Influence of Pore Shape and Initial Stress State on the Electroelastic Properties of Porous Piezoceramics PZT-4

1. Введение. Нелинейные эффекты деформирования композитов обуславливаются, в общем, различными факторами, один из которых наличие в материале начального напряженного состояния [1–3]. Изучение закономерностей и эффектов влияния начального напряженного состояния элементов структуры материала на особенности его последующего нагружения одна из задач механики композитов [1–9]. Решение этой задачи актуально для различных практических приложений, в частности, ультразвукового неразрушающего контроля напряженного состояния нагруженных конструкций [10], методов геомеханики и сейсмических исследований [11]. Линеаризованный подход [3, 6, 7, 12, 13] теории упругости использован ранее для математического моделирования распространения упругих волн в структурно неоднородных упругих средах с начальным напряженным состоянием [14–16]. Этот подход использован также для нахождения асимптотических решений эффективных свойств упругих композитов с идеально периодическими начально-напряженными структурами [17–20], например, когда начальное напряженное состояние слоистой или однонаправлено-волокнистой структур обусловлено их тепловым нагревом [17]. Изучение эффектов влияния начального напряженного состояния на свойства и поведение материала актуально также для пьезоэлектрических и/или пьезомагнитных (магнитострикционных) композитов, которые интегрируются в современные “интеллектуальные” конструкции в качестве информационных элементов, датчиков и/или актюаторов систем управления акустическими и/или аэродинамическими характеристиками поверхностей, геометрической формой, напряженным состоянием, демпфированием вибраций конструкции [21].

Математическое моделирование поведения пьезоактивных композитов на микро-, макроуровнях и прогнозирование их эффективных свойств основывается на постановке и решении связанных краевых задач электромагнитотермоупругости для микронеоднородной представительной области с использованием методов механики композитов, в частности, асимптотических методов [17–20, 22] и методов на основе двоякопериодических комплексных функций [23, 24] для идеально периодических структур и методов статистической механики композитов для нерегулярных структур [24–26]. Современные методы функций комплексных переменных [24] эффективно используются для решения двумерных задач тплопроводности и теории упругости композитов, в том числе, со “случайной” периодической структурой [24] с ячейкой периодичности в виде статистической реализации некоторой “представительной области” с большим числом случайно расположенных круглых включений; при этом решение “задачи эффективного модуля” осуществляется в реализациях, т. е. посредством вычисления и статистической обработки (усреднения) представительной выборки численных решений краевых задач для различных реализаций случайной структуры ячейки. Методы статистической механики композитов [25–32], в отличие от аналитических и численных методов решения стохастических краевых задач в реализациях, ориентированы на установление непосредственных функциональных зависимостей искомых статистических характеристик, например, математических ожиданий и дисперсий деформационных полей в элементах структуры (для оценки прочности на микро- и макроуровнях) и макроскопических (усредненных) характеристик эффективных физико-механических модулей композитов от заданных статистических характеристик случайной структуры, например, в виде многоточечных моментных функций структуры [25, 26] или вероятностных законов разупорядочивания (случайного расположения и/или размера) включений в ячейках квазипериодических структур [30] в представительной области композита со свойствами статистической однородности и эргодичности [25]. Многие статистические методы механики композитов [25–32] основаны на использовании функций Грина некоторой однородной “среды сравнения” для сведения поставленной стохастической краевой задачи к соответствующему интегро-дифференциальному уравнению относительно поля пульсаций искомой величины (например, перемещений, температуры, электрического потенциала) в представительной области композита относительно ее макроскопического значения. Далее, решение интегро-дифференциального уравнения осуществляется методом последовательных приближений [25, 26], по которому, например, искомый тензор эффективных упругих свойств композита представляется в виде суммы осредненного по “правилу смеси” значения и поправки бесконечного ряда кратных интегралов от многоточечных статистических моментов (корреляционных функций) рассматриваемой случайной структуры композита. Вычисление этой поправки с учетом реального вида многоточечных статистических моментов структуры представляет собой сложную задачу, известно лишь о расчете поправки – сумме двух членов ряда, учитывающих лишь двухточечные и трехточечные корреляционные функции для двумерной случайной структуры с круговыми включениями. Сходимость этих рядов исследована, как правило, численно или аналитически лишь для частных (предельных) случаев, например, для случая “предельной локальности” [26] многоточечных моментных функций или в сингулярном приближении [27], когда у второй производной функции Грина учитывается лишь сингулярная составляющая (пропорциональная дельта-функции Дирака) и, как следствие, нахождение искомого тензора эффективных упругих свойств композита, в частности, эффективного объемного модуля и модуля сдвига макроизотропного композита (сферопластика) сводится к суммированию соответствующих алгебраических рядов геометрических прогрессий, сходимость которых оценивается аналитически. В сингулярном приближении результаты, полученные для эффективных модулей композита посредством суммирования членов ряда, совпадают с соответствующими решениями, полученными по подходу [27] без разложения в ряд и последующего суммирования, т. е. когда делается непосредственный переход от интегро-дифференциального уравнения к соответствующей системе алгебраических уравнений, в частности, двух алгебраических уравнений для макроизотропного композита. В рамках обобщенного сингулярного приближения получены решения [30, 31] связанных стохастических краевых задач электромагнитотермоупругости для случайных, в том числе, квазипериодических пьезоактивных структур композитов при отсутствии в них начального напряженного состояния. Линеаризованный подход теории упругости для тела с начальным напряженным состоянием обобщен на электромагнитоупругий материал в [32–34], в том числе для решения динамических задач [34].

В представленной работе рассматривается постановка связанной краевой задачи электроупругости с учетом начального комбинированного деформационного и электрического напряженного состояния и ее решение в обобщенном сингулярном приближении [27] на основе перехода от системы интегро-дифференциальных уравнений электроупругости к соответствующей системе алгебраических уравнений для нахождения эффективных упругих модулей, диэлектрических проницаемостей и пьезоэлектрических констант пористой пьезокерамики с эллипсоидальными порами. Считаем, что осесимметричное начальное напряженное состояние не изменяет класс трансверсальной изотропии пористой керамики.

Цель – новое численно-аналитическое решение задачи “эффективного модуля” для трансверсально-изотропной начально-напряженной пористой поляризованной керамики с эллипсоидальными порами и, на его основе, изучение закономерностей влияния объемной доли, формы и связанности пор и начального осесимметричного электроупругого напряженного состояния на эффективные свойства в рамках обобщенного сингулярного приближения электромагнитоупругости [30–32] статистической механики композитов.

2. Модель пористой керамики. Считаем, что в рассматриваемой представительной области V пористой керамики трансверсально-изотропная микроструктура (рис. 1) образована ориентированными эллипсоидальными, в частности: сферическими, дисковыми или игольчатыми полидисперсными порами со случайным взаимным расположением и заданным соотношением $a_3/a_{1(2)}$ главных полуосей: a₁ = a₂, a₃ вдоль координатных осей r_1,2,3. Варьируемые величины: $k_{\text{form}}\equiv a_3/a_{1(2)}$ – параметр формы и $v_{\circ }$ относительная объемная доля пор при различных типах их связанности. Изолированную (закрытую) пористость, т. е. наличие в пористой керамике не сообщающихся между собой пор моделируем наличием минимальной гарантированной прослойки между порами. Взаимопроникающую (открытую) пористость имеем при равенстве нулю толщины такой прослойки, что обуславливает образование в пористой структуре керамики кластеров из контактирующих и взаимопроникающих пор.

Рис. 1. Фрагменты пористых структур с дисковыми (a), сферическими (b) и игольчатыми (c) эллипсоидальными порами.

3. Математическая постановка и решение задачи. 3.1. Постановка задачи. При электромеханическом нагружении области $V$ пористой керамики напряжениями ${\sigma }_{}^{*0}$, деформациями ε^*0 и/или внешним электрическим полем с напряженностью $E_{}^{*0}$ в керамическом каркасе возникают поля напряжения $\sigma$ и индукции D, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и непрерывности [32–35]

${({\sigma }_{ij}^{}+{\sigma }_{kj}^0{u}_{i,k}^{})}_{,j}=0$, ${(D_j^{}+D_k^0{u}_{j,k}^{})}_{,j}=0$ (3.1)

с учетом “поправок” в виде дополнительных слагаемых ${\sigma }_{kj}^0{u}_{i,k}^{}$, $D_k^0{u}_{j,k}^{}$, обусловленных наличием заданных начальных полей ${\sigma }_{}^{*0}$, $D_{}^0$ и дополнительного искомого поля перемещений $u$. Начальные поля ${\sigma }_{}^{*0}$, $D_{}^0$ удовлетворяют уравнениям равновесия ${\sigma }_{ij,j}^0=0$ и непрерывности $D_{i,i}^0=0$. дПервое уравнение в (3.1) преобразуем к виду

${\sigma }_{ij,j}^{}+{\sigma }_{kj}^0{u}_{i,kj}^{}=0$

с учетом выполнения равенств ${\sigma }_{kj,j}^0=0$ для поля ${\sigma }_{}^{*0}$ начальных напряжений.

В каркасе пористой керамики напряжения $\sigma$ и индукции $D$ (3.1) выражаются по известным определяющим соотношениям [35]

${\sigma }_{ij}^{}=C_{ijmn}^{}{u}_{m,n}^{}-e_{nij}^{}{E}_n^{}$, $D_i^{}=e_{imn}^{}{u}_{m,n}^{}+{\lambda }_{in}^{}{E}_n^{}$ (3.2)

через градиенты перемещений $\nabla u$, напряженность $E$ электрического поля с использованием известных тензоров упругих C, пьезоэлектрических $e$ и диэлектрических $\lambda$ свойств монолитной керамики. Осредненные оператором “объемного осреднения” $<\mathrm{...}>=1/V{\displaystyle {\int }_V\begin{array}{c}\mathrm{...}\end{array}dr}$ “макроскопические” значения деформационного $<\nabla u>$, $<\sigma >$ и электрического <E>, $<D>$ полей связаны между собой с учетом начального напряженного состояния

$<{\sigma }_{ij}^{}>=C_{ijmn}^{*}<u_{m,n}^{}>-e_{(\sigma )nij}^{*}<E_n^{}>,$ $<D_i^{}>=e_{(D)imn}^{*}<u_{m,n}^{}>+{\lambda }_{in}^{*}<E_n^{}>$ (3.3)

посредством искомых тензоров $C_{}^{*}$, $e_{(\sigma )}^{*}$, $e_{(D)}^{*}$, ${\lambda }_{}^{*}$ эффективных электроупругих свойств пористой керамики как гомогенного однородного материала (3.2). Отметим, что для монолитной (3.2) и пористой керамики (3.3) с начальным осесимметричным по оси $r_3$ напряженным состоянием ( ${\epsilon }_{}^{*0}$, $E_{}^{*0}$ ) трансверсально-изотропный тензор пьезоэлектрических свойств $e_{}^{*}$ в матричной форме записи имеет вид [35]

$‖e_{ij}^{*}‖=‖\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& e_{15}^{*}& 0\\ 0& 0& 0& e_{15}^{*}& 0& 0\\ e_{31}^{*}& e_{31}^{*}& e_{33}^{*}& 0& 0& 0\end{array}‖$ (3.4)

с учетом замен: $11\to 1$, $22\to 2$, $33\to 3$, $23$ и $32\to 4$, $13$ и $31\to 5$, $12$ и $21\to 6$ парных тензорных индексов на матричные.

3.2. Эффективные свойства пористой керамики. Искомые тензоры C^*, $e_{(\sigma )}^{*}$, $e_{(D)}^{*}$, ${\lambda }_{}^{*}$ (3.3) эффективных свойств трансверсально-изотропной пористой керамики найдем

$C_{}^{*}=<C>+{\Delta }^c$, $e_{(\sigma )}^{*}=<e>+{\Delta }_{(\sigma )}^e$, $e_{(D)}^{*}=<e>+{\Delta }_{(D)}^e$, ${\lambda }_{}^{*}=<\lambda >+{\Delta }^{\lambda }$ (3.5)

как частный случай полученного ранее решения [32] для двухфазного микронеоднородного композита с начальным напряженным состоянием через поправки

${\Delta }_{ijmn}^c=v_{\circ }(1-v_{\circ })(-C_{ijdb}{\overline{A}}_{dbmn}^{}+e_{pij}{\overline{F}}_{pmn}^{})$

${\Delta }_{(\sigma )nij}^e=v_{\circ }(1-v_{\circ })(-e_{pij}{\overline{H}}_{pn}^{}+C_{ijpq}{\overline{B}}_{pqn}^{})$

${\Delta }_{(D)imn}^e=v_{\circ }(1-v_{\circ })(-e_{ipq}{\overline{A}}_{pqmn}^{}-{\lambda }_{ip}{\overline{F}}_{pmn}^{})$ (3.6)

${\Delta }_{kn}^{\lambda }=-v_{\circ }(1-v_{\circ })({\lambda }_{kp}{\overline{H}}_{pn}^{}+e_{kpq}{\overline{B}}_{pqn}^{})$

к соответствующим осредненным по объему значениям

$<C>=C(1-v_{\circ })$, $<e>=e(1-v_{\circ })$, $<\lambda >=\lambda (1-v_{\circ })$,

где тензоры $\overline{A}$, $\overline{B}$,… (3.6) входят в разложения

${\overline{u}}_{ij}^{}={\overline{A}}_{ijmn}^{}{u}_{mn}^{*}+{\overline{B}}_{ijn}^{}{E}_n^{*}$, ${\overline{E}}_i^{}={\overline{F}}_{imn}^{}{u}_{mn}^{*}+{\overline{H}}_{in}^{}{E}_n^{*}$ (3.7)

с учетом представления пульсаций ( $r\in V$ )

$u_{i,j}^{\text{'}}(r)\equiv u_{i,j}^{}(r)-u_{ij}^{*}={\overline{u}}_{ij}^{}{i}_{\circ }^{\text{'}}(r)$, $E_{}^{\text{'}}(r)\equiv E(r)-E_{}^{*}={\overline{E}}_{}{i}_{\circ }^{\text{'}}(r)$

производных перемещений $u_{i,j}^{\text{'}}(r)$ и электрической напряженности $E_{}^{\text{'}}(r)$ в области $V$, $i_{\circ }^{\text{'}}(r)=i_{\circ }^{}(r)-v_{\circ }^{}$ пульсация индикаторной функции $i_{\circ }^{}(r)$ пор (здесь $i_{\circ }^{}$ =1 в области пор и $i_{\circ }^{}$ =0 – каркасе пористой керамики), $v_{\circ }^{}=<i_{\circ }^{}>$ относительное объемное содержание туннельных пор в области $V$, в общем, $v_{\circ }^{}\in (0;1)$. В выражениях (3.6), (3.7) компоненты тензоров $\overline{A}$, $\overline{F}$ и $\overline{H}$, $\overline{B}$ решения двух независимых систем линейных алгебраических уравнений по методу функций Грина в “обобщенном сингулярном приближении” [32].

3.3. Метод функций Грина. Введем в рассмотрение функции Грина

$G=‖\begin{array}{cc}{U}_{ik}^{}& U_i^{(1)}\\ {\Phi }_k^{}& {\Phi }_{}^{(1)}\end{array}‖$ (3.8)

для однородной анизотропной пьезоэлектрической “среды сравнения” [27, 31], где $G=G(\rho )$, $\rho =r-r_1$. В первом столбце матрицы (3.8) величины $U_{ik}^{}$, ${\Phi }_k^{}$ это перемещения по оси $r_i$ и электрический потенциал в точке $r$ от действия в точке $r_1$ единичной силы вдоль координатной оси $r_k$. Во втором столбце матрицы (3.8) величины $U_i^{(1)}$, ${\Phi }_{}^{(1)}$ это перемещения по оси $r_i$ и электрический потенциал в точке $r$ от действия в точке $r_1$ единичного электрического источника соответственно. Свойства среды сравнения задаем через тензоры упругих свойств $C_{•}^{}$, диэлектрической проницаемости ${\lambda }_{•}^{}$ и пьезоэлектрических модулей $e_{•}^{}$, которые (в различных приближениях) можно приравнять, в частности, к осредненным по объему свойствам $C_{•}^{}=<C>$, ${\lambda }_{•}^{}=<\lambda >$, $e_{•}^{}=<e>$ или к свойствам монолитной керамики $C_{•}^{}=C$, ${\lambda }_{•}^{}=\lambda$, $e_{•}^{}=e$ или к искомым эффективным свойствам композита C . = C^*, ${\lambda }_{•}^{}={\lambda }_{}^{*}$, $e_{•}^{}=e_{}^{*}$ по схеме самосогласования [26, 27, 30].

В результате от постановки краевой задачи (3.1), (3.2) перейдем к системе интегро-дифференциальных уравнений

$\begin{array}{c}{u}_i^{\text{'}}(r)={\displaystyle \underset{V}{\int }{U}_{ij}(r-r_1){\tilde{g}}_j(r_1)d{r}_1}+{\displaystyle \underset{V}{\int }{U}_i^{(1)}(r-r_1){\tilde{q}}^{(1)}(r_1)d{r}_1}\\ {\phi }_{}^{\text{'}}(r)={\displaystyle \underset{V}{\int }{\Phi }_j(r-r_1){\tilde{g}}_j(r_1)d{r}_1}+{\displaystyle \underset{V}{\int }{\Phi }_{}^{(1)}(r-r_1){\tilde{q}}^{(1)}(r_1)d{r}_1}\end{array}$ (3.9)

относительно пульсаций $u_{}^{\text{'}}(r)$, ${\phi }_{}^{\text{'}}(r)$, которые обусловлены действием в однородной среде ( $C_{•}^{}$, ${\lambda }_{•}^{}$, $e_{•}^{}$ ) распределенных объемных сил ${\tilde{g}}_i=g_{ij,j}$ и электрических источников ${\tilde{q}}^{(1)}=q_{i,i}^{(1)}$, где поля

$\begin{array}{c}{g}_{ij}=C_{ijmn}^{\text{'}}{u}_{mn}^{*}-e_{nij}^{\text{'}}{E}_n^{*}+C_{•ijmn}^{\text{'}}{u}_{m,n}^{\text{'}}+e_{•nij}^{\text{'}}{\phi }_{,n}^{\text{'}}+{\sigma }_{kj}^0{u}_{i,k}^{\text{'}}\\ q_j^{(1)}=e_{jmn}^{\text{'}}{u}_{mn}^{*}+{\lambda }_{jn}^{\text{'}}{E}_n^{*}+e_{•jmn}^{\text{'}}{u}_{m,n}^{\text{'}}-{\lambda }_{•jn}^{\text{'}}{\phi }_{,n}^{\text{'}}+D_k^{\text{'}0}{u}_{jk}^{*}+D_k^0{u}_{j,k}^{\text{'}}\end{array}$ (3.10)

с учетом равенств ${({\sigma }_{kj}^0{u}_{ik}^{*})}_{,j}={\sigma }_{kj,j}^0{u}_{ik}^{*}=0$ в силу выполнения уравнений равновесия ${\sigma }_{nj,j}^0=0$ для начальных напряжений ${\sigma }_{}^0(r)$ в области $V$ и независимости макроскопических величин $u_{mn}^{*}$, $E_n^{*}$ от координат $r$. Здесь использованы обозначения пульсаций

${\sigma }_{}^{\text{'}0}(r)={\sigma }_{}^0(r)-{\sigma }_{}^{*0},$ $D_{}^{\text{'}0}(r)=D_{}^0(r)-D_{}^{*0}$ (3.11)

для начального напряженного состояния, отклонений микронеоднородных свойств композита от однородных свойств среды сравнения

$C_{•}^{\text{'}}(r)\equiv C(r)-C_{•}^{}=\tilde{C}+C^{\text{'}}(r)$, ${\lambda }_{•}^{\text{'}}(r)\equiv \lambda (r)-{\lambda }_{•}^{}=\tilde{\lambda }+{\lambda }^{\text{'}}(r)$,

 $e_{•}^{\text{'}}(r)\equiv e(r)-e_{•}^{}=\tilde{e}+e^{\text{'}}(r)$, (3.12)

где тензоры разностей $\tilde{C}=<C>-C_{•}^{}$, $\tilde{\lambda }=<\lambda >-{\lambda }_{•}^{}$, $\tilde{e}=<e>-e_{•}^{}$. С использованием “теоремы о свертках” дифференцирование $\partial /\partial r_{(1)i}$ функций $g(r_1)$, $q^{(1)}(r_1)$ в подинтегральных выражениях интегро-дифференциальных уравнений (3.9) может быть заменено дифференцированием $-\partial /\partial r_{(1)i}$ или $\partial /\partial r_i$ соответствующих ядер – функций Грина U, $\Phi$, … (3.8) [25–27] с учетом их разностного аргумента $r-r_1$ и асимптотических равенств нулю при $\left|r-r_1\right|\to \infty$. В результате получим уравнения

$\begin{array}{c}{u}_i^{\text{'}}(r)={\displaystyle \underset{V}{\int }{U}_{ij,s}(r-r_1)g_{js}(r_1)d{r}_1}+{\displaystyle \underset{V}{\int }{U}_{i,s}^{(1)}(r-r_1)q_s^{(1)}(r_1)d{r}_1}\\ {\phi }_{}^{\text{'}}(r)={\displaystyle \underset{V}{\int }{\Phi }_{j,s}(r-r_1)g_{js}(r_1)d{r}_1}+{\displaystyle \underset{V}{\int }{\Phi }_{,s}^{(1)}(r-r_1)q_s^{(1)}(r_1)d{r}_1}\end{array}$ (3.13)

относительно полей пульсаций перемещений $u_{}^{\text{'}}(r)$, электрического потенциала ${\varphi }_{}^{\text{'}}(r)$ и их производных

$\begin{array}{c}{u}_{i,n}^{\text{'}}(r)={\displaystyle \underset{V}{\int }{U}_{ij,sn}(r-r_1)g_{js}(r_1)d{r}_1}+{\displaystyle \underset{V}{\int }{U}_{i,sn}^{(1)}(r-r_1)q_s^{(1)}(r_1)d{r}_1},\\ {\phi }_{,n}^{\text{'}}(r)={\displaystyle \underset{V}{\int }{\Phi }_{j,sn}(r-r_1)g_{js}(r_1)d{r}_1}+{\displaystyle \underset{V}{\int }{\Phi }_{,sn}^{(1)}(r-r_1)q_s^{(1)}(r_1)d{r}_1}\end{array}$ (3.14)

после дифференцирования $\partial /\partial r_n$ левых и правых частей (3.13) с учетом выражений (3.10).

В обобщенном сингулярном приближении [30–32] в интегро-дифференциальных уравнениях (3.14) у вторых производных функций Грина

$\nabla \nabla G(r-r_1)\approx G_{}^s\delta (r-r_1)$, $G_{}^s=‖\begin{array}{cc}{U}_{imjn}^s& U_{imn}^{s(1)}\\ {\Phi }_{imn}^s& {\Phi }_{mn}^{s(1)}\end{array}‖$ (3.15)

учитывают лишь составляющие, пропорциональные обобщенной дельта-функции δ(r), с использованием однородной пьезоэлектрической “среды сравнения” с эллипсоидальным “зерном неоднородности”. Геометрическая форма и характер связанности пор (включений) в представительной области пористой керамики (композита) учитывается формой эллипсоидального “зерна неоднородности” и выбором свойств, т. е. значениями тензоров $C_{•}$, $e_{•}$, ${\lambda }_{•}$ однородной электроупругой “среды сравнения”. Начальные $C_{}^{*0}$, $e_{}^{*0}$, ${\lambda }_{}^{*0}$ и результирующие $C_{}^{*}$, $e_{}^{*}$, ${\lambda }_{}^{*}$ значения тензоров эффективных свойств пористой керамики для случая изолированных пор получим при приравнивании свойств среды сравнения к свойствам монолитной керамики $C_{•}^{}=C$, ${\lambda }_{•}^{}=\lambda$, $e_{•}^{}=e$, а для случая взаимопроникающих пор – к осредненным по объему значениям $C_{•}^{}=<C>$, ${\lambda }_{•}^{}=<\lambda >$, $e_{•}^{}=<e>$ (для этого случая возможно уточнение по схеме самосогласования, когда C. = C^*, λ. = λ^*, $e_{•}^{}=e_{}^{*}$ ). Начальное напряженное состояние элементов структуры (каркаса пористой структуры) ${\zeta }_0=\{{\sigma }_{}^0,D_{}^0\}$ в представительной области $V$ и, в целом, на макроуровне ${\zeta }_0^{*}=\{{\sigma }_{}^{*0},D_{}^{*0}\}$ пористой пьезокерамики задаются, в общем, через компоненты тензора начальных макродеформаций ${\epsilon }_{}^{*0}$, компоненты вектора начальной макронапряженности $E_{}^{*0}$ области $V$. При этом тензоры ${\sigma }_{}^{*0}$, $D_{}^{*0}$ связаны с заданными значениями тензоров ${\epsilon }_{}^{*0}$, $E_{}^{*0}$ посредством тензоров начальных эффективных свойств $C_{}^{*0}$, $e_{}^{*0}$, ${\lambda }_{}^{*0}$ [30, 31] пористой пьезокерамики. В результате, например, при заданной начальной осевой деформации ${\epsilon }_{33}^{0*}\ne 0$, когда другие компоненты ${\epsilon }_{ij}^{0*}=0$, $E_{}^{*0}=0$ имеем, в общем, ненулевые значения компонент начального напряженного состояния элементов структуры ${\zeta }_0$ и, в целом, композита ${\zeta }_0^{*}$. Значения начального напряженного состояния фаз ${\zeta }_{0f}^{}\equiv <{\zeta }_0^{}{>}_f=\{{\sigma }_f^0,D_f^0\}$, в частности, тензоры ${\sigma }_{\mathrm{1,2}}^0$, $D_{\mathrm{1,2}}^0$ пористой пьезокерамики как двухфазного композита могут быть найдены, например, по известному решению [30, 31], полученному для случая ${\zeta }_0=0$.

4. Результаты численного моделирования. С использованием полученных решений (3.5) – (3.15) осуществлен расчет начальных $e_{311}^{0*}$ (рис. 2) и результирующих “деформационных” $e_{311}^{*}$ (рис. 3–8) значений эффективного пьезоэлектрического модуля трансверсально- изотропной пористой пьезокерамики в зависимости от объемной доли $v_{\circ }$ и связанности, т. е. изолированных (сплошные линии) или взаимопроникающих (пунктирные линии) сферических ( $k_{\text{form}}=1$, рис. 2–4), дисковых ( $k_{\text{form}}=0.2$, рис. 2, рис. 5, рис. 6) или туннельных ( $k_{\text{form}}\to \infty$, рис. 2, 7, 8) пор и начальных осесимметричных деформаций: ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$, ${\epsilon }_{33}^{0*}$ гидростатического ( ${\epsilon }_{11}^{0*}={\epsilon }_{22}^{0*}$ ) в плоскости изотропии и осевого ( ${\epsilon }_{33}^{0*}$ ) вдоль оси симметрии деформирований материала. При этом на рис. 2 представлены графики зависимости отношения $e_{311}^{0*}/e_{311}^{}$ начальных значений эффективного пьезоэлектрического модуля $e_{311}^{0*}$ пористой пьезокерамики к величине модуля $e_{311}^{}$ монолитной керамики PZT-4, а на рис. 3–8 – отношение $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ результирующего $e_{311}^{*}$ и начального $e_{311}^{0*}$ значений эффективного пьезоэлектрического модуля пористой пьезокерамики при различных осесимметричных ее начальных деформациях. При предельном значении пористости $v_{\circ }\to 1$ начальный $e_{311}^{0*}\to 0$ (рис. 2) и результирующий $e_{311}^{*}\to 0$ пьезомодули стремятся к нулю и, как следствие, для относительной величины $e_{311}^{*}$ / $e_{311}^{0*}$ (рис. 3, 5, 7) имеем неопределенность типа “0/0”; численный расчет и построение графиков осуществлено до значения пористости $v_{\circ }=0.99$. Дополнительно, для начальных значений эффективного модуля $e_{311}^{0*}$ пористой пьезокерамики на рис. 9 даны графики непрерывной зависимости величины $e_{311}^{0*}/e_{311}^{}$ от параметра формы $k_{\text{form}}$ пор при их различном объемном содержании $v_{\circ }$. Соответствующие зависимости результирующего эффективного модуля $e_{311}^{*}$ от параметра формы $k_{\text{form}}$, объемной доли $v_{\circ }$ пор и различных начальных деформациях ( ${\epsilon }_{11}^{0*}={\epsilon }_{22}^{0*}$, ${\epsilon }_{33}^{0*}$ ) пористой пьезокерамики даны на рис. 10.

Рис. 2. Начальный эффективный пьезомодуль $e_{311}^{0*}$ пористой керамики PZT-4 ($e_{311}^{}$) в зависимости от объемной доли $v_{\circ }$ сферических (○), дисковых (Δ) или туннельных (□) пор.

Рис. 3. Эффективный пьезомодуль $e_{311}^{*}$ пористой керамики PZT-4 в зависимости от содержания $v_{\circ }$ сферических пор для случая ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$(▬), 0.01 (○), 0.02 (Δ), 0.03 (◊), 0.05 (□) при ${\epsilon }_{33}^{0*}=0$ (a), (▬), 0.01 (○), 0.02 (Δ), 0.03 (◊), 0.05 (□) при ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$ (b), ${\mathbf{E}}_{}^{\mathbf{0}\mathbf{*}}\mathbf{=}\mathbf{0}$.

Рис. 4. Эффективный пьезомодуль $e_{311}^{*}$ пористой керамики PZT-4 с объемной долей $v_{\circ }$= 0.2 (○), 0.4 (Δ), 0.6 (◊), 0.8 (□) сферических пор в зависимости от начальных макродеформаций ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}\ne 0$ при ${\epsilon }_{33}^{0*}=0$ (a), ${\epsilon }_{33}^{0*}\ne 0$ при ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$ (b), $E_{}^{0*}=0$.

Рис. 5. Эффективный пьезомодуль $e_{311}^{*}$ пористой керамики PZT-4 в зависимости от содержания $v_{\circ }$ дисковых пор для случая ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$ (▬), 0.01 (○), 0.02 (Δ), 0.03 (◊), 0.05 (□) при ${\epsilon }_{33}^{0*}=0$ (a), ${\epsilon }_{33}^{0*}=0$(▬), 0.01 (○), 0.02 (Δ), 0.03 (◊), 0.05 (□) при ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$ (b), $E_{}^{0*}=0$.

Рис. 6. Эффективный пьезомодуль $e_{311}^{*}$ пористой керамики PZT-4 с объемной долей $v_{\circ }$= 0.2 (○), 0.4 (Δ), 0.6 (◊), 0.8 (□) дисковых пор в зависимости от начальных макродеформаций ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}\ne 0$ при ${\epsilon }_{33}^{0*}=0$ (a), ${\epsilon }_{33}^{0*}\ne 0$ при ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$ (b), $E_{}^{0*}=0$.

Рис. 7. Эффективный пьезомодуль $e_{311}^{*}$ пористой керамики PZT-4 в зависимости от содержания $v_{\circ }$ туннельных пор для случая ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$ (▬), 0.01 (○), 0.03 (◊), 0.05 (□) при ${\epsilon }_{33}^{0*}=0$ (a), ${\epsilon }_{33}^{0*}=0$ (▬), 0.01 (○), 0.03 (◊), 0.05 (□) при ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$ (b), ${\mathrm{E}}_{}^{0*}=0$.

Рис. 8. Эффективный пьезомодуль $e_{311}^{*}$ пористой керамики PZT-4 с объемной долей туннельных пор $v_{\circ }$= 0.2 (○), 0.6 (◊), 0.8 (□) в зависимости от начальных макродеформаций ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}\ne 0$ при ${\epsilon }_{33}^{0*}=0$ (a), ${\epsilon }_{33}^{0*}\ne 0$ при ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=0$ (b), ${\mathbf{E}}_{}^{\mathbf{0}\mathbf{*}}\mathbf{=}\mathbf{0}$.

Рис. 9. Начальный эффективный пьезомодуль $e_{311}^{*}$ пористой керамики PZT-4 в зависимости от параметра $k_{\text{form}}\equiv a_3/a_{1\left(2\right)}$ формы эллипсоидальных изолированных (○) и взаимопроникающих (□) пор при объемной доле $v_{\circ }=0.2$ (a), 0.4 (b), 0.6 (c).

Рис. 10. Эффективный пьезомодуль $e_{311}^{*}$ пористой керамики PZT-4 в зависимости от параметра $k_{\text{form}}\equiv a_3/a_{1\left(2\right)}$ формы эллипсоидальных изолированных (○) и взаимопроникающих (□) пор при объемной доле $v_{\circ }=0.2$ (a, b), 0.4 (c, d), 0.6 (e, f) для случаев ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=\mathrm{0.05,}$ ${\epsilon }_{33}^{0*}=0.00$(a, c, e), ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}=\mathrm{0,}$ ${\epsilon }_{33}^{0*}=0.05$(b, d, f) при $E_{}^{0*}=0.$

5. Заключение. Получено решение (3.5)–(3.15) “задачи эффективного модуля” трансверсально-изотропной пористой керамики с учетом ее начального напряженного состояния и эллипсоидальной формы ориентированных пор различной связанности на основе численно-аналитического решения связанной стохастической краевой задачи электроупругости механики композитов по методу функций Грина. С использованием полученных решений осуществлен расчет начальных $e_{311}^{0*}$ (рис. 2, 9) и результирующих $e_{311}^{*}$ (рис. 3–8, 10) значений эффективного пьезоэлектрического модуля трансверсально-изотропной пористой пьезокерамики PZT-4 в зависимости от значений объемной доли $v_{\circ }$, параметра формы $k_{\text{form}}\equiv a_3/a_{1(2)}$ и типа связанности эллипсоидальных (рис. 9, 10), в частности: сферических (рис. 3, 4), дисковых (рис. 5, 6) или туннельных (рис. 7, 8) пор с учетом начального напряженного состояния пористой пьезокерамики, обусловленного ее начальными осесимметричными деформациями ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$, ${\epsilon }_{33}^{0*}$ в плоскости изотропии ( ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$ ) и вдоль оси симметрии ( ${\epsilon }_{33}^{0*}$ ) материала. Выявлены (рис. 2) характерные значения объемной доли $v_{\circ }^{\text{'}}$ сферических ( $k_{\text{form}}=1$ ) и дисковых ( $k_{\text{form}}=0.2$ ) пор с учетом их связанностей, при которых происходит смена знака численных значений начального эффективного пьезоэлектрического модуля $e_{311}^{0*}$ по отношению к соответствующему модулю $e_{311}^{}$ монолитной керамики PZT-4. Определены (рис. 3) характерные значения объемной доли $v_{\circ }^{\text{'}\text{'}}$, в частности, сферических пор, при которых увеличение результирующих значений пьезомодуля $e_{311}^{*}$ (относительно его соответствующего начального значения $e_{311}^{0*}$ ) сменяется снижением результирующих значений, при этом значение $v_{\circ }^{\text{'}\text{'}}$ для случая открытой пористости примерно в два раза меньше соответствующего значения для изолированной пористости и на значение $v_{\circ }^{\text{'}\text{'}}$ не влияет величина начального деформирования ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$ и/или ${\epsilon }_{33}^{0*}$; эти эффекты не наблюдаются на графиках зависимости $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ от $v_{\circ }$ для случая туннельных пор (рис. 7). Установлено (рис. 4, 6, 8), что величина $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ относительных значений результирующего пьезомодуля $e_{311}^{*}$ пористой пьезокерамики линейно зависит от ее начальных макродеформаций ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$, ${\epsilon }_{33}^{0*}$ и, например, для случая сферических пор (рис. 4) максимальные (по модулю) градиенты роста и убывания относительных значений $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ реализуются соответственно при значении объемной доли $v_{\circ }$ ≈ 0.4 и 0.6 изолированных сферических пор. При этом для случая туннельных пор (рис. 8) имеем возрастающие линейные зависимости величины $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ от начальных макродеформаций ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$, ${\epsilon }_{33}^{0*}$, при этом максимальный градиент имеем при объемной доле $v_{\circ }$ ≈ 0.8 открытых (взаимопроникающих) туннельных пор. Доказано, что начальное гидростатическое деформирование ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$ более существенно влияет на результирующие значения пьезомодуля $e_{311}^{*}$ пористой пьезокерамики (рис. 10, a, c, e), чем ее начальная осевая деформация ${\epsilon }_{33}^{0*}$ (рис. 10,b, d, f) при всех рассматриваемых значениях объемной доли $v_{\circ }$, параметра формы $k_{\text{form}}$ и связанности, в особенности, сферических (рис. 3, 4) пор. Выявлен (рис. 9) немонотонный характер с наличием точек минимума зависимости величины $e_{311}^{0*}/e_{311}^{}$ от параметра формы $k_{\text{form}}^{}$ эллипсоидальных пор, определены величины объемной доли пор $v_{\circ }$ и характерные значения параметра формы $k_{\text{form}}^{\text{'}}$, при которых происходит смена знака численных значений начального эффективного пьезоэлектрического модуля $e_{311}^{0*}$ по отношению к соответствующему модулю $e_{311}^{}$ монолитной керамики PZT-4. При этом графики зависимости величины $e_{311}^{0*}/e_{311}^{}$ от параметра формы $k_{\text{form}}^{}$ для изолированных пор лежат выше, чем для взаимопроникающих пор для всех рассмотренных значений объемной доли $v_{\circ }$. Немонотонный характер (рис. 10) также имеет зависимость величины $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ от параметра формы $k_{\text{form}}^{}$ эллипсоидальных пор с наличием точки максимума для случая малой объемной доли пор $v_{\circ }$ (рис. 10,a, b) и наличием разрывов (обусловленных сменой знака величины $e_{311}^{0*}$ ) значений этой функции при значении $k_{\text{form}}^{\text{'}\text{'}}$ для случая средних и больших значений объемной доли $v_{\circ }$ (рис. 10,c–f). Вид функций $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ от $k_{\text{form}}^{}$ однотипен для случаев изолированных и взаимопроникающих пор с характерным смещением по оси абсцисс $k_{\text{form}}^{}$ (рис. 10).

Таким образом, эффект начального напряженного состояния наиболее сильно проявляется для пьезомодуля $e_{311}^{*}$ керамики со сферическими порами (рис. 1,b) при объемной доле $v_{\circ }$≈ 0.5 и 0.6 для случая изолированных, 0.3 и 0.4 – для случая взаимопроникающих сферических пор, при этом особенно существенно – для случая трансверсального начального деформирования ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$ в плоскости $r_1{r}_2$ и пропорционально величине этих деформаций (рис. 3,a). Для керамики с ориентированными дисковыми порами (рис. 1,а, рис. 5) эффект начального напряженного состояния проявляется на значениях пьезомодуля $e_{311}^{*}$ гораздо слабее, чем для случая сферических пор (рис. 3), при этом экстремумы имеем при таких же значениях пористости $v_{\circ }$ ≈ 0.5 и 0.6 для изолированных, 0.3 и 0.4 – для взаимопроникающих дисковых пор. Имеем монотонные, практически, линейно возрастающие зависимости величины $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ от значений туннельной пористости $v_{\circ }$ (рис. 7) при всех рассматриваемых начальных макродеформациях ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{0*}$, ${\epsilon }_{33}^{0*}$ в отличие от немонотонных зависимостей $e_{311}^{*}/e_{311}^{0*}$ от $v_{\circ }$ для случая сферических (рис. 3) и дисковых (рис. 5) пор. Отметим, что графики зависимостей значений начального пьезомодуля $e_{311}^{0*}$ от параметра формы $k_{\text{form}}^{}$ (рис. 9) имеют характерный экстремум – точку минимума при значении $k_{\text{form}}^{}$ ≈ 1, т. е. для случая сферических пор. При этом максимальный эффект от наличия начального напряженного состояния проявляется также при $k_{\text{form}}^{}$ ≈ 1 (рис. 10,а, b) при относительно малой пористости, например, $v_{\circ }$ = 0.2. Наличие точек разрыва на графиках (рис. 10,c–f) обусловлено отсутствием пьезоэффекта ( $e_{311}^{0*}$ =0) при значении параметра формы $k_{\text{form}}^{}$ ≈ 1.5, т. е. эффект начального напряженного состояния обуславливает появление пьезоэффекта ( $e_{311}^{*}$≠0) для пористой керамики с “овальной” формой пор.

Благодарности. Результаты получены при выполнении государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации на выполнение фундаментальных научных исследований (проект № FSNM-2023-0006).