Determination of the spectrum of frequencies and vibrations of a rectangular plate, mobily employed around the edge, in different environments

1. Введение. В работах [1–17] исследуется спектр частот пластин и оболочек, контактирующих с жидкостью и газом, обзор которых приводится в [18]. В последней работе определяется низшая частота изгибных колебаний пластины, контактирующей с жидкостью или газом, в предположении ее цилиндрического изгиба. Поверхности пластины контактируют со средой одинаковой плотности и давления. Среда может быть сжимаемой в процессе деформации поверхности и несжимаемой. Определяется влияние на изгиб взаимодействия среднего давления и изменения кривизны срединной поверхности, а также присоединенной массы газовой среды. Исследовано влияние давления окружающей среды на низшую частоту колебаний пластины с учетом взаимодействия среднего избыточного давления на ее поверхности и кривизны срединной поверхности, а также действие присоединенной массы газовой среды с удаленными границами.

На основе использования дискретно структурной модели деформирования многослойных пластин при малых перемещениях, деформациях и учете внутреннего трения материалов слоев по модели Кельвина–Фойгта в работе [19] рассмотрены две задачи о прохождении моногармонической звуковой волны сквозь тонкую композитную прямоугольную пластину, шарнирно закрепленную в проеме абсолютно жесткой перегородки. При постановке первой задачи предполагается, что пластина находится между двумя полубесконечными пространствами и на нее падает плоская звуковая волна с заданным амплитудным значением давления звуковой волны. При постановке второй задачи считается, что пластина находится между двумя абсолютно жесткими преградами, одна из них за счет гармонических колебаний с заданной амплитудой перемещений формирует падающую на пластину звуковую волну, а другая неподвижна и имеет деформируемое энергопоглощающее покрытие.

В работе [20] исследовались собственные колебания прямоугольных металлических пластин. Для определения частот собственных колебаний применялись расчетные методы, в частности аналитический расчет и расчет методом конечных элементов. За основу аналитического расчета было принято уравнение движения тонкой прямоугольной пластины. Затем применялся асимптотический метод, учитывающий динамический краевой эффект. В результате были определены частоты собственных колебаний пластины.

В работах [21–24] изучены колебания прямоугольной пластины с различными граничными условиями на краях. Установлены энергетические неравенства, из которых следует единственность решения поставленных начально-граничных задач. Решения построены в виде суммы рядов с обоснованием сходимости в классах классических и обобщенных решений. Установлена устойчивость решений от начальных данных.

В данной работе определяется спектр частот и формы изгибных колебаний прямоугольной пластины, подвижно заделанной по контуру, которая помещена в жидкость или газ. Изучен вопрос о взаимном влиянии эффекта среднего давления и известного из литературы эффекта присоединенной массы жидкости на деформацию пластины. Получены формулы для вычисления частот и формы изгибных колебаний прямоугольной пластины, находящейся в несжимаемой и сжимаемой жидкости.

Для описания колебаний тонкой прямоугольной пластины рассмотрим дифференциальное уравнение четвертого порядка [25, с. 99]:

 $D\left(\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}\right)+\rho h\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=q,D=\frac{E{h}^3}{12\left(1-{\nu }^2\right)}$, (1.1)

где E, ν, ρ – модуль упругости, коэффициент Пуассона, плотность материала, h – толщина пластины, w(x,y,t) – прогиб, х, y, t – координаты, время, q – поперечная распределенная нагрузка.

На нижнюю и верхнюю поверхность пластины действуют давления р₀ + р₁ и р₀ + р₂ жидкостей с плотностями ρ₁ и ρ₂ (рис. 1). Здесь р₀ – давление сборки, в частности атмосферное давление, действующее на все поверхности, р₁, р₂ – избыточные давления. При определении нагрузки q будем предполагать, что ρ₁, ρ₂ и р₁, р₂ являются постоянными и, вообще говоря, они могут быть равными или неравными соответственно.

Рис. 1. Элементы dx и dy срединной поверхности изогнутой пластины.

2. Несжимаемая среда. Предполагаем, что области, занятые жидкостями, простираются неограниченно, опоры не препятствуют свободному перетеканию жидкости вдоль пластины в направлении осей x и y. Возникающие в результате движения пластины давления на нижнюю и верхнюю поверхность обозначим через ${\overline{p}}_1$ и ${\overline{p}}_2$. Уравнения динамики несжимаемой жидкости в прямоугольных координатах x, y, z относительно потенциала скорости φ_i(x, y, z, t) имеют вид [1–3]:

 $\frac{{\partial }^2{\phi }_i}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\phi }_i}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{\phi }_i}{\partial z^2}=\text{0},{\overline{p}}_i=-{\rho }_i\frac{\partial {\phi }_i}{\partial t},i=\text{1}\text{,2}$. (2.1)

Задаются условия на поверхностях контакта со средой:

 $\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial t}\text{,}z=-\frac{h}{2},\frac{\partial {\phi }_2}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial t}\text{,}z=\frac{h}{2}$. (2.2)

На большом удалении от поверхности возмущения среды от пластины исчезают:

 $\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}\to \mathrm{0,}z\to -\infty ,\frac{\partial {\phi }_2}{\partial z}\to \mathrm{0,}z\to \infty$ (2.3)

Элементарные длины dx₁ и dx₂ нижней и верхней поверхностей, выраженные через длину dx срединной поверхности пластины, определяются по формулам (рис. 1a)

 $d{x}_1=\left(1+{\epsilon }_x\left(-\frac{h}{2}\right)\right)dx,d{x}_2=\left(1+{\epsilon }_x\left(\frac{h}{2}\right)\right)dx$, (2.4)

где деформации в соответствии с гипотезами Кирхгоффа [18] равны

 ${\epsilon }_x\left(-\frac{h}{2}\right)=\frac{h}{2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2},{\epsilon }_x\left(\frac{h}{2}\right)=-\frac{h}{2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}$. (2.5)

Аналогично определяются элементарные длины dy₁ и dy₂ нижней и верхней поверхностей по оси y, выраженные через длину dy срединной поверхности пластины (рис. 1б)

$d{y}_1=\left(1+{\epsilon }_y\left(-\frac{h}{2}\right)\right)dy,d{y}_2=\left(1+{\epsilon }_y\left(\frac{h}{2}\right)\right)dy$

и деформации в соответствии с гипотезами Кирхгоффа:

${\epsilon }_y\left(-\frac{h}{2}\right)=\frac{h}{2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2},{\epsilon }_y\left(\frac{h}{2}\right)=-\frac{h}{2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}$.

Распределенная сила q определяется аналогично работам [15, 16]:

$\begin{array}{l}qdxdy=\left(p_0+p_1+{\overline{p}}_1\right)d{x}_{1}d{y}_1-\left(p_0+p_2+{\overline{p}}_2\right)d{x}_{2}d{y}_2=\\ =\left(p_0+p_1+{\overline{p}}_1\right)\left(1+\frac{h}{2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{h}{2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+\frac{h^2}{4}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right)dxdy-\\ -\left(p_0+p_2+{\overline{p}}_2\right)\left(1-\frac{h}{2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}-\frac{h}{2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+\frac{h^2}{4}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right)dxdy,\end{array}$

откуда следует:

 $\begin{array}{c}q=p_1-p_2+\frac{\left(2p_0+p_1+p_2\right)h}{2}\cdot \left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right)+{\overline{p}}_1-\\ -{\overline{p}}_2+\frac{\left({\overline{p}}_1+{\overline{p}}_2\right)h}{2}\cdot \left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right)+\\ +\frac{\left(p_1-p_2\right)h^2}{4}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+\frac{\left({\overline{p}}_1-{\overline{p}}_2\right)h^2}{4}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}.\end{array}$

Слагаемыми, содержащими квадрат h, можно пренебречь. В линейной задаче также пренебрегаем слагаемым, содержащим произведение среднего динамического давления на сумму вторых производных от прогиба по координатам х, y. Тогда получим:

 $q=p_1-p_2+\frac{\left(2p_0+p_1+p_2\right)h}{2}\cdot \left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right)+{\overline{p}}_1-{\overline{p}}_2$. (2.6)

По условию прямоугольная пластина по осям x и y подвижно заделана на опоры, расположенные на равных расстояниях a и b. Это означает, что

 $\begin{array}{l}\frac{\partial w\left(x,y,t\right)}{\partial x}=\frac{{\partial }^{3}w\left(x,y,t\right)}{\partial x^3}=\mathrm{0,}\left|x\right|=\mathrm{0,}a,\text{2}a\mathrm{,...}\\ \frac{\partial w\left(x,y,t\right)}{\partial y}=\frac{{\partial }^{3}w\left(x,y,t\right)}{\partial y^3}=\mathrm{0,}\left|y\right|=\mathrm{0,}b,\text{2}b\mathrm{,...}\end{array}$ (2.7)

Разделяя переменные $w\left(x,y,t\right)=v\left(x,y\right)f\left(t\right)$ в уравнении (1.1) при q = 0, относительно функции $v\left(x,y\right)$, получим спектральную задачу:

$\begin{array}{l}\Delta \left(\Delta v\right)-{\lambda }^{2}v=0\\ \frac{\partial v\left(\mathrm{0,}y\right)}{\partial x}=\frac{{\partial }^{3}v\left(\mathrm{0,}y\right)}{\partial x^3}=\frac{\partial v\left(a,y\right)}{\partial x}=\frac{{\partial }^{3}v\left(a,y\right)}{\partial x^3}=\mathrm{0,}0\le y\le b\\ \frac{\partial v\left(x\mathrm{,0}\right)}{\partial y}=\frac{{\partial }^{3}v\left(x\mathrm{,0}\right)}{\partial y^3}=\frac{\partial v\left(x,b\right)}{\partial y}=\frac{{\partial }^{3}v\left(x,b\right)}{\partial y^3}=\mathrm{0,}0\le x\le a.\end{array}$

Собственные функции этой задачи определяются по формуле [23]

$v_{\text{00}}\left(x,y\right)=v_{00}=\frac{1}{\sqrt{ab}},v_{mn}\left(x,y\right)=\frac{2}{\sqrt{ab}}\text{cos}\frac{\pi mx}{a}\text{cos}\frac{\pi ny}{b},m,n=\mathrm{0,1,2,...}$, (2.8)

которые соответствуют собственным значениям:

 ${\lambda }_{mn}=\frac{{\pi }^2{m}^2}{a^2}+\frac{{\pi }^2{n}^2}{b^2},m,n=\mathrm{0,1,2,...}$ (2.9)

Отметим, что система собственных функций (2.8) является полной и образует ортонормированный базис в пространстве L₂(G), где G – область переменных (x, y): 0 < x < a, 0 < y < b.

Тогда изгибные колебания пластины будем искать по формуле:

$w\left(x,y,t\right)=W_{00}\left(t\right)v_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n\ne 0\end{array}}^N{W}_{mn}\left(t\right)v_{mn}\left(x,y\right)}$. (2.10)

Функции ${\phi }_i\left(x,y,z,t\right)$ будем искать исходя из условий (2.1), (2.3), (2.2) и (2.7) в виде:

 ${\phi }_i\left(x,y,z,t\right)={\Phi }_{i00}\left(z\right)v_{00}{g}_{00}\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>1\end{array}}^N{\Phi }_{imn}\left(z\right)v_{mn}\left(x,y\right)g_{mn}\left(t\right)},i=\mathrm{1,2}$, (2.11)

где ${\Phi }_{imn}\left(z\right),g_{mn}\left(t\right)$ – пока неизвестные функции.

Подставим (2.10) в уравнение Лапласа:

 $\begin{array}{l}\Delta {\phi }_i\left(x,y,z,t\right)=g_{00}\left(t\right)v_{00}\left(x,y\right)\frac{d^2{\Phi }_{i00}\left(z\right)}{d{z}^2}+\\ +{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>1\end{array}}^N{g}_{mn}\left(t\right)v_{mn}\left(x,y\right)\left[\frac{d^2{\Phi }_{imn}\left(z\right)}{d{z}^2}-\left(\frac{{\pi }^2{m}^2}{a^2}+\frac{{\pi }^2{n}^2}{b^2}\right){\Phi }_{imn}\left(z\right)\right]=0}.\end{array}$

Отсюда получим дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций ${\Phi }_{imn}\left(z\right)$:

 $\frac{d^2{\Phi }_{i00}\left(z\right)}{d{z}^2}=\mathrm{0,}\frac{d^2{\Phi }_{imn}\left(z\right)}{d{z}^2}-{\lambda }_{mn}^2{\Phi }_{imn}\left(z\right)=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,2}$. (2.12)

Дифференциальное уравнение (2.12) при m + n > 0 имеет общие решения:

$\begin{array}{l}{\Phi }_{1mn}\left(z\right)=C_{11mn}\exp \left({\lambda }_{mn}z\right)+C_{12mn}\exp \left(-{\lambda }_{mn}z\right)\\ {\Phi }_{2mn}\left(z\right)=C_{21mn}\exp \left({\lambda }_{mn}z\right)+C_{22mn}\exp \left(-{\lambda }_{mn}z\right),\end{array}$

а при m = n = 0

${\Phi }_{100}\left(z\right)=C_{1100}z+C_{1200},{\Phi }_{200}\left(z\right)=C_{2100}z+C_{2200}$,

где $C_{ijmn}i,j=\mathrm{1,2,}$ – произвольные постоянные. В силу условий (2.3) при m + n > 0 находим:

${\Phi }_{1mn}\left(z\right)=A_{1mn}\exp \left({\lambda }_{mn}z\right)\to \mathrm{0,}z\to -\infty ,{\Phi }_{2mn}\left(z\right)=A_{2mn}\exp \left(-{\lambda }_{mn}z\right)\to \mathrm{0,}z\to \infty$ ${\Phi }_{1mn}\left(z\right)=A_{1mn}\exp \left({\lambda }_{mn}z\right)\to \mathrm{0,}z\to -\infty ,{\Phi }_{2mn}\left(z\right)=A_{2mn}\exp \left(-{\lambda }_{mn}z\right)\to \mathrm{0,}z\to \infty$,

а при m = n = 0

${\Phi }_{100}\left(z\right)=A_{100},{\Phi }_{200}\left(z\right)=A_{200}$.

Здесь постоянные A_1mn и A_2mn – неизвестные, для определения которых воспользуемся условиями (2.2). Для этого воспользуемся формулой Тейлора для разложения функции ∂φ₁/∂z в окрестности точки z = 0:

$\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}=\frac{\partial {\phi }_1\left(x,y\mathrm{,0,}t\right)}{\partial z}+\frac{z}{1!}\frac{{\partial }^2{\phi }_1\left(x,y\mathrm{,0,}t\right)}{\partial z^2}+\frac{z^2}{2!}\frac{{\partial }^3{\phi }_1\left(x,y,\theta ,t\right)}{\partial z^3},0<\theta <z$. (2.13)

Пренебрегая последним слагаемым с учетом малости h² и первого условия из (2.2), имеем:

 $\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}=\frac{\partial {\phi }_1\left(x,y\mathrm{,0,}t\right)}{\partial z}-\frac{h}{2}\frac{{\partial }^2{\phi }_1\left(x,y\mathrm{,0,}t\right)}{\partial z^2}=\frac{\partial w}{\partial t}$. (2.14)

Подставляя в (2.14) функции (2.11), (2.10), получим:

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{\lambda }_{mn}{A}_{1mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)g_{mn}\left(t\right)-\frac{h}{2}}{A}_{1mn}{\lambda }_{mn}^2{v}_{mn}\left(x,y\right)g_{mn}\left(t\right)=\frac{d{W}_{00}\left(t\right)}{dt}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{d{W}_{mn}\left(t\right)}{dt}{v}_{mn}\left(x,y\right)}$

или

 ${\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{A}_{1mn}{\lambda }_{mn}\left(1-\frac{{\lambda }_{mn}h}{2}\right)v_{mn}\left(x,y\right)g_{mn}\left(t\right)}=\frac{d{W}_{00}\left(t\right)}{dt}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{d{W}_{mn}\left(t\right)}{dt}{v}_{mn}\left(x,y\right)}$. (2.15)

При выполнении условий

 $\frac{d{W}_{00}\left(t\right)}{dt}=\mathrm{0,}\frac{d{W}_{mn}\left(t\right)}{dt}={\overline{\omega }}_{mn}{g}_{mn}\left(t\right),m+n>0$ (2.16)

из равенства (2.15) найдем:

 $A_{1mn}=\frac{{\overline{\omega }}_{mn}}{{\lambda }_{mn}}{\left(1-\frac{{\lambda }_{mn}h}{2}\right)}^{-1},m,n=\mathrm{0,1,2,...,}m+n>0$. (2.17)

Аналогично находим постоянные:

 $A_{2mn}=-\frac{{\overline{\omega }}_{mn}}{{\lambda }_{mn}}{\left(1-\frac{{\lambda }_{mn}h}{2}\right)}^{-1},m,n=\mathrm{0,1,2,...,}m+n>0$. (2.18)

Таким образом, у функций ${\phi }_i\left(x,y,z,t\right)$ найдены постоянные A_1mn и A_2mn при m + n > 0, которые определяются по формулам (2.17) и (2.18), а A₁₀₀ и A₂₀₀ остаются произвольными постоянными.

Также, используя формулы (2.13), (2.16), (2.17) и (2.18), определим динамические давления:

 $\begin{array}{c}{\overline{p}}_1=-{\rho }_1\left[\frac{\partial {\phi }_1\left(x,y\mathrm{,0,}t\right)}{\partial t}-\frac{h}{2}\frac{{\partial }^2{\phi }_1\left(x,y\mathrm{,0,}t\right)}{\partial t\partial z}\right]=\\ =-{\rho }_1\left\{A_{100}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}+\right.\\ +\left[{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{A}_{1mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d{g}_{mn}\left(t\right)}{dt}}-\frac{h}{2}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{A}_{1mn}{\lambda }_{mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d{g}_{mn}\left(t\right)}{dt}}\right]=\\ =-{\rho }_1\left[A_{100}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{A}_{1mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d{g}_{mn}\left(t\right)}{dt}}\left(1-\frac{{\lambda }_{mn}h}{2}\right)\right]=\\ =-{\rho }_1\left[A_{100}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{{\overline{\omega }}_{mn}}{{\lambda }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d{g}_{mn}\left(t\right)}{dt}}\right]=\\ =-{\rho }_1\left[A_{100}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{1}{{\lambda }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}}\right]\end{array}$ (2.19)

$\begin{array}{c}{\overline{p}}_2=-{\rho }_2\left[\left[\frac{\partial {\phi }_2\left(x,y\mathrm{,0,}t\right)}{\partial t}+\frac{h}{2}\frac{{\partial }^2{\phi }_2\left(x,y\mathrm{,0,}t\right)}{\partial t\partial z}\right]\right]=\\ =-{\rho }_2\left\{A_{200}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}+\right.\\ +\left.\left[\sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{A}_{2mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d{g}_{mn}\left(t\right)}{dt}-\frac{h}{2}\sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{A}_{2mn}{\lambda }_{mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d{g}_{mn}\left(t\right)}{dt}\right]\right\}=\\ =-{\rho }_2\left\{A_{200}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}+\sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{A}_{2mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d{g}_{mn}\left(t\right)}{dt}\left(1-\frac{{\lambda }_{mn}h}{2}\right)\right\}=\end{array}$

$\begin{array}{c}=-{\rho }_2\left\{A_{200}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}-\sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{{\overline{\omega }}_{mn}}{{\lambda }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d{g}_{mn}\left(t\right)}{dt}\right\}=\\ =-{\rho }_2\left\{A_{200}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}-\sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{1}{{\lambda }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}\right\}.\end{array}$ (2.20)

Теперь на основании формулы (2.6) с учетом (2.19), (2.20) найдем:

 $\begin{array}{l}q=p_1-p_2+\left({\rho }_2{A}_{200}-{\rho }_1{A}_{100}\right)v_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}+\\ +\frac{\left(2p_0+p_1+p_2\right)h}{2}\cdot \left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right)-\\ -\left({\rho }_1+{\rho }_2\right){\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{1}{{\lambda }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}}.\end{array}$ (2.21)

Подставляя выражение (2.21) в уравнение (1.1), получим:

$\begin{array}{c}D\left(\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}\right)+\rho h\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-\left(2p_0+p_1+p_2\right)\frac{h}{2}\cdot \left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right)+\\ +\left({\rho }_1+{\rho }_2\right){\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{1}{{\lambda }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}}-\\ -\left({\rho }_2{A}_{200}-{\rho }_1{A}_{100}\right)v_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}=p_1-p_2.\end{array}$ (2.22)

Подставляя в (2.22) функции (2.7) при p₁ – p₂ = p, будем иметь:

$\begin{array}{c}D\left[{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\left(\frac{{\pi }^4{m}^4}{a^4}+2\frac{{\pi }^4{m}^2{n}^2}{a^2{b}^2}+\frac{{\pi }^4{n}^4}{b^4}\right)v_{mn}\left(x,y\right)W_{mn}\left(t\right)}\right]+\\ +\rho h{\displaystyle \sum _{m,n=1}^N{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}}+\\ +\left(2p_0+p_1+p_2\right)\frac{h}{2}\cdot {\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{\lambda }_{mn}^2{v}_{mn}\left(x,y\right)W_{mn}\left(t\right)}+\\ +\left({\rho }_1+{\rho }_2\right){\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{1}{{\lambda }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}}-\\ -\left({\rho }_2{A}_{200}-{\rho }_1{A}_{100}\right)v_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}=\\ ={\displaystyle \sum _{m,n=0}^N{p}_{mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)}=p_{00}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{p}_{mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)},\end{array}$

где

$p_{mn}={\displaystyle \underset{G}{\iint }p{v}_{mn}\left(x,y\right)dxdy}=\left\{\begin{array}{c}p\sqrt{ab},m=n=0\\ \mathrm{0,}m+n>0\end{array}\right.$.

Отсюда в силу полноты системы функций (2.8) в L₂(G) получим дифференциальные уравнения:

$\left({\rho }_1{A}_{100}-{\rho }_2{A}_{200}\right)\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}=p_{00},m=n=0$

$\left[D{\lambda }_{mn}^4+\left(2p_0+p_1+p_2\right)\frac{h}{2}{\lambda }_{mn}^2\right]W_{mn}\left(t\right)+\left(\rho h+\frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{{\lambda }_{mn}}\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}=\mathrm{0,}m+n>0$.

Из первого уравнения при условии ${\rho }_1{A}_{100}-{\rho }_2{A}_{200}\ne 0$ находим:

$g_{00}\left(t\right)=\frac{p_{00}t}{{\rho }_1{A}_{100}-{\rho }_2{A}_{200}}+C_{00}$,

где $C_{00}$ – произвольная постоянная. Второе дифференциальное уравнение перепишем в виде:

 $\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}+{\omega }_{mn}^2{W}_{mn}\left(t\right)=0$, (2.23)

где частота ω_mn колебаний определяется по формуле:

 ${\omega }_{mn}^2=\frac{D{\lambda }_{mn}^4+\left(2p_0+p_1+p_2\right)\frac{h}{2}{\lambda }_{mn}^2}{\rho h+\frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{{\lambda }_{mn}}}$. (2.24)

Формулу (2.24) перепишем в следующей форме:

 ${\omega }_{mn}^2={\omega }_{0mn}^2\frac{1+{\alpha }_{mn}}{1+{\mu }_{mn}}$, (2.25)

здесь

${\omega }_{0mn}^2=\frac{D{\lambda }_{mn}^4}{\rho h},{\alpha }_{mn}=\frac{\left(p_0+\left(p_1+p_2\right)/2\right)h}{D{\lambda }_{mn}^2},{\mu }_{mn}=\frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{\rho h{\lambda }_{mn}}$.

Здесь ω_0mn – частота пластины, не контактирующей с жидкостью. Параметры α_mn и µ_mn определяют влияние давления и плотности окружающей среды. Таким образом, давление повышает, плотность понижает собственную частоту пластины. При α_mn << 1, µ_mn << 1 их влияние исчезает. Через исходные данные параметры α_mn, µ_mn принимают вид:

${\alpha }_{mn}=\frac{12\left(1-{\nu }^2\right)\left(p_0+\left(p_1+p_2\right)/2\right)a^2{b}^2}{{\pi }^{2}E{h}^2\left(m^2{b}^2+n^2{a}^2\right)},{\mu }_{mn}=\frac{\left({\rho }_1+{\rho }_2\right)ab}{\pi \rho h\sqrt{m^2{b}^2+n^2{a}^2}}.$

При E = 2·10⁵МПа, ν = 0.3, ρ = 7.8·10³ кг/м³, ρ₁ = ρ₂ = 10³ кг/м³, p₀ = 0, p₁ = 1 МПа, p₂ = 2 МПа, a = 0.20 м, b = 0.20 м, h = 0.001м, m = 1, n = 1, α₁₁ = 0.16, µ₁₁ = 11.5, m = 2, n = 1, α₂₁ = 0.06, µ₂₁ = 7.3, α₁₂ = α₂₁, µ₁₂ = µ₂₁, m = 2, n = 2, α₂₂ = 0.04, µ₂₂ = 5.77. Следовательно, влияние давления незначительное, имеется значительное снижение собственной частоты за счет присоединенной массы. По модели несжимаемой жидкости в случае воды имеется только снижение собственной частоты. Это известный результат [1–3], однако учет влияния давления вносит некоторое изменение частоты.

Общая оценка рассматриваемых эффектов состоит в том, что при α_mn > µ_mn преобладает повышающее частоту влияние давления среды, а при α_mn < µ_mn – понижающее влияние плотности или присоединенной массы. Через входные параметры эти неравенства имеют вид:

$\frac{12\left(1-{\nu }^2\right)\left(p_0+\left(p_1+p_2\right)/2\right)\rho ab}{\pi Eh\left({\rho }_1+{\rho }_2\right)\sqrt{m^2{a}^2+n^2{b}^2}}>\mathrm{1,}\frac{12\left(1-{\nu }^2\right)\left(p_0+\left(p_1+p_2\right)/2\right)\rho ab}{\pi Eh\left({\rho }_1+{\rho }_2\right)\sqrt{m^2{a}^2+n^2{b}^2}}<1$.

Первый случай реализуется для весьма тонких пластин из материала с малым модулем упругости и при предельно высоком давлении в контактирующей среде. Второй случай всегда реализуется при невысоких давлениях в плотной среде.

Далее найдем формулу для определения колебаний пластины с учетом найденных частот ω_mn. Построим общее решение дифференциального уравнения (2.23):

$W_{mn}\left(t\right)=C_{1mn}\cos {\omega }_{mn}t+C_{2mn}\sin {\omega }_{mn}t$,

где $C_{1mn}$ и $C_{2mn}$ – произвольные постоянные. Тогда функция (2.10) принимает вид:

 $\begin{array}{c}w\left(x,y,t\right)=W_{00}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{W}_{mn}\left(t\right)v_{mn}\left(x,y\right)}=\\ =W_{00}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\left(C_{1mn}\cos {\omega }_{mn}t+C_{2mn}\sin {\omega }_{mn}t\right)v_{mn}\left(x,y\right)}.\end{array}$ (2.26)

Чтобы найти в формуле (2.26) постоянные C_1mn, C_2mn, нужно задать начальные условия:

 $w\left(x,y\mathrm{,0}\right)=\tau \left(x,y\right),\frac{\partial w\left(x,y\mathrm{,0}\right)}{\partial t}=\psi \left(x,y\right)$, (2.27)

Удовлетворим функцию (2.26) условиям (2.27):

 $W_{00}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{C}_{1mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)}=\tau \left(x,y\right)={\tau }_{00}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{\tau }_{mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)}$, (2.28)

 ${\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{C}_{2mn}{\omega }_{mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)}=\psi \left(x,y\right)={\psi }_{00}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{\psi }_{mn}{v}_{mn}\left(x,y\right)}$ (2.29)

где коэффициенты t_mn и y_mn разложения функций $\tau \left(x,y\right)$ и $\psi \left(x,y\right)$ в ряд по системе функций (2.8) определяются по формулам:

 ${\tau }_{00}={\displaystyle \underset{G}{\iint }\tau \left(x,y\right)v_{00}dxdy,}{\tau }_{mn}={\displaystyle \underset{G}{\iint }\tau \left(x,y\right)v_{mn}\left(x,y\right)dxdy,}m+n>0$, (2.30)

${\psi }_{00}={\displaystyle \underset{G}{\iint }\psi \left(x,y\right)v_{00}dxdy,}{\psi }_{mn}=\frac{1}{{\omega }_{mn}}{\displaystyle \underset{G}{\iint }\psi \left(x,y\right)v_{mn}\left(x,y\right)dxdy,}m+n>0$. (2.31)

Тогда из равенств (2.28) и (2.29) в силу полноты и ортонормированности системы (2.8) в пространстве L₂(G) находим:

$W_{00}={\tau }_{00},{\psi }_{00}=0;C_{1mn}={\tau }_{mn},C_{2mn}={\psi }_{mn}/{\omega }_{mn}$.

Замечание. Из разложений (2.28) и (2.29) видно, что функции $\tau \left(x,y\right)$ и $\psi \left(x,y\right)$ должны удовлетворять условиям (2.7) и обладать гладкостью функций (2.8).

Таким образом, нами установлены следующие утверждения.

Утверждение 1. Если параметры α_mn и µ_mn, определяющие соответственно влияние давления и плотности окружающей среды, то при

а) α_mn << 1, µ_mn << 1 или α_mn = µ_mn их влияние исчезает;

б) α_mn > µ_mn преобладает повышающее частоту ω_mn колебаний влияние давления среды;

в) α_mn < µ_mn преобладает понижающее частоту ω_mn колебаний влияние плотности среды.

Утверждение 2. Если начальные функции $\tau \left(x,y\right)$ и $\psi \left(x,y\right)$ удовлетворяют условиям замечания и ${\psi }_{00}=0$, то колебания прямоугольной однородной пластины в указанной среде при избыточных давлениях p₁, p₂ и плотностях ${\rho }_1,{\rho }_2$, удовлетворяющих условию ${\rho }_1{A}_{100}-{\rho }_2{A}_{200}\ne 0$, определяется по формуле

$w\left(x,y,t\right)={\tau }_{00}{v}_{00}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\left({\tau }_{mn}\cos {\omega }_{mn}t+\frac{1}{{\omega }_{mn}}{\psi }_{mn}\sin {\omega }_{mn}t\right)v_{mn}\left(x,y\right)}$. (2.32)

Собственные колебания пластины находятся по формуле:

 $w_{mn}\left(x,y,t\right)=\left({\tau }_{mn}\cos {\omega }_{mn}t+\frac{1}{{\omega }_{mn}}{\psi }_{mn}\sin {\omega }_{mn}t\right)v_{mn}\left(x,y\right)$, (2.33)

а собственные частоты w_mn по формуле (2.25) при условиях (2.7) и (2.27), где коэффициенты t_mn, y_mn определяются соответственно по формулам (2.30), (2.31).

3. Сжимаемая среда. В случае сжимаемой среды вместо уравнений (2.1) имеем трехмерные волновые уравнения [1–3]

 $\frac{{\partial }^2{\phi }_i}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\phi }_i}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{\phi }_i}{\partial z^2}-\frac{1}{c_i^2}\cdot \frac{{\partial }^2{\phi }_i}{\partial t^2}=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,2}$  (3.1)

 ${\overline{p}}_i=-{\rho }_i\frac{\partial {\phi }_i}{\partial t},c_i^2={\kappa }_i\frac{p_i}{{\rho }_i},i=\mathrm{1,2}$ (3.2)

где c_i – скорость звука, ${\kappa }_i$ – коэффициент адиабаты. В отличие от случая несжимаемой жидкости здесь давление и плотность не являются независимыми, а связаны изотермическим законом.

На основании функции (2.8) аналогично (2.11) функции ${\phi }_i\left(x,y,z,t\right)$ будем искать в виде:

${\phi }_i\left(x,y,z,t\right)={\Phi }_{i00}\left(z\right)v_{00}{g}_{00}\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>1\end{array}}^N{\Phi }_{imn}\left(z\right)v_{mn}\left(x,y\right)g_{mn}\left(t\right)},i=\mathrm{1,2,...}$ (3.3)

Подставляя (3.3) в волновое уравнение (3.1), получим:

$\begin{array}{l}\frac{d^2{\Phi }_{i00}\left(z\right)}{d{z}^2}{v}_{00}{g}_{00}\left(t\right)+\\ +{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N{\Phi }_{imn}\left(z\right)v_{mn}\left(x,y\right)g_{mn}\left(t\right)\left[\begin{array}{l}\frac{d^2{\Phi }_{imn}\left(z\right)}{d{z}^2}\frac{1}{{\Phi }_{imn}\left(z\right)}-\\ -{\lambda }_{mn}^2-\frac{1}{c_i^2}\frac{d^2{g}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}\frac{1}{g_{mn}\left(t\right)}\end{array}\right]=\mathrm{0,}}i=\mathrm{1,2}\end{array}$. (3.4)

В силу (2.15) и (2.22): $\frac{d^2{g}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}=-{\omega }_{mn}^2{g}_{mn}\left(t\right)$, тогда из (3.4) имеем:

 $\frac{d^2{\Phi }_{i00}\left(z\right)}{d{z}^2}=\mathrm{0,}\frac{d^2{\Phi }_{imn}\left(z\right)}{d{z}^2}-{\kappa }_{mn}^2{\Phi }_{imn}\left(z\right)=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,2}$, (3.5)

где

${\kappa }_{mn}^2={\lambda }_{mn}^2-\frac{{\omega }_{mn}^2}{c_i^2},i=\mathrm{1,2}$.

При условии k_mn > 0 дифференциальное уравнение (3.5) при m + n > 0 имеет общее решение:

${\Phi }_{imn}\left(z\right)=C_{i1mn}\exp \left({\kappa }_{mn}z\right)+C_{i2mn}\exp \left(-{\kappa }_{mn}z\right)$,

а при m = n = 0

${\Phi }_{100}\left(z\right)=C_{1100}z+C_{1200},{\Phi }_{200}\left(z\right)=C_{2100}z+C_{2200}$,

где $C_{ijmn}i,j=\mathrm{1,2,}$ – произвольные постоянные. В силу условий (2.3) при m + n > 0 найдем:

${\Phi }_{1mn}\left(z\right)=B_{1mn}\exp \left({\kappa }_{mn}z\right)\to \mathrm{0,}z\to -\infty ,{\Phi }_{2mn}\left(z\right)=B_{2mn}\exp \left(-{\kappa }_{mn}z\right)\to \mathrm{0,}z\to \infty$,

а при m = n = 0

${\Phi }_{100}\left(z\right)=B_{100},{\Phi }_{200}\left(z\right)=B_{200}$,

где постоянные B_1mn и B_2mn найдем из условий (2.2) аналогично вышеизложенному:

$B_{1mn}=\frac{{\overline{\omega }}_{mn}{k}_1}{{\kappa }_{mn}}{\left(1-\frac{{\kappa }_{mn}h}{2}\right)}^{-1},B_{2mn}=-\frac{{\overline{\omega }}_{mn}{k}_2}{{\kappa }_{mn}}{\left(1-\frac{{\kappa }_{mn}h}{2}\right)}^{-1},m+n>0$. (3.6)

Тем самым функции (3.3) построены, где B_1mn и B_2mn при m + n > 0 находятся по формулам (3.6), а постоянные B₁₀₀ и B₂₀₀ остаются произвольными постоянными.

Далее аналогично пункту 2 найдем:

 ${\overline{p}}_1=-{\rho }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial t}=-{\rho }_1\left[B_{100}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{1}{{\kappa }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}}\right]$

 ${\overline{p}}_2=-{\rho }_2\frac{\partial {\phi }_2}{\partial t}=-{\rho }_2\left[B_{200}{v}_{00}\frac{d{g}_{00}\left(t\right)}{dt}-{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}m,n=0\\ m+n>0\end{array}}^N\frac{1}{{\kappa }_{mn}}{v}_{mn}\left(x,y\right)\frac{d^2{W}_{mn}\left(t\right)}{d{t}^2}}\right]$