝑚 — намагниченность, ℎ — магнитное поле. Если рассматривать ситуацию, когда 𝑎₂ > 0, 𝑎₄ < 0, 𝑎₆ > 0, то в отсутствие поля ℎ = 0, у свободной энергии возникает два локальных минимума 𝑚₁ = 0 и 𝑚₂ > 0, причем 𝐹(𝑚₁) < 𝐹(𝑚₂), что соответствует парамагнитному состоянию. При включении поля уровни свободной энергии понижаются и при определенном значении ℎ уровни минимумов 𝐹(𝑚₁) = 𝐹(𝑚₂), намагниченность изменяется скачком, что и говорит о возникновении фазового перехода первого рода — метамагнитном переходе. Проанализировав разложение Ландау, можно определить соотношения между коэффициентами разложения, при которых будет возникать метамагнетизм [3]

$\frac{1}{4}<\frac{a_2{a}_6}{a_4^2}<\frac{3}{5}$. (2)

Описание метамагнетизма с помощью разложения Ландау возможно только в случае малой намагниченности; такому подходу посвящено большое количество работ [2, 3, 21–27]. В работах [28–31] рассматривается микроскопический подход исследования метамагнетизма. В [32] исследуется возможность ферромагнитного упорядочения в невырожденной модели Хаббарда на гранецентрированной кубической решетке (ГЦК) в рамках метода функциональной ренормгруппы, в спектре учитываются соотношения интегралов переноса между узлами, которые обеспечивают возникновение гигантской сингулярности ван Хова плотности состояний. В частности, показано, что учет корреляционных эффектов возможен для построения фазовой диаграммы для трехмерных решеток в рамках теории Стонера путем перенормировки параметра электрон-электронного взаимодействия U, учитывающей его экранирование в частично-частичном канале. В работах [5, 6] для примитивной и объемноцентрированной кубических решеток также были найдены гигантские сингулярности ван Хова при некоторых соотношениях параметров переноса, соответствующих расходимости плотности электронных состояний как обратный корень четвертой степени из энергии, что является более слабой сингулярностью, чем имеющаяся для ГЦК решетки (обратный квадратный корень из энергии) при отношении интегралов переноса, равном –0.5 (см. далее). Отклонение от этого отношения приводит к замене расходимости плотности электронных состояний на дне зоны на плато, что является достаточно реалистичным сценарием для реально существующих соединений. Работы [33, 34] посвящены исследованию зонного метамагнетизма в соединении LuCo₃. Расчеты, выполненные в рамках теории функционала плотности, показывают, что переход обусловлен значительным изменением заполненности электронных 3d-состояний. Скачок намагниченности соответствует переходу из низкоспинового в высокоспиновое состояние, по причине того, что уровень Ферми проходит через резкий пик плотности 3d-состояний при включении магнитного поля.

В данной статье представлено исследование метамагнитного фазового перехода в зонном ферромагнетике, имеющем сингулярности ван Хова в электронном спектре, для гранецентрированной кубической решетки в рамках теории среднего поля для модели Хаббарда в приближении ближайших и следующих за ближайшими соседями. Исследована фазовая диаграмма ферромагнетик–парамагнетик, а также род перехода в зависимости от существенных параметров (𝑈, 𝑛).

Спектр и модель

Мы используем гамильтониан невырожденной модели Хаббарда

$H=\sum _{\mathrm{ij}\sigma }{t}_{\mathrm{ij}}{a}_{\mathrm{i}\sigma }{a}_{\mathrm{j}\sigma }+U\sum _{\mathrm{i}}{n}_{\mathrm{i}\uparrow }{n}_{\mathrm{i}\downarrow }-h\sum _{\mathrm{i}\sigma }\sigma n_{\mathrm{i},}$, (3)

где 𝑡_ij — интеграл переноса между ближайшими (−𝑡) и следующими за ближайшими (−𝑡′) соседями для ГЦК решеткиB, ℎ = μ_B𝐻 – магнитное поле в энергетических единицах, σ – 𝑧-проекция спина, 𝑎^†,𝑎 – операторы рождения, уничтожения электрона на узле, 𝑛_iσ = 𝑎^†_iσ 𝑎_iσ оператор числа электронов на узле, имеющих проекцию спина σ. Учета только этих двух интегралов переноса достаточно, чтобы моделировать гигантскую сингулярнось ван Хова, возникающих для ГЦК решетки [4, 32]. Затравочный электронный спектр ${ϵ}_{\overrightarrow{\mathrm{k}}}=(1/N)\sum _{\mathrm{ij}}{t}_{\mathrm{ij}}\exp \left[\mathrm{i}\overrightarrow{\mathrm{k}}\left(\overrightarrow{R_{\mathrm{i}}}-\overrightarrow{R_{\mathrm{j}}}\right)\right]$ (где N – число узлов в решетке) в единицах 𝑡 имеет вид

$\begin{array}{l}ϵ\left(\overrightarrow{k}\right)=4\left(\cos \frac{k_{\text{x}}}{2}\cos \frac{k_{\text{y}}}{2}+\cos \frac{k_{\text{x}}}{2}\cos \frac{k_{\text{z}}}{2}+\right.\\ \left.+\cos \frac{k_{\text{y}}}{2}\cos \frac{k_{\text{z}}}{2}\right)-\\ -2\tau \left(\cos k_{\text{x}}+\cos k_{\text{y}}+\cos k_{\text{z}}\right)\end{array}$ (4)

где введено обозначение τ = 𝑡′/𝑡. Параметр τ регулирует ширину плато ван Хова и кривизну функции ρ(𝐸). Последняя оказывается достаточно выраженной при τ достаточно близком к −0.5 (см. рис. 1) [4].

 

Рис. 1. Плотность состояний ρ(𝜖) при τ = −0.52. Вертикальными линиями ограничена область, где наблюдается метамагнитный переход при 𝑈 =1.50 𝑡. На вставке изображена область плотности состояний, где рассматривался метамагнетизм.

 

Ниже мы исследуем термодинамику метамагнитного перехода в приближении среднего поля. Свободная энергия в этом приближении имеет вид [35]

_{$F_{\mathrm{MF}}(n,h\mid m)=F_0(n,m)+U/4\left(n^2-m^2\right)-hm$}  (5),

где свободная энергия электронного газа

 $F_0(n,m)={\Omega }_0\left(E_{\mathrm{F}},\Delta \right)+m·\Delta +n·E_{\mathrm{F}}$(6)

определяется через термодинамический потенциал электронного газа

$\begin{array}{l}{\Omega }_0\left(E_{\text{F}},\Delta \right)=-T\sum _{\overrightarrow{k}\sigma }\ln [1+\\ \left.+\exp \left(-\beta \left({ϵ}_{\overrightarrow{\text{k}}}-\sigma \cdot \Delta -E_{\text{F}}\right)\right)\right]\end{array}$  (7)

являющийся функцией уровня Ферми 𝐸_F = 𝐸_F(𝑛, 𝑚) и «среднего» магнитного поля Δ = Δ(𝑛, 𝑚), определяемых из условий

$\frac{\partial {\Omega }_0}{\partial E_{\mathrm{F}}}+n=0,$ (8)

$\frac{\partial {\Omega }_0}{\partial \Delta }+m=0$. (9)

Для нахождения магнитных свойств системы в такой модели численно решалась система уравнений

 $m=\sum _{\sigma }\sigma \int dϵ\rho \left(ϵ\right)f_{\mu }\left(ϵ+\frac{Un}{2}-\sigma h_{\text{eff}}\right),$(10)

$n=\sum _{\sigma }\int dϵ\rho \left(ϵ\right)f_{\mu }\left(ϵ+\frac{Un}{2}-\sigma h_{\text{eff}}\right)$ (11)

для намагниченности 𝑚 и химпотенциала μ при заданных значениях 𝑈, электронной концентрации 𝑛 и поля ℎ. Здесь $f_{\mu }\left(E\right)=\left(\exp \right(E-\mu /T)+1)$ – функция Ферми, $h_{\mathrm{eff}}=Um/2+h,\rho \left(ϵ\right)$ – плотность электронных состояний (DOS). Если решений получалось несколько, выбиралось то, которому соответствует наименьшая свободная энергия (5).

Уравнения (10), (11), вообще говоря, имеют несколько решений:

𝑚 = 𝑚_i(𝑛, ℎ). (12)

Точка метамагнитного перехода соответствует тому, что два различных решения (12) имеет равную свободную энергию в магнитном поле ℎ > 0:

$F_{HF}\left(n,h\mid m_1\right)=F_{HF}\left(n,h\mid m_2\right)$ (13)

Уравнение (13) можно рассматривать как уравнение на критическое магнитное поле ℎ = ℎ_c(𝑛).

Заметим, что широко известный критерий Стонера

𝑈 ∙ 𝜌(𝐸_F) > 1 (14)

соответствует условия существования локального максимума свободной энергии 𝐹(𝑛, ℎ = 0|𝑚) в нулевом магнитном поле, см (5), при 𝑚 = 0.

Результаты

Исследуем зависимость 𝑚 = 𝑚_i(𝑛, ℎ_c(𝑛)) в случае низких температур. Для удобства сопоставления с экспериментальными данными выберем референтное значение ширины зоны 𝑊 = 18 𝑡 равным 5 эВ, что соответствует соединениям переходных металлов. Мы выбираем $T=2·{10}^{-4}t$, что соответствует 𝑇 ≈ 0.6 K. Выберем U = 1.5 𝑡 и зададим электронную концентрацию n так, чтобы критерий Стонера (14) был близок к выполнению. В этом случае зависимость плотности состояний от энергии в окрестности уровня Ферми в парамагнитной фазе будет в этом случае иметь сильную положительную кривизну (см. рис. 1). Решая уравнения (10−11), получим зависимость намагниченности от поля, показанную на рис. 2 для τ = −0.52 и задавая концентрацию 𝑛 так, чтобы критерий Стонера (14) был близок к выполнению, зависимость плотности состояний на уровне Ферми в парамагнитной фазе будет иметь сильную положительную кривизну (см. рис. 1), тогда получим зависимость намагниченности от поля, показанную на рис. 2 для τ = −0.52. Данная зависимость имеет характерный для метамагнитного фазового перехода вид: при определенном значении внешнего магнитного поля намагниченность изменяется скачком, что свидетельствует о фазовом переходе первого рода из неупорядоченной в магнитоупорядоченную [11–24]. Поведение зависимостей схоже с теми, что представлены в работе [2] для схематической плотности состояний, где существование метамагнетизма также связано с особым поведением плотности состояний вблизи энергии Ферми. При концентрациях, соответствующих ферромагнитной фазе в основном состоянии, имеет место заметный парапроцесс, т. е. зависимость намагниченности от приложенного поля.

 

Рис. 2. Зависимости намагниченности от магнитного поля при различных значениях концентрации при 𝑈 =1.50 𝑡, 𝑇 = = 2⋅10⁻⁴𝑡 для τ = −0.52. Пунктиром обозначена кривая соответствующая значению 𝑛, при котором выполняется критерий Стонера (14). Для оценки величины магнитного поля ширина зоны 𝑊 =18𝑡 выбиралась равной 5 эВ.

 

При изменении величины концентрации электронов 𝑛 вид зависимости 𝑚(ℎ) существенно меняется. Чтобы описать это изменение, можно ввести такие характеристики, как критическое поле ℎ_c(𝑛) – поле, при котором происходит скачок намагниченности, и величину самого скачка Δ𝑚(𝑛) при ℎ = ℎ_c. Благодаря этим характеристикам можно более подробно определить поведение кривой m(h) в зависимости от параметров (𝑈, 𝑛, 𝑇), что, в свою очередь, поможет понять механизм возникновения зонного метамагнетизма. На рис. 3 представлена фазовая диаграмма в переменных ℎ − 𝑛, которая показывает, при каком значении поля происходит скачок намагниченности в зависимости от 𝑛. Сплошная линия на диаграмме разделяет парафазу и ферромагнитную фазу. С увеличением концентрации 𝑛 значение критического поля ℎ_c увеличивается, тогда как Δ𝑚 уменьшается. Такое поведение является естественным следствием наличия двух локальных минимумов 𝑚 = 0 и 𝑚 = 𝑚₁ свободной энергии 𝐹(𝑛, 𝑚) в нулевом магнитном поле. Из условия существования локального минимума при 𝑚 = 0 следует, что критерий Стонера не выполнен в метамагнитной области: $U\rho \left(E_{\mathrm{F}}\right)<1$. Линия перехода первого рода соответствует равенству F (n, h = 0 | m₁) = F (n, h = 0 | 0) (см. рис. 1). Увеличение 𝑛 приводит к соотношению F (n, h = 0 | m₁) − F (n, h = 0 | 0) > 0, причем данная разность растет с увеличением 𝑛. Таким образом, чем больше концентрация электронов, тем большее поле нужно включить, чтобы удовлетворить равенству F (n, h_c | m₁) − F (n, h_c | 0).

 

Рис. 3. Фазовая диаграмма в переменных ℎ_с − 𝑛 и Δ𝑚 − 𝑛 𝑈 = = 1.50𝑡, 𝑇 = 2⋅10⁻⁴𝑡, сплошная линия разделяет две фазы, снизу — парамагнитная, сверху — ферромагнитная.

 

Важно также проанализировать как на метамагнитный переход влияет параметр кулоновского взаимодействия 𝑈. Для этого была построена фазовая диаграмма в переменных 𝑈 − 𝑛 (рис. 4).

 

Рис. 4. Фазовая диаграмма в переменных U − 𝑛 при 𝑇 = = 2⋅10⁻⁴𝑡 для τ = −0.52. Красные линии ограничивают область зонного метамагнетизма, черная пунктирная линия указывает критерий Стонера (14), где 𝐸_F берется для парамагнитной фазы для данного 𝑛.

 

На ней область, ограниченная красными кривыми, соответствует области зонного метамагнетизма; пунктиром обозначена кривая, отвечающая параметрам 𝑈 и 𝑛, для которых выполняется критерий Стонера. Сверху от области метамагнетизма лежит область ферромагнетизма (ФМ), ниже — парамагнетизма (ПМ). Метамагнетизм наблюдается для параметров 𝑈 и 𝑛, при которых критерий Стонера близок к выполнению, но не выполнен. Концентрационный интервал, в котором наблюдается метамагнитный переход, существенно зависит от 𝑈: на рис. 4 представлен интервал , для которого концентрационный интервал оказывается достаточно широким, с увеличением параметра 𝑈 область существования метамагнетизма постепенно сужается.

Заключение

Нами был исследован метамагнитный фазовый переход в металлах с ГЦК решеткой в рамках модели Хаббарда, имеющих, при определенном выборе параметров спектра, особенность плотности состояний в виде узкого плато ван Хова. В заключение можно сделать вывод, что ключевую роль в формировании зонного метамагнетизма играет кривизна функции плотности состояний и ее значение на уровне Ферми, зависящее от концентрации электронов. Полученные полевые зависимости демонстрируют характерное для зонного метамагнетика поведение. Зависимости характеристик метамагнетизма ℎ_c(𝑛) и Δ𝑚(𝑛) показывают, как возникает и как исчезает метамагнитный фазовый переход. Фазовая диаграмма 𝑈−𝑛 позволяет оценить область метамагнетизма в параметрах (𝑈, 𝑛). В будущем было бы полезно изучить влияния температуры и параметра τ на характер перехода. Полученные результаты представляют интерес для дальнейших теоретических и экспериментальных исследований данного явления.

Исследования выполнены в рамках темы государственного задания «Квант», № 122021000038-7. В расчетах был использован суперкомпьютер «Уран» ИММ УрО РАН.

Об авторах

Ф. А. Василевский

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт физики металлов имени М.Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук»; Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Автор, ответственный за переписку.
Email: fedorvasilevski@gmail.com
Россия, Екатеринбург; Екатеринбург

П. А. Игошев

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт физики металлов имени М.Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук»

Email: fedorvasilevski@gmail.com
Россия, Екатеринбург

В. Ю. Ирхин

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт физики металлов имени М.Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук»

Email: fedorvasilevski@gmail.com
Россия, Екатеринбург

Список литературы

Дополнительные файлы