Characteristic constitutive numbers in semi isotropic coupled thermoelasticity

Full Text

1. Введение. Современные экспериментальные исследования [1] отчетливо указывают на то, что важной особенностью многих материалов является чувствительность термомеханических свойств к преобразованиям, изменяющим ориентацию пространства на противоположную — инверсиям и зеркальным отражениям¹. Одной из простейших математических моделей, в которой оказывается возможным учет указанной чувствительности, является модель полуизотропного микрополярного термоупругого континуума, предложенная в работах [2–8]. В микрополярной теории термоупругости, как известно, трансляционные перемещения каждого элемента континуума сопровождаются микроповоротами (спинорными перемещениями). Спинорные и трансляционные перемещения считаются кинематически независимыми [9–11]². Корректное построение определяющих уравнений и энергетических форм термодинамических потенциалов для полуизотропных микрополярных термоупругих сред требует привлечения аппарата алгебры и анализа псевдотензоров [13–17], исходя из принципа ковариантного постоянства целых степеней псевдотензорных единиц.

Исследование процессов распространения гармонических волн в телах с нано/микроструктурными особенностями является важной в прикладном аспекте задачей современной волновой термомеханики [18, 19]. При исследовании такой задачи, а также при моделировании по характерным числам [20–25] важную роль играют безразмерные комбинации определяющих термоупругих модулей, геометрических и термомеханических параметров краевой задачи. Подобные комбинации хорошо известны в гидромеханике в исследованиях термомеханических особенностей течения жидкостей и газов [20, 25] (число Нуссельта (Nu), число Эйлера (Eu), число Релея (Ra), число Фруда (Fr), число Грасхофа (Gr), число Прандтля (Pr), число Рейнольдса (Re), число Ричардсона (Ri), число Струхала (Sh) и т.д.).

В настоящей работе исследуются характерные комбинации определяющих термоупругих модулей, геометрических и термосиловых параметров краевой задачи. Особенностью моделирования по характерным числам является достаточно большое число (13) определяющих модулей. В линейном приближении выводятся определяющие уравнения, уравнения динамики и уравнение теплопроводности полуизотропного микрополярного термоупругого континуума. Проводится размерный анализ указанной системы уравнений. Предложен физически согласованный ряд (9 первичных и несколько произвольных) безразмерных характерных комбинаций определяющих постоянных. Выполнен расчет характерных чисел для гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного теплоизолированного длинного цилиндрического полуизотропного термоупругого волновода.

2. Упругий потенциал и определяющие уравнения связанной полуизотропной термоупругости. Примем линеаризованную по функциональным аргументам объемную плотность свободной энергии Гельмгольца для анизотропного микрополярного термоупругого континуума³ в виде [26]:

$\Psi ={\underset{\text{I}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}{ϵ}_{\left(ik\right)}{ϵ}_{\left(lm\right)}+{\underset{\text{II}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}{\kappa }_{\left(ik\right)}{\kappa }_{\left(lm\right)}+{\underset{\text{III}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}{ϵ}_{\left(ik\right)}{\kappa }_{\left(lm\right)}+$$\underset{}{{\underset{\text{IV}}{\text{E}}}_{ ·l}^{\left(ik\right)·}{\text{ε}}_{\left(ik\right)}{\text{φ}}^l\text{+}}$

+${\underset{\mathrm{V}}{\mathrm{E}}}^{\left(ik\right)}$${\kappa }_{ik}{\phi }^l$+${\underset{\text{VI}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)l}$${ϵ}_{\left(ik\right)}{\kappa }_l$+${\underset{\text{VII}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)l}$${\kappa }_{\left(ik\right)}{\kappa }_l$+${\underset{\mathrm{VIII}}{\mathrm{E}}}_{\left(il\right)}$${\phi }^i{\phi }^l$+${\underset{\text{IX}}{\text{E}}}^{\left(il\right)}$${\kappa }_i{\kappa }_l+$

+${\underset{\mathrm{X}}{\mathrm{E}}}_{i·}^{·l}$${\phi }^i{\kappa }_l+$${\underset{\text{XI}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)}$${ϵ}_{\left(ik\right)}\theta$+${\underset{\text{XII}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)}$${\kappa }_{\left(ik\right)}\theta$+${\underset{\mathrm{XIII}}{E}}_i$${\phi }^i\theta$+${\underset{\text{XIV}}{\text{E}}}^i\text{}$${\kappa }_i\theta$+$\underset{\text{XV}}{\text{E}}$${\theta }^2\mathrm{,}$ (2.1)

где

${\underset{\text{I}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}$, ${\underset{\text{II}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}$, ${\underset{\text{III}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}$, ${\underset{\text{IV}}{\text{E}}}_{\cdot l}^{\left(ik\right)\cdot }$, ${\underset{\text{V}}{\text{E}}}_{\cdot l}^{\left(ik\right)\cdot }$, ${\underset{\text{VI}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)l}$, ${\underset{\text{VII}}{\text{E}}}_{\left(ik\right)l}$, ${\underset{\text{VIII}}{\text{E}}}_{\left(il\right)}$, ${\underset{\text{IX}}{\text{E}}}^{\left(il\right)}$, ${\underset{\text{X}}{\text{E}}}_{i\cdot }^{\cdot l}$, ${\underset{\text{XI}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)}$, ${\underset{\text{XII}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)}$, ${\underset{\text{XIII}}{\text{E}}}_i$, ${\underset{\text{XIV}}{\text{E}}}^i$, $\underset{\text{XV}}{\text{E}}$

— определяющие тензоры анизотропного микрополярного термоупругого континуума; $\theta$ → $\theta$ - $\theta$₀ — температурный инкремент (считается малой первого порядка); $\theta$₀ — референциальная температура; $ϵ$_(ik) — симметричная часть асимметричного тензора деформации; k_(ik) — симметричная часть тензора изгиба–кручения; $\phi$ⁱ — вектор, сопутствующий антисимметричной части асимметричного тензора деформации; k_i — вектор, сопутствующий антисимметричной части тензора изгиба–кручения.

Асимметричный тензор деформации, тензор изгиба–кручения, их симметричные части и сопутствующие векторы определяются в терминах векторов трансляционных u^k и спинорных $\varphi$^k перемещений согласно равенствам:

${ϵ}_{ij}\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}{\nabla }_i{u}_j-{ϵ}_{ijk}{\varphi }^k\mathrm{,}{\kappa }_{i\cdot }^{\cdot s}\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}{\nabla }_i{\varphi }^s\text{}\mathrm{,}$ (2.2)

${ϵ}_{\left(kl\right)}\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}\frac{1}{2}\left({\nabla }_k{u}_l+{\nabla }_l{u}_k\right)\text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{\kappa }_{\left(kl\right)}\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}\frac{1}{2}\left({\nabla }_k{\varphi }_l+{\nabla }_l{\varphi }_k\right)\text{,}$ (2.3)

${\phi }^i\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}-\frac{1}{2}{ϵ}^{ikl}{ϵ}_{\left[kl\right]}\mathrm{,}{\kappa }_i\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}\frac{1}{2}{ϵ}_{ikl}{\kappa }^{\left[kl\right]},$ (2.4)

где $\epsilon$^ikj = $\epsilon$_ikj — символы перестановок, ∇_k — оператор ковариантного дифференцирования. Символы перестановок, как и метрический тензор g_ij, считаются физически безразмерными объектами. Круглые и квадратные скобки означают операции симметрирования и альтернирования по заключенным в них индексам.

Следствием второго закона термодинамики для полуизотропных микрополярных термоупругих тел являются определяющие уравнения:

$\begin{array}{cc}{t}^{\left(ij\right)}=\frac{\partial \Psi }{\partial {ϵ}_{\left(ij\right)}}\mathrm{,}& {\mu }^{\left(ik\right)}=\frac{\partial \Psi }{\partial {\kappa }_{\left(ik\right)}}\mathrm{,}\\ \begin{array}{l}2{\tau }_i=\frac{\partial \Psi }{\partial {\phi }^i}\mathrm{,}\\ S=-\frac{\partial \Psi }{\partial \theta }\mathrm{,}\end{array}& \begin{array}{l}2{\mu }^i=\frac{\partial \Psi }{\partial {\kappa }_i}\mathrm{,}\\ J^j=J^j\left({\nabla }_k\ln \theta \right).\end{array}\end{array}$ (2.5)

Приведенное уравнение баланса свободной энергии запишем в форме [27, 28]:

$-\left({\partial }_{\cdot }\Psi +S{\partial }_{\cdot }\theta \right)+t^{\left(ij\right)}{\partial }_{\cdot }{ϵ}_{\left(ij\right)}+{\mu }^{\left(ik\right)}{\partial }_{\cdot }{\kappa }_{\left(ik\right)}+{\tau }_i{\partial }_{\cdot }{\phi }^i+{\mu }^i{\partial }_{\cdot }{\kappa }_i-{\theta }^{-1}{h}^i{\nabla }_i\theta \text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}\mathrm{\Xi }\theta \mathrm{.}$ (2.6)

Здесь ∂_. — производная по времени при фиксированных координатах x ^k, S — объемная плотность энтропии, $\mathrm{\Xi }$ — неконтролируемое производство энтропии (в единицу времени, в расчете на единицу объема).

Уравнение баланса энтропии в рамках предлагаемой к рассмотрению схемы исследования принимает вид:

${\partial }_{\cdot }S\text{\hspace{0.33em}= }-{\nabla }_j{J}^j+\mathrm{\Sigma }+\mathrm{\Xi }\mathrm{,}$ (2.7)

где J ^j — вектор потока энтропии, $\mathrm{\Sigma }$ — объемная плотность контролируемого производства энтропии. В дальнейшем изложении будем полагать отсутствие лучистого тепла, т.е. $\mathrm{\Sigma }$ = 0.

Для неконтролируемого производства энтропии справедлива следующая цепочка равенств:

$\mathrm{\Xi }=-{\mathrm{\theta }}^{-2}{h}^j{\nabla }_j\theta =-{\mathrm{\theta }}^{-1}{J}^j\left({\nabla }_k\ln \theta \right){\nabla }_j\ln \theta .$ (2.8)

Нелинейное уравнение теплопроводности получим подстановкой определяющих уравнений (2.5) в уравнение баланса энтропии (2.7), учитывая

$\theta$J ^j = h ^j.

В силу абсолютной инвариантности температуры алгебраические веса потока тепла и энтропии совпадают.

В итоге получим:

$\frac{\partial S}{\partial {ϵ}_{\left(ij\right)}}{\partial }_{\cdot }{ϵ}_{\left(ij\right)}+\frac{\partial S}{\partial {\kappa }_{\left(ik\right)}}{\partial }_{\cdot }{\kappa }_{\left(ik\right)}+\frac{\partial S}{\partial {\phi }^i}{\partial }_{\cdot }{\phi }^i+\frac{\partial S}{\partial {\kappa }_i}{\partial }_{\cdot }{\kappa }_i+\frac{\partial S}{\partial \theta }{\partial }_{\cdot }\theta =-{\theta }^{-1}{\nabla }_j{h}^j.$ (2.9)

В качестве закона теплопроводности примем линейный закон Фурье:

$h^k=-{\underset{\text{XVI}}{\text{E}}}^{ki}{\nabla }_i\theta \mathrm{,}$ (2.10)

где ${\underset{\text{XVI}}{\text{E}}}^{ki}$ — определяющий тензор теплопроводности.

После линеаризации уравнения теплопроводности (2.9) с учетом (2.11) и (2.10) окончательно получим:

${\underset{\text{XI}}{\text{E}}}^{\left(ij\right)}$${\partial }_{\cdot }{ϵ}_{\left(ij\right)}+$${\underset{\text{XII}}{\text{E}}}^{\left(ij\right)}$${\partial }_{\cdot }{\kappa }_{\left(ij\right)}+$${\underset{\mathrm{XIII}}{\mathrm{E}}}_i$${\partial }_{\cdot }{\phi }^i$+$\underset{\text{XIV}}{\text{E}}{\text{}}^i$${\partial }_{\cdot }{\kappa }_i+$${\theta }_0^{-1}C{\partial }_{\cdot }\theta$=${\theta }_0^{-1}$${\underset{\text{XVI}}{\text{E}}}^{js}$${\nabla }_j{\nabla }_s\theta ,$

где C — теплоемкость тела в расчете на единицу объема.

Определяющие уравнения (2.5), соответствующие квадратичной форме свободной энергии Гельмгольца (2.1), принимают вид:

$t^{\left(ik\right)}=2$${\underset{\text{I}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}{ϵ}_{lm}+$${\underset{\text{III}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}{\kappa }_{\left(lm\right)}+$${\underset{\mathrm{IV}}{\mathrm{E}}}_{·l}^{\left(ik\right)·}$${\phi }^l$$+{\underset{\text{VI}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)l}$${\kappa }_l+{\underset{\text{XI}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)}\theta \text{\hspace{0.05em},}$

${\mu }^{\left(ik\right)}=2$${\underset{\text{II}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)\left(lm\right)}{\kappa }_{\left(lm\right)}$$+{\underset{\text{III}}{\text{E}}}^{\left(lm\right)\left(ik\right)}{ϵ}_{\left(lm\right)}+$${\underset{\mathrm{V}}{\mathrm{E}}}_{·l}^{\left(ik\right)·}$${\phi }^l$+${\underset{\text{VII}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)l}$${\kappa }_l+$${\underset{\text{XII}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)}\theta$,

$2{\tau }_i=2$${\underset{\mathrm{VIII}}{\mathrm{E}}}_{\left(il\right)}$${\phi }^l+$${\underset{\mathrm{X}}{\mathrm{E}}}_{i·}^{·l}$${\kappa }_l+$${\underset{\mathrm{IV}}{\mathrm{E}}}_{··i}^{\left(lm\right)·}$${ϵ}_{lm}+$${\underset{V}{\mathrm{E}}}_{··i}^{\left(lm\right)·}{\kappa }_{\left(lm\right)}$+${\underset{\mathrm{XIII}}{\mathrm{E}}}_i\theta$, (2.11)

$2{\mu }^i=2$${\underset{\text{IX}}{\text{E}}}^{\left(il\right)}{\kappa }_l+$${\underset{\mathrm{X}}{\mathrm{E}}}_{l·}^{·i}$${\phi }^l+$${\underset{\text{VI}}{\text{E}}}^{\left(lm\right)i}$${ϵ}_{\left(lm\right)}+$${\underset{\text{VII}}{\text{E}}}^{\left(lm\right)i}{\kappa }_{\left(lm\right)}$+${\underset{\text{XIV}}{\text{E}}}^i\theta$,

$S=-$${\underset{\text{XI}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)}{ϵ}_{\left(ik\right)}-$${\underset{\text{XII}}{\text{E}}}^{\left(ik\right)}{\kappa }_{\left(ik\right)}-$${\underset{\mathrm{XIII}}{\mathrm{E}}}_i{\phi }^i-$${\underset{\text{XIV}}{\text{E}}}^i{\kappa }_i-$$\underset{\text{XV}}{\text{E}}\theta$.

Для полуизотропного микрополярного термоупругого тела определяющие тензоры в декартовой системе координат примут вид [29–32]:

${\underset{\mathrm{I}}{\mathrm{E}}}_{\left(is\right)\left(lm\right)}=$$\underset{1}{a}{\delta }_{is}{\delta }_{lm}+\frac{1}{2}\left(\underset{1}{b}+\underset{1}{c}\right)$$\left({\delta }_{il}{\delta }_{sm}+{\delta }_{im}{\delta }_{sl}\right),$

${\underset{\mathrm{II}}{\mathrm{E}}}_{\left(is\right)\left(lm\right)}=$$\underset{2}{a}{\delta }_{is}{\delta }_{lm}+\frac{1}{2}\left(\underset{2}{b}+\underset{2}{c}\right)$$\left({\delta }_{il}{\delta }_{sm}+{\delta }_{im}{\delta }_{sl}\right),$

${\underset{I\mathrm{II}}{\mathrm{E}}}_{\left(is\right)\left(lm\right)}=$$\underset{3}{a}{\delta }_{is}{\delta }_{lm}+\frac{1}{2}\left(\underset{3}{b}+\underset{3}{c}\right)$$\left({\delta }_{il}{\delta }_{sm}+{\delta }_{im}{\delta }_{sl}\right),$

${\underset{\mathrm{IV}}{\mathrm{E}}}_{\left(kj\right)}=$$\left(\underset{1}{b}-\underset{1}{c}\right){\delta }_{kj}\mathrm{,}$ ${\underset{\mathrm{V}}{\mathrm{E}}}_{\left(kj\right)}=$$\left(\underset{2}{b}-\underset{2}{c}\right){\delta }_{kj}\mathrm{,}$ ${\underset{\mathrm{VI}}{\mathrm{E}}}_{\left(kj\right)}=$$\left(-\underset{3}{b}-\underset{3}{c}\right){\delta }_{kj}\mathrm{,}$ (2.12)

${\underset{\mathrm{XI}}{\mathrm{E}}}^{\left(ik\right)}=$$\underset{1}{d}{g}^{ik}\mathrm{,}$ ${\underset{\mathrm{XII}}{\mathrm{E}}}^{\left(ik\right)}=$$\underset{2}{d}{g}^{ik}\mathrm{,}$ $\underset{\text{XV}}{\text{E}}=F\mathrm{,}$

${\underset{\mathrm{VII}}{\mathrm{E}}}_{\left(is\right)k}=$${\underset{\mathrm{VIII}}{\mathrm{E}}}_{\left(is\right)k}=$${\underset{\mathrm{IX}}{\mathrm{E}}}_{k\left(lm\right)}=$${\underset{\mathrm{X}}{\mathrm{E}}}_{\left(is\right)j}=$${\underset{\mathrm{VIII}}{\mathrm{E}}}_i=$${\underset{\text{XIV}}{\text{E}}}^i=0.$

Кроме того, для полуизотропного тела шаровым оказывается тензор коэффициентов теплопроводности:

${\underset{\text{XVI}}{\text{E}}}^{js}\text{\hspace{0.33em}= }\lambda g^{js}\mathrm{,}$

где $\lambda$ — коэффициент теплопроводности.

Определяющие постоянные удобно выразить в терминах материальных термомеханических параметров в следующем виде [33–35]:

$\begin{array}{lll}\underset{1}{a}=G\nu {-2\nu }^{-1},& \underset{1}{b}\text{}+\text{}\underset{1}{c}\text{=2}G\mathrm{,}& \underset{1}{b}\text{}-\text{}\underset{1}{c}\text{=2}G{c}_1\mathrm{,}\\ \underset{2}{a}=G{L}^2{c}_3\mathrm{,}& \underset{2}{b}\text{}+\text{}\underset{2}{c}\text{=2}G{L}^2\mathrm{,}& \underset{2}{b}\text{}-\text{}\underset{2}{c}\text{=}G{L}^2{c}_2\mathrm{,}\\ \underset{3}{a}=GL{c}_4\mathrm{,}& \underset{3}{b}\text{}+\text{}\underset{3}{c}\text{=2}GL{c}_5\mathrm{,}& \underset{3}{c}\text{}-\text{}\underset{3}{b}\text{=}GL{c}_6\mathrm{,}\\ \underset{1}{d}=-4G\frac{1+\nu }{1-2\nu }\underset{}{\alpha }\mathrm{,}& \underset{2}{d}=-4G{L}^2\underset{*}{\beta }\mathrm{,}& F=\underset{\text{XV}}{E}=-\frac{\rho c}{{\theta }_0},\end{array}$ (2.13)

где G — модуль сдвига; $\nu$ — коэффициент Пуассона; L — характерная микродлина; c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, c₆ — не имеющие физической размерности псевдоскаляры; $\underset{*}{\alpha }$ — коэффициент линейного теплового расширения; $\underset{*}{\beta }$ — коэффициент теплового искажения (см. [2, 7]).

3. Уравнения динамики и уравнение теплопроводности связанной полуизотропной микрополярной термоупругости. Уравнения динамики микрополярного континуума выводятся из вариационного принципа виртуальных перемещений в ковариантной форме:

$\begin{array}{l}{\nabla }_i{t}^{ik}=-\rho \left(f^k-{{\partial }^2}_{\cdot \cdot }{u}^k\right)б\\ {\nabla }_i{\mu }_{\cdot k}^{i\cdot }-2{\tau }_k=-\rho \left(l_k-\mathfrak{I}{{\partial }^2}_{\cdot \cdot }{\varphi }_k\right).\end{array}$ (3.1)

где f ⁱ — вектор массовых сил, l_i — вектор массовых моментов.

Определяющие уравнения полуизотропной микрополярной среды, учитывая замену (2.13), записываются в форме:

$t^{\left(is\right)}\text{\hspace{0.33em}= \hspace{0.05em}}2G\left(\nu {\left(\text{1}-2\nu \right)}^{-1}{g}^{is}{g}^{lm}+g^{il}{g}^{sm}\right){ϵ}_{\left(lm\right)}+$

$+GL\left(c_4{g}^{is}{g}_{lm}{\kappa }^{\left(lm\right)}+c_5{\kappa }^{\left(is\right)}\right)-2G\underset{*}{\alpha }\frac{1+\nu }{1-2\nu }{g}^{is}\theta \mathrm{,}$

${\mu }_{\left(is\right)}\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.33em}}2G{L}^2\left(c_3{g}_{is}{g}_{lm}+g_{il}{g}_{sm}\right){\kappa }^{\left(lm\right)}+GL\left(c_4{g}_{is}{g}^{lm}{ϵ}_{\left(lm\right)}+c_5{ϵ}_{\left(is\right)}\right)-2G{L}^2\underset{*}{\beta }{g}_{is}\theta$, (3.2)

${\tau }_i=G{c}_1{g}_{is}{\phi }^s+\frac{1}{2}GL{c}_6{\kappa }_i\mathrm{,}$

${\mu }^i=2G{L}^2{c}_2{g}^{is}{\kappa }_s+\frac{1}{2}GL{c}_6{\phi }^i\mathrm{,}$

Возвращаясь к записи в терминах асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений, получим:

$t_{is}\text{\hspace{0.05em}= \hspace{0.05em}}G\left[\left(1+c_1\right){\nabla }_i{u}_s+\left(1-c_1\right){\nabla }_s{u}_i+2\nu {\left(1-2\nu \right)}^{-1}{g}_{is}{\nabla }_k{u}^k-\right.$

$\left.-2c_1{e}_{isl}{\varphi }^l+L{c}_4{g}_{is}{\nabla }_l{\varphi }^l+L{c}_5{\nabla }_{(i}{\varphi }_{s)}-\frac{1}{2}L{c}_6{\nabla }_{[i}{\varphi }_{s]}-2\underset{*}{g_{is}\alpha }\frac{1+\nu }{1-2\nu }\theta \right],$ (3.3)

${\mu }_{is}\text{\hspace{0.05em}= \hspace{0.05em}}G{L}^2\left[\left(1+c_2\right){\nabla }_i{\varphi }_s+\left(1-c_2\right){\nabla }_s{\varphi }_i+2c_3{g}_{is}{\nabla }_l{\varphi }^l+\right.$

$\left.+L\left(c_4{g}_{is}{\nabla }_l{u}^l+c_5{\nabla }_{(i}{u}_{s)}-\frac{1}{2}{c}_6{\nabla }_{[i}{u}_{s]}+\frac{1}{2}{c}_6{ϵ}_{isl}{\varphi }^l\right)-2\underset{*}{\beta }{g}_{is}\theta \right].$

Подставив полученные определяющие уравнения (3.3) в уравнения динамики (3.1), дополнив их уравнением теплопроводности [27, 28] для полуизотропного микрополярного тела, получим замкнутую систему дифференциальных уравнений:

$\begin{array}{l}G{L}^2+[\left(1+c_2\right){\nabla }^s{\nabla }_s{\varphi }_{\text{}i}+\left(1-c_2+2c_3\right){\nabla }_i{\nabla }_k{\varphi }^k+\\ +L^{-1}{c^{\text{'}}}_4{\nabla }_i{\nabla }^k{u}_k+L^{-1}{c^{\text{'}}}_5{\nabla }^k{\nabla }_k{u}_i+L^{-1}{c^{\text{'}}}_6{ϵ}_{isl}{\nabla }^s{\varphi }^l]-\end{array}$ (3.4)

$\begin{array}{l}-2G{c}_1\left(2{\varphi }_i-e^2{ϵ}_{ikl}{g}^{ks}{\nabla }_s{u}^l\right)-2G{L}^2\underset{*}{\beta }{\nabla }_i\theta =-\rho \left(l_i-\mathfrak{I}{\partial }_{\cdot \cdot }{\varphi }_i\right),\\ \lambda {\nabla }_s{\nabla }^s\theta -C{\partial }_{\cdot }\theta -2G\underset{*}{\alpha }\frac{1+\nu }{1-2\nu }{\theta }_0{\nabla }_s{\partial }_{\cdot }{u}^s-2G{L}^2\underset{*}{\beta }{\theta }_0{\nabla }_s{\partial }_{\cdot }{\varphi }^s=0,\text{}\end{array}$

где приняты следующие обозначения:

${c^{\text{'}}}_4=c_4+\frac{1}{2}{c}_5+\frac{1}{4}{c}_6\mathrm{,}{c^{\text{'}}}_5\text{=}\frac{1}{2}{c}_5-\frac{1}{4}{c}_6\mathrm{,}{c^{\text{'}}}_6\text{=}-c_6\mathrm{.}$ (3.5)

Размерности основных тензорных величин и определяющих постоянных микрополярной термомеханики в системе СИ представлены в табл. 1 и 2. Кроме того, в табл. 1 и 2 приводятся алгебраические веса, соответствующие используемым псевдоинвариантным элементам объема и площади [36–38].

Таблица 1. Основные тензоры и псевдотензоры микрополярной термомеханики

Таблица 2. Определяющие псевдотензоры и псевдоскаляры полуизотропной микрополярной термоупругости

4. Размерный анализ связанной системы уравнений динамики полуизотропного микрополярного термоупругого тела. Здесь и далее введем в рассмотрение функцию d.i.m, действующую на физическое поле и равную значению его размерности в системе СИ. Для безразмерного физического поля j функция d.i.m принимает пустое значение:

$\text{d.i.m\hspace{0.05em}}\left(\phi \right)=\text{null\hspace{0.05em}}\mathrm{.}$ (4.1)

Криволинейные координаты не всегда имеют одинаковую размерность. Поэтому, при анализе размерностей следует преобразовать метрическую форму так чтобы криволинейные координаты имели одну и ту же размерность. После чего необходимо осуществить переход к безразмерным криволинейным координатам с помощью размерного множителя. Схематически это можно представить следующим образом:

$\text{d.i.m}\left(x^i\right)\text{=var\hspace{0.33em}}\to \text{\hspace{0.33em}d.i.m\hspace{0.05em}}\left(x^i\right)\text{=м}\to \text{\hspace{0.33em}d.i.m\hspace{0.05em}}\left(x^i\right)\text{=null}.$ (4.2)

Следуя предложенной процедуре, заменим размерные физические поля и геометрические объекты их безразмерными аналогами с помощью масштабирующей замены переменных и физических полей:

$\begin{array}{ll}{x}^i\to l_1{x}^i\mathrm{,}& t\to \tau t\mathrm{,}\\ \theta \to {\theta }_0\theta \mathrm{,}& {\partial }_{\cdot }\to {\tau }^{-1}{\partial }_{\cdot }\mathrm{,}\\ u\mathrm{\to }{\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}u\mathrm{,}& \nabla \to l_1^{-1}\nabla \mathrm{,}\\ \underset{\left(2\right)}{t}\to G\underset{\left(2\right)}{t}\mathrm{,}& \underset{\left(2\right)}{m}\to GL\underset{\left(2\right)}{m}\mathrm{,}\end{array}$ (4.3)

где xⁱ — координаты; l₁ и l₁ — масштабные факторы длины (d.i.m(l₁)=d.i.m(l₂) = м); $\tau$ — масштабный фактор времени (d.i.m($\tau$) = c), G — масштабный фактор силовых напряжений (d.i.m(G) = кг · м^-1 · с^-2); GL — масштабный фактор моментных напряжений (d.i.m(GL) = кг · с^-2). В схеме (21) безразмерные переменные, находящиеся в правых частях соотношений, следует отличать от размерных, например с помощью волны сверху корневого символа, что неизбежно приведет к усложнению записи дифференциальных уравнений. Поэтому для упрощения записи формул в дальнейшем опустим указанное обозначение и будем вести изложение в безразмерных переменных.

С учетом масштабирующей замены (4.3) запишем уравнения (3.4) в векторном виде:

$\left(1+c_1\right)\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\mathbf{u}+\left(\text{1}-c_1+2\nu {\left(1-2\nu \right)}^{-1}\text{}\right)\mathbf{\text{∇∇}}\mathbf{\cdot }\mathbf{u}\text{\hspace{0.33em}}+2l_1{l}_2^{-1}{c}_1\nabla \times \varphi +$

$+L{l}_2^{-1}{c^{\text{'}}}_4\mathbf{\nabla }\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\cdot \mathbf{\varphi }+L{l}_2^{-1}{c^{\text{'}}}_5\mathbf{\nabla }\mathbf{·}\mathbf{\nabla }\mathbf{\varphi }-2l_1{l}_2^{-1}{\theta }_0\underset{*}{\alpha }\frac{1+\nu }{1-2\nu }\nabla \theta =\rho G^{-1}{l}_1^2{\tau }^{-2}\mathbf{u}\mathbf{,}$

$\left(1+c_2\right)\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\text{}}\mathbf{\nabla }\mathbf{\varphi }+\left(1-c_2+2c_3\right)\mathbf{\nabla }\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{\varphi }+L^{-1}{l}_2{c^{\text{'}}}_4\mathbf{\nabla }\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathbf{\text{\hspace{0.17em}u}}+$

$+L^{-1}{l}_2{c^{\text{'}}}_5\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\text{}}\mathbf{\nabla }\mathbf{u}+L^{-1}{l}_1{c^{\text{'}}}_6\mathbf{\nabla }\times \mathbf{\varphi }-2L^{-2}{l}_1^2{c}_1\left(2\mathbf{\varphi }-l_1{l}_2^{-1}\mathbf{\nabla }\times \mathbf{u}\right)-$ (4.4)

$-2l_1{\theta }_0\underset{*}{\beta }\nabla \rho \Im G^{-1}{L}^{-2}{l}_1^2{\tau }^{-2}\ddot{\mathrm{\varphi }}\mathrm{,}$

$\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\theta \text{}-\text{}C{\lambda }^{-1}{l}_1^2{\tau }^{-1}{\partial }_{\cdot }\theta \text{}-\text{}2G{\lambda }^{-1}\underset{*}{\alpha }{l}_1{l}_2{\tau }^{-1}\frac{1+\nu }{1-2\nu }\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\cdot \text{\hspace{0.17em}}{\partial }_{\cdot }u-$

$-2G{\lambda }^{-1}{L}^2{l}_1{\tau }^{-1}\underset{*}{\beta }\nabla \text{}\cdot \text{\hspace{0.17em}}{\partial }_{\cdot }\varphi =0.$

Анализируя систему дифференциальных уравнений (4.4), можно выделить следующие характерные комбинации определяющих постоянных и масштабирующих параметров:

$\begin{array}{lll}\underset{1}{\text{Ch}}=L{l}_2^{-1}\mathrm{,}& \underset{2}{\text{Ch}}=\rho G^{-1}{l}_1^2{\tau }^{-2}\mathrm{,}& \underset{3}{\text{Ch}}=\rho \Im G^{-1}{L}^{-2}{l}_1^2{\tau }^{-2}\mathrm{,}\\ \underset{4}{\text{Ch}}=l_1{l}_2^{-1}\mathrm{,}& \underset{5}{\text{Ch}}=C{\lambda }^{-1}{l}_1^2{\tau }^{-1}\mathrm{,}& \underset{6}{\text{Ch}}=2G{\lambda }^{-1}\underset{*}{\alpha }{l}_1{l}_2{\tau }^{-1}\mathrm{,}\\ \underset{7}{\text{Ch}}=2\underset{*}{\beta }{\theta }_0{l}_1\mathrm{,}& \underset{8}{\text{Ch}}=\underset{4}{\text{2C}h}{\theta }_0\underset{*}{\alpha }\frac{1+\nu }{1-2\nu }\mathrm{,}& \underset{9}{\text{Ch}}=2G{\lambda }^{-1}\underset{*}{\beta }{L}^2{l}_1{\tau }^{-1}\mathrm{.}\end{array}$ (4.5)

Отметим, что характерное число $\underset{1}{\text{Ch}}$ чувствительно к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного пространства. Указанное обстоятельство говорит об исключительной важности данного числа при моделировании процессов деформирования полуизотропных микрополярных термоупругих тел.

Кроме 9 характерных чисел (4.5), характерным числом может являться комбинация физически безразмерных определяющих модулей, т.е.

$\text{Ch=}{F}_P\left(\nu \mathrm{,}{c}_1\mathrm{,}{c}_2\mathrm{,}{c}_3\mathrm{,}{c}_4\mathrm{,}{c}_5\mathrm{,}{c}_6\right),$ (4.6)

а также совместные комбинации характерных чисел (4.5) и (4.6). Функция F_P вычисляется согласно правилу:

$F_P\left(c_1\mathrm{,}{c}_2\mathrm{,}{c}_3\mathrm{,}{c}_4\mathrm{,}{c}_5\mathrm{,}{c}_6\mathrm{,}\nu \right)\text{=}$$\sum _{p_1\mathrm{,}{p}_2\mathrm{,}{p}_3\mathrm{,}{p}_4\mathrm{,}{p}_5\mathrm{,}{p}_6\mathrm{,}{p}_7}\text{}{A}_{p_1{p}_2\dots p_7}{c}_1^{p_1}{c}_2^{p_2}{c}_3^{p_3}{c}_4^{p_4}{c}_5^{p_5}{c}_6^{p_6}{\nu }^{p_7}\mathrm{,}$ (4.7)

где $p_1\mathrm{,}{p}_2\mathrm{,}{p}_3\mathrm{,}{p}_4\mathrm{,}{p}_5\mathrm{,}{p}_6\mathrm{,}{p}_7$ — целые числа, связанные соотношением

$p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7=P\mathrm{.}$ (4.8)

После подстановки характерных чисел (4.5) в систему (4.4) получим:

$\left(1+c_1\right)\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\mathit{u}+\left(1-c_1+2\nu {\left(1-2\nu \right)}^{-1}\right)\mathbf{\nabla }\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathit{u}\text{\hspace{0.33em}}+2\underset{4}{\text{Ch}}{c}_1\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{\varphi }+$

$+\underset{1}{\text{Ch}}{c^{\text{'}}}_4\mathbf{\nabla }\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathit{\varphi }+\underset{1}{\text{Ch}}{c^{\text{'}}}_{\mathbf{5}}\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\mathit{\varphi }-\underset{8}{\text{C}h}\mathbf{\nabla }\theta =\underset{2}{\text{Ch}}\ddot{\mathit{u}}\mathrm{,}$

$\left(1+c_2\right)\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\mathit{\varphi }+\left(\text{\hspace{0.17em}1}-c_2+2c_3\right)\mathbf{\nabla }\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{\varphi }+{\underset{1}{\text{Ch}}}^{-1}{c^{\text{'}}}_4\mathbf{\nabla }\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{u}+$ (4.9)

$+{\underset{1}{\text{\hspace{0.33em}Ch}}}^{-1}{c^{\text{'}}}_5\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\mathit{u}+2{\underset{1}{\text{Ch}}}^{-1}{\underset{4}{\text{Ch}}}^{-1}{c^{\text{'}}}_6\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{\varphi }-$

$-2{\underset{1}{\text{Ch}}}^{-2}{\underset{4}{\text{Ch}}}^{-2}{c}_1\left(2\varphi -\underset{4}{\text{Ch}}\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{u}\right)-\underset{7}{\text{Ch}}\mathbf{\nabla }\theta =\underset{3}{\text{Ch}}\ddot{\varphi }\mathrm{,}$

$\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\theta -\underset{5}{\text{Ch}}{\partial }_{\cdot }\theta -\underset{6}{\text{Ch}}\frac{1+\nu }{1-2\nu }\mathbf{\nabla }\mathbf{\text{}}\cdot \text{}{\partial }_{\cdot }u-\underset{9}{\text{Ch}}\mathbf{\nabla }\text{}\cdot {\partial }_{\cdot }\varphi =0$

5. Распространение связанных гармонических волн полей температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений в цилиндрическом волноводе. Рассмотрим задачу о распространении связанной гармонической волны с частотой $\omega$ вдоль оси свободного теплоизолированного длинного цилиндрического волновода радиуса a. В этом случае поля температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений можно представить в форме:

$\mathbf{\text{u=A}}{e}^{-i\omega t}\mathrm{,}\mathbf{\text{ϕ}}\text{=S}{e}^{-i\omega t}\mathrm{,}\theta =B{e}^{-i\omega t},$ (5.1)

где $\omega$ — циклическая частота гармонической волны; A, S — (комплексные) векторы пространственной поляризации волны; B — (комплексная) амплитуда температурного инкремента. Поиск решения удобно проводить в цилиндрической системе координат (r, $\phi$, z).

В рассматриваемом случае удобно принять l₁ = l₂ = l. Тогда в качестве масштабных факторов линейного размера и времени примем радиус цилиндра l = a и циклическую частоту $\tau$ = $\omega$^–1. Замену переменных произведем согласно

$\begin{array}{lll}r\to ar\mathrm{,}& z\to az\mathrm{,}& t\to {\omega }^{-1}t\mathrm{,}\\ \theta \to {\theta }_0\theta \mathrm{,}& {\partial }_{\cdot }\to \omega {\partial }_{\cdot }\mathrm{,}& \\ u\mathrm{\to }\mathrm{a}u\mathrm{,}& \nabla \to a^{-1}\nabla \mathrm{,}& \\ \underset{\left(2\right)}{t}\to G\text{}\underset{\left(2\right)}{t}\text{,}& m\to GL\underset{\left(2\right)}{m}.& \end{array}$ (5.2)

В этом случае характерные числа (23) примут вид:

$\begin{array}{lll}\underset{1}{\text{Ch}}=L{a}^{-1}\mathrm{,}& \underset{2}{\text{Ch}}=\rho G^{-1}{a}^2{\omega }^2\mathrm{,}& \underset{3}{\text{Ch}}=\rho \Im G^{-1}{L}^{-2}{a}^2{\omega }^2\mathrm{,}\\ \underset{4}{\text{Ch}}=1,& \underset{5}{\text{Ch}}=C{\lambda }^{-1}{a}^2{\omega }^1\mathrm{,}& \underset{6}{\text{Ch}}=2G{\lambda }^{-1}\underset{*}{\alpha }{a}^2{\omega }^1\mathrm{,}\\ \underset{7}{\text{Ch}}=\underset{*}{2\beta }{\theta }_{0}a\mathrm{,}& \underset{8}{\text{Ch}}=2{\theta }_0\underset{*}{\alpha }\frac{1+\nu }{1-2\nu }\mathrm{,}& \underset{9}{\text{Ch}}=2G{\lambda }^{-1}\underset{*}{\beta }{L}^{2}a{\omega }^1\mathrm{.}\end{array}$ (5.3)

Анализируя выражения (5.3), можно заключить следующее:

$\underset{1}{\text{Ch}}\ll 1$ (5.4)

или

$L\ll a\mathrm{,}$ (5.5)

т.е. характерный линейный размер (радиус цилиндрического волновода) существенно больше характерной нано/микродлины.

Второе характерное число можно преобразовать, вспоминая, что волновое число, соответствующее распространению поперечной/продольной волны, связано с циклической частотой и скоростями соотношениями:

${\omega }^2=k_{\perp }^2{c}_{\perp }^2=k_{\text{P}}^2{c}_{\text{P}}^2\mathrm{.}$ (5.6)

Кроме того, учитывая, что квадраты скоростей поперечной и продольной волн равны соответственно:

$c_{\perp }^2\text{\hspace{0.33em}= }G{\rho }^{-1}\mathrm{,}{c}_{\text{P}}^2\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}G{\rho }^{-1}\left(1-\nu \right){\left(1-2\nu \right)}^{-1}\mathrm{,}$ (5.7)

получим

$\underset{2}{\text{Ch}}\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}{a}^2{k}_{\text{P}}^2{c}_{\text{P}}^2{c}_{\perp }^{-2}\text{\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}}{a}^2{k}_{\perp }^2\mathrm{.}$ (5.8)

Отметим, что в качестве масштабных факторов длины можно было бы выбрать волновые числа k_P или k_⊥, что говорит о гибкости методов моделирования по характерным числам.

Заключение. Настоящая работа посвящена моделированию деформирования микрополярных тел по характерным числам. Метод впервые появился в задачах гидроаэромеханики.

1. Развита 13-константная модель полуизотропного микрополярного термоупругого тела в терминах конвенциональных упругих модулей, характерной нано/микродлины, безразмерных микрополярных модулей и термических модулей.
2. Базовая энергетическая квадратичная форма выбрана как анизотропное Е-представление свободной энергии Гельмгольца, найденная в результате определенного алгоритма.
3. Рассмотрена “прямая” форма уравнений динамики и уравнения теплопроводности полуизотропного микрополярного термоупругого тела.
4. Выполнен размерный анализ системы дифференциальных уравнений полуизотропного микрополярного термоупругого тела.
5. Предложен физически обоснованный перечень безразмерных характерных чисел, сформированный из микрополярных упругих и термических модулей.
6. Анализ размерностей выполнен исходя из метрической формы, преобразованной так, чтобы криволинейные координаты имели одну и ту же размерность. Затем осуществлен переход к безразмерным криволинейным координатам с помощью размерного множителя.
7. В качестве примера рассмотрено гармоническое волновое поле в длинном теплоизолированном цилиндрическом полуизотропном термоупругом волноводе. Перечень включает характерные комбинации с радиусом волновода, характерными фазовыми скоростями и волновыми числами.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда в рамках проекта № 23-21-00262.

¹ При этом важна трехмерность пространства.

² Последнее обстоятельство означает, что они могут быть введены в модель микрополярного тела без привлечения метода множителей Лагранжа.

³ Заметим, что в работах В. Новацкого [10, 11], в записи энергетической формы термоупругого потенциала все слагаемые с температурой введены со знаком минус. Указанное обстоятельство выглядит достаточно неубедительным с точки зрения положительной определенности энергетической квадратичной формы. Поэтому в формуле (1) все слагаемые вводятся с положительным знаком.

About the authors

E. V. Murashkin

Author for correspondence.
Email: murashkin@ipmnet.ru
Russian Federation, Moscow

Y. N. Radayev

Email: radayev@ipmnet.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files