Три-эйри пучки и плоскость их автофокусировки

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Световые поля, построенные на основе интегралов дифракционных катастроф (ИДК), стали в последние годы предметом интенсивных исследований в оптике. При этом в качестве базисных рассматриваются как хорошо известные функции — функции Эйри, Пирси, ласточкин хвост [1], так и новые, для которых изучающие их авторы вводят собственные обозначения. Начиная с 2007 года, когда были получены пучки Эйри, обладающие конечной энергией [2], наблюдается устойчивый интерес к изучению свойств ИДК-пучков (и теоретических, и экспериментальных, и прикладных), что можно заметить по росту объема публикаций, связанных с такими пучками. Упомянем только несколько работ обзорного плана [3—5], содержащих большие списки цитируемой литературы.

Как правило, свойства ИДК-пучков, привлекающие внимание исследователей, связаны с негауссовой природой этих пучков (автофокусировка, самовосстановление и т. д.). Если для стандартного гауссова пучка порядок роста равен 2 (см. определение и примеры в [6]) и остается неизменным при распространении в зоне Френеля от исходной плоскости до плоскости Фурье, то для ИДК-пучков это уже не так. Функция Эйри, например, имеет порядок роста, равный 3/2, а ее Фурье-образ — порядок роста, равный 3.

Сильно осциллирующий характер ИДК-пучков и изменяющийся порядок роста, отличный от гауссова, порождает не только трудности, связанные с теоретическим исследованием их распространения в зоне Френеля, но и является источником новых возможностей. Так резкая локализация поля в эксперименте может быть полезной для создания условий возникновения нелинейных эффектов, таких как вынужденное комбинационное рассеяние, многофотонное поглощение, филаментация [3, 7, 8]. Также такие свойства оказались полезными в микроскопии [3, 9—13], для расширения возможностей оптических пинцетов [3, 14—19], для обработки материалов [20, 21]. Интенсивно исследуется распространение структурированных импульсов [22, 23] и распространение структурированных полей в нелинейных средах [24].

Для параксиальных световых полей свойство автофокусировки (т. е. когда световой пучок, распространяющийся в зоне Френеля и имеющий широкий профиль интенсивности перед фокальной плоскостью, внезапно резко изменяется и принимает вид одиночного сильно локализованного пика большой амплитуды) наиболее известно на примере круговых пучков Эйри [3, 25, 26]. А именно, для полей вида $e^{\alpha (r_0-r)}Ai(r_0-r)$ были найдены местоположение плоскости фокусировки и размеры локального пика интенсивности.

Три-Эйри пучки — еще один пример световых полей, демонстрирующий свойство автофокусировки при распространении. Эти пучки, зависящие от некоторого вещественного параметра (параметр смещения), были получены в [27] и исследованы в [28—31]. Первоначально свойство автофокусировки было выявлено в численных и оптических экспериментах, поскольку найти преобразование Френеля три-Эйри пучка в обозримом виде, пригодном для теоретического исследования, до сих пор не удалось. В данной работе мы рассматриваем задачу определения местоположения плоскости автофокусировки (АФ-плоскости) в зависимости от параметра смещения как вопрос нахождения каустики соответствующего быстроосциллирующего интеграла. Такая постановка задачи не требует явного вычисления преобразования Френеля, но полученная формула имеет асимптотический характер и насколько точно она соответствует реальной АФ-плоскости, зарегистрированной экспериментально, приходится проверять численно.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Функция Эйри — это вещественная функция, определяемая как Фурье-образ чисто фазовой экспоненты с показателем кубического вида:

$Ai\left(x\right)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\cos \left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt=\frac{1}{2\pi }\underset{ℝ}{\int }\exp \left(\frac{i{t}^3}{3}+ixt\right)dt$. (1)

Она стремится к нулю при x → ± ∞, однако характер этого убывания различен для положительных и отрицательных значений. Если x → + ∞, то убывание происходит по экспоненте,

$Ai\left(x\right)~\frac{1}{2\sqrt{\pi }\sqrt[4]{x}}\exp \left(-\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)$.

Если же x → – ∞, то убывание происходит медленно и сопровождается все более учащающимися осцилляциями,

$Ai\left(x\right)~\frac{1}{\sqrt{\pi }\sqrt[4]{\left|x\right|}}\sin \left(\frac{2}{3}{\left|x\right|}^{3/2}+\frac{\pi }{4}\right)$.

В частности, все нули функции Эйри расположены на отрицательной полуоси.

Три-Эйри пучок — это двумерное световое поле с конечной энергией, зависящее от вещественного параметра a (параметр смещения), которое в исходной плоскости имеет вид

$A{i}_3(x,y,a)=Ai\left(\frac{x\sqrt{3}-y}{2}+a\right)Ai\left(\frac{-x\sqrt{3}-y}{2}+a\right)Ai(y+a)$. (2)

Здесь и далее мы используем безразмерные переменные. Для задач параксиальной оптики переход от размерных переменных к безразмерным и обратно осуществляется с помощью формул перехода $(x,y,z)\leftrightarrow \left(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{2z}{k{w}^2}\right)$, где w — характерный размер поля и k — волновое число.

В своих теоретических и экспериментальных исследованиях мы обычно выбираем параметр смещения а на основе нулей функции Ai(x) или ее производной. Традиционно эти нули обозначаются как a_n и $a_n^{\text{'}}$, соответственно. Для них известны асимптотические формулы

$a_n\approx -{\left(\frac{3\pi }{8}\left(4n-1\right)\right)}^{2/3}, a_n^{\text{'}}\approx -{\left(\frac{3\pi }{8}\left(4n-3\right)\right)}^{2/3}$,

которые дают очень хорошее приближение даже при малых n.

Известно [27], что Фурье-образ поля (2) имеет вид

$\mathcal{F}\left[A{i}_3\left(\overrightarrow{\rho },a\right)\right]\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{3^{5/6}\pi }\exp \left(-\frac{2i}{27}(3x^{2}y-y^3)\right)\times Ai\left(3^{2/3}a+\frac{2{\left|\overrightarrow{r}\right|}^2}{3^{4/3}}\right)$, (3)

где $\overrightarrow{r}=(x,y)$, $\overrightarrow{\rho }=(\xi ,\eta )$ — векторы и

$\mathcal{F}\left[f\left(\overrightarrow{\rho }\right)\right]\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{{ℝ}^2}{\iint }{e}^{-i〈\overrightarrow{r},\overrightarrow{\rho }〉}f\left(\overrightarrow{\rho }\right)d^2\overrightarrow{\rho }$ (4)

– двумерное преобразование Фурье.

Известно также [32], что преобразование Френеля любого светового поля с конечной энергией, заданного своей комплексной амплитудой в исходной плоскости,

$F(\overrightarrow{r},z)=F{R}_z\left[f\left(\overrightarrow{\rho }\right)\right]\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{\pi iz}\underset{{ℝ}^2}{\iint }\exp \left(\frac{i}{z}{\left|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\rho }\right|}^2\right)f\left(\overrightarrow{\rho }\right)d^2\overrightarrow{\rho }$, (5)

можно представить как интегральное преобразование его Фурье-образа:

$F(\overrightarrow{r},z)=\frac{1}{2\pi }\underset{{ℝ}^2}{\iint }\exp \left(i〈\overrightarrow{r},\overrightarrow{\rho }〉-\frac{iz}{4}{\left|\overrightarrow{\rho }\right|}^2\right)\times F\left[f\right]\left(\overrightarrow{\rho }\right)d^2\overrightarrow{\rho }$. (6)

Подставим вместо $\mathcal{F}\left[f\right]\left(\overrightarrow{\rho }\right)$ Фурье-образ три-Эйри пучка:

$$\begin{gathered} F{R}_z\left[A{i}_3(\overrightarrow{\rho },a)\right]\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{3^{5/6}2{\pi }^2}\times \\ \times \underset{{ℝ}^2}{\iint }\exp \left(i〈\overrightarrow{r},\overrightarrow{\rho }〉-\frac{iz}{4}{\left|\overrightarrow{\rho }\right|}^2-\frac{2i}{27}(3{\xi }^2\eta -{\eta }^3)\right)\times \\ \times Ai\left(3^{2/3}a+\frac{2}{3^{4/3}}{\left|\overrightarrow{\rho }\right|}^2\right)d^2\overrightarrow{\rho }. \end{gathered}$$ (7)

Если заменить функцию Эйри ее интегральным представлением (1), то получится преобразование Френеля три-Эйри пучка в виде тройного интеграла от чисто фазовой экспоненты,

$F{R}_z\left[A{i}_3(\overrightarrow{\rho },a)\right]\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{3^{5/6}4{\pi }^3}\underset{{ℝ}^3}{\iiint }\exp \left(iP(\xi ,\eta ,t)\right)d\xi d\eta dt$, (8)

с показателем полиномиального вида

$P(\xi ,\eta ,t)=(x\xi +y\eta )-\frac{z}{4}({\xi }^2+{\eta }^2)-\frac{2i}{27}(3{\xi }^2\eta -{\eta }^3)+\frac{1}{3}{t}^3+3^{2/3}t\left(a+\frac{2}{9}({\xi }^2+{\eta }^2)\right)$. (9)

Приравнивая к нулю градиент $({\partial }_{\xi },{\partial }_{\eta },{\partial }_t)$ этой функции

$$\begin{gathered} \xi \eta +(Z-t)\xi =X, \\ (1/2)({\xi }^2-{\eta }^2)+(Z-t)\eta =Y, \\ ({\xi }^2+{\eta }^2)+(1/2)t^2=2A, \end{gathered}$$ (10)

и ее гессиан (определитель матрицы вторых производных)

$(t^3-6{\xi }^2\eta +2{\eta }^3)+2Z({\xi }^2+{\eta }^2-t^2)+t(Z^2-3{\xi }^2-3{\eta }^2)=0$, (11)

мы получаем уравнения для нахождения каустики. Здесь для сокращения записи была сделана замена масштаба и переход к новым переменным: (x, y, z, a) = (4 / 9)(X, Y, 2Z, −A).

Как видно из последнего уравнения системы (10), только при A > 0 возможно существование вещественного набора решений (ξ, η, t).Численные построения показывают, что АФ-плоскость отсутствует не только при отрицательных, но и при малых положительных значениях A. Лишь, начиная с A ≈ 0.5, становится заметной тенденция распределения интенсивности принять пикообразную форму в какой-то плоскости при распространении поля, причем доминирование этого пика по амплитуде над остальными точками нарастает по мере роста A.

Чтобы решить уравнения (10)—(11), сделаем переход к сферическим координатам:

$$\begin{gathered} \xi =\sqrt{2A}\cos \phi \cos \theta , \\ \eta =\sqrt{2A}\sin \phi \cos \theta , \\ t=2\sqrt{A}\sin \theta , \end{gathered}$$ (12)

где φ ∈ [0, 2π) и θ ∈ [−π / 2, π / 2]. Тогда последнее уравнение системы (10) выполняется автоматически, первые два задают параметрическое представление каустической поверхности, X = X(φ, θ, Z, A), Y = Y(φ, θ, Z, A), а уравнение (11) позволяет получить явную зависимость φ = φ(θ, Z, A). Более того, в переменных $(\tilde{X},\tilde{Y},\tilde{Z})=\left(\frac{X}{A},\frac{Y}{A},\frac{Z}{\sqrt{A}}\right)$ зависимость от A становится неявной (тем самым, применение метода стационарной фазы при 4π³ становится оправданным):

$$\begin{gathered} \tilde{X}={\cos }^2\theta \sin 2\phi +\sqrt{2}(\tilde{Z}-2\sin \theta )\cos \theta \cos \phi , \\ \tilde{Y}={\cos }^2\theta \cos 2\phi +\sqrt{2}(\tilde{Z}-2\sin \theta )\cos \theta \sin \phi , \\ 2\sqrt{2}{\cos }^3\theta \sin 3\phi ={\left(\tilde{Z}-2\sin \theta \right)}^2\sin \theta +2(\tilde{Z}-3\sin \theta ){\cos }^2\theta . \end{gathered}$$ (13)

Случай cosθ = 0 наиболее интересен. Если θ = −π / 2, то решений нет из-за ограничения z ≥ 0. Если θ = π / 2, то мы получаем решение $(\tilde{X},\tilde{Y},\tilde{Z})=\left(\mathrm{0,0,2}\right)$ — это каустическая точка, которая находится на оптической оси. Именно она определяет местоположение АФ-плоскости:

$z_s=(8/3)\sqrt{-a}$. (14)

Как видно из этой формулы, если параметр смещения, оставаясь отрицательным, увеличивается по абсолютной величине, то плоскость автофокусировки удаляется от начальной плоскости.

Если cosθ ≠ 0, то из последнего уравнения системы (13) при фиксированном значении $\tilde{Z}$ мы находим зависимость φ = φ(θ), θ ∈ [−π / 2, π / 2], которую подставляем в первые два.

Рассмотрим пример. Пусть $\tilde{Z}=2$, т. е. выбрана АФ-плоскость. Найдем форму каустической кривой в плоскости переменных $(\tilde{X},\tilde{Y})$. Для этого перепишем последнее уравнение системы (13) в виде

$\sin 3\phi =\frac{{(2-2\sin \theta )}^2\sin \theta +2(2-3\sin \theta ){\cos }^2\theta }{2\sqrt{2}{\cos }^3\theta }$. (15)

График функции от θ, находящейся в правой части этого уравнения, показан на рис. 1. Как видно из рисунка, только на двух интервалах, [−0.651; −0.418] и [0.339; 1.123], существует решение. Обозначим его как ${\phi }_0=(1/3)\arcsin \left\{\tau \left(\theta \right)\right\}$. Тогда общее решение — это объединение трех значений $\left\{{\phi }_0,{\phi }_0+2\pi /3,{\phi }_0+4\pi /3\right\}$ и трех значений $\left\{\pi /3-{\phi }_0,\pi -{\phi }_0,5\pi /3-{\phi }_0\right\}$. Если использовать эти шесть зависимостей φ(θ) при построении параметрической кривой, задаваемой первыми двумя уравнениями системы (13), то получится каустика, состоящая из двух частей: внутри — «трехлопастная» кривая с острыми вершинами, снаружи — гипоциклоида треугольного вида (см. рис. 1 справа). Отметим хорошее совпадение формы каустики, построенной на основе теории, с той, что будет получена далее в оптических экспериментах (рис. 4).

 

Рис. 1. Слева: интервалы по θ, для которых существует решение φ(θ) уравнения (15), справа: каустика $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{X}}\mathbf{=}\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{X}}\mathit{(}\mathit{\phi }\mathit{,}\mathit{\theta }\mathit{)}$, $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{Y}}\mathbf{=}\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{Y}}\mathbf{(}\mathit{\phi }\mathbf{,}\mathit{\theta }\mathbf{)}$, которая получается из формул (13) при $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{Z}}\mathbf{=}\mathbf{2}$. Увеличенный фрагмент центральной части показывает наличие каустической точки, которая присутствует только в плоскости автофокусировки

 

Для проверки формулы (14) были выполнены численные эксперименты. Поскольку вершина пика интенсивности в АФ-плоскости всегда находится на оптической оси (т. е. при x = y = 0), то достаточно было выбрать значение параметра смещения a и построить график зависимости интенсивности поля FR_z[Ai3(ξ, η, a)](0,0) от переменной z, начиная с z = 0 и заканчивая некоторой величиной, превышающей значение z_s. Один из полученных результатов показан на рис. 2. Как видно, для параметра смещения a = −28.9 значение z_s, полученное численно, оказывается достаточно близким к величине, полученной из асимптотических соображений.

 

Рис. 2. График зависимости интенсивности пучка Ai₃(x, y, a) на оси z (т. е. при x = y = 0) при распространении в зоне Френеля для случая, когда параметр смещения равен $\mathit{a}\mathbf{=}{\mathbf{3}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{/}\mathbf{3}}{\mathit{a}}_{\mathbf{100}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{28}\mathbf{.}\mathbf{966}$. Асимптотическая формула (14) дает значение z_s = 14.35, из численного эксперимента получается z_s = 15.012

 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Для экспериментальной проверки выполнения установленной закономерности местоположения плоскости автофокусировки три-Эйри пучков была создана экспериментальная установка. Схема экспериментальной установки приведена на рис. 3. В качестве источника когерентного излучения выступает твердотельный лазер с диодной накачкой на длине волны λ = 532 нм и максимальной мощностью P_max = 50 мВт. Пучок лазера коллимируется при помощи микрообъектива и линзы и попадает на фазовый жидкокристаллический пространственный модулятор света (ЖК ПМС) HoloEye HEO 1080P (разрешение 1920 × 1080 пк., размер пикселя 8 мкм, режим работы: отражение, глубина модуляции фазы: 2π). Далее происходит дифракция на структуре, сформированной на ЖК ПМС, и происходит регистрация сформированных три-Эйри пучков на различных расстояниях от плоскости фокусировки вписанной линзы (Фурье плоскости).

 

Рис. 3. Схема экспериментальной установки

 

В качестве метода для формирования три-Эйри пучков был выбран голографический, хорошо зарекомендовавший себя для физической реализации структурированных световых полей. Нами был использован подход, ранее успешно примененный для формирования спиральных пучков света [33]. Голограмма, формируемая с помощью ЖК ПМС, представляет собой результат интерференции опорной плоской волны и объектной (восстанавливаемой) волны. В нашем случае объектная волна является три-Эйри пучком. Выражение, описывающее голограмму:

$Holo=A_r{A}_{tAi}\frac{\pi }{2}\cos \left({\phi }_r-{\phi }_{tAi}\right)$, (16)

где A — амплитуда световой волны, φ — фаза, индексы r и tAi соответствуют опорной плоской волне и три-Эйри пучку соответственно.

Полученные в ходе проведенных экспериментов распределения интенсивности три-Эйри пучков с различным значением параметра смещения а представлены на рис. 4. Наблюдаются характерные изменения в структуре распределения интенсивности три-Эйри пучков при распространении. Можно выделить две большие области, разделенные АФ-плоскостью, отличающиеся типом структуры распределения интенсивности формируемого поля. Между начальной плоскостью (плоскостью ЖК ПМС в эксперименте) и АФ-плоскостью интенсивность имеет вид набора пятен, собранных в область треугольной формы. Между плоскостями автофокусировки и Фурье распределение интенсивности имеет вид концентрических фигур: ближе к АФ-плоскости треугольных, в плоскости Фурье (фокальной) — набор колец, очень похожий внешне на моду Лагерра‒Гаусса, но с супергауссовым убыванием по интенсивности. Наиболее ярко описанные изменения наблюдаются в структуре интенсивности три-Эйри полей с большим абсолютным значением параметра смещения а (a₃ × 3^–2/3, $a_3^{\text{'}}$ × 3^–2/3, a₅ × 3^–2/3 и $a_5^{\text{'}}$ × 3^–2/3; см. 3–6 строки на рис. 4). При  плоскости автофокусировки нет (верхний ряд на рис. 4). С ростом |a| и появлением АФ-плоскости ее положение начинает смещаться в сторону Фурье-плоскости. Для a = a₁ × 3^–2/3 = –1.124 наблюдается довольно протяженная область локализации поля на оси, с наиболее ярким пятном в плоскости 0.8 F. Для a = a₃ × 3^–2/3 = –2.654 АФ-плоскость находится на расстоянии 0.85F, для a = a₅ × 3^–2/3 = –3.819 — на расстоянии 0.88F. Отмеченная закономерность согласуется с предсказанием теории (14). Плоскость автофокусировки с увеличением |а| стремится приблизиться к Фурье плоскости (плоскости 1F на рис. 4).

 

Рис. 4. Экспериментально полученные распределения интенсивности три-Эйри пучков с различными значениями параметра смещения на различных расстояниях, выраженных в единицах фокусного расстояния F = 500 мм. Размер стороны кадра равен 1 мм для ${\mathit{a}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{\text{'}}}$ × 3^–2/3 = –0.489 и a₁ × 3^–2/3 = –1.124, и равен 2 мм для ${\mathit{a}}_{\mathbf{3}}^{\mathbf{\text{'}}}$ × 3^–2/3 = –2.317, a₃ × 3^–2/3 = –2.654, ${\mathit{a}}_{\mathbf{5}}^{\mathbf{\text{'}}}$ × 3^–2/3 = –3.545 и a₅ × 3^–2/3 = –3.819

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теоретически изучено наличие и местоположение плоскости автофокусировки (АФ-плоскости) три-Эйри пучка в зависимости от параметра смещения a.

Показано, что при всех положительных и малых отрицательных значениях этого параметра три-Эйри пучок не имеет АФ-плоскости. Начиная со значения a ≈ −0.5 в распределении интенсивности три-Эйри пучка при распространении в зоне Френеля появляется плоскость, в которой энергия поля все более локализуется, а интенсивность принимает колоколообразный вид. Более сильное проявление локализации поля происходит при дальнейшем смещении параметра а в область отрицательных значений. Плоскость автофокусировки разбивает зону Френеля на две области: от исходной плоскости до АФ-плоскости интенсивность три-Эйри пучка трансформируется из треугольной формы в колоколообразную, а от АФ-плоскости до плоскости Фурье становится все более круговой (радиально симметричной), приобретая в итоге вид набора концентрических колец. Характерные изменения в структуре интенсивности поля наблюдаются в экспериментальных данных.

Получена зависимость между положением АФ-плоскости три-Эйри пучка и его параметром смещения через нахождение каустики — формула (14). Результаты компьютерных экспериментов по нахождению АФ-плоскости показали хорошее согласие с полученной формулой для больших значений абсолютной величины параметра смещения а. Подход, использованный при нахождения АФ-плоскости, можно перенести на более сложные световые поля (например, связанные с функцией Пирси). Эти результаты служат развитию теории интегралов дифракционных катастроф и дают более точное понимание о структуре и эволюции световых полей, построенных на их основе. Наблюдаемое в эксперименте положение плоскости автофокусировки три-Эйри пучка с увеличением абсолютного значения параметра смещения сдвигается в сторону Фурье плоскости, что также демонстрирует согласие с аналитически найденной зависимостью (14).

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-22-00314 «Интегралы дифракционных катастроф для задач современной фотоники»; https://rscf.ru/project/23-22-00314/).

Об авторах

Д. В. Прокопова

Физический институт имени П.Н. Лебедева Самарского филиала Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: prokopovadv@lebedev.ru
Россия, Самара

Е. Г. Абрамочкин

Физический институт имени П.Н. Лебедева Самарского филиала Российской академии наук

Email: prokopovadv@lebedev.ru
Россия, Самара

Список литературы

Дополнительные файлы