The elastic constants of an isotropic medium can have arbitrary values

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

Using the example of the matrix of elastic constants of an isotropic material, it is shown that the Young’s modulus, shear modulus, volume modulus, and Poisson’s ratio can take any real values. In this case, the positive definiteness of the matrix of elastic constants is not mandatory, as is traditionally assumed. The positivity of the specific strain energy also occurs when the matrix of elastic constants is not positive definite. It is sufficient for the invertibility of the relations of Hooke’s law to require the non-degeneracy of the matrix of elasticity constants. Graphs of Young’s modules, volume and Poisson’s ratio depending on the ratio of Lame constants are given.

作者简介

N. Ostrosablin

Institute of Hydrodynamics named after M.A. Lavrentiev, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: o.n.ii@yandex.ru
Novosibirsk, Russia

参考

  1. Boulanger P., Hayes M. On Young’s modulus for anisotropic media // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. № 3. P. 819–820. https://doi.org/10.1115/1.2897022
  2. Boulanger P., Hayes M. Poisson’ ratio for orthorhombic materials // J. Elast. 1998. V. 50. P. 87–89. https://doi.org/10.1023/A:1007468812050
  3. Cazzani A., Rovati M. Extrema of Young’s modulus for cubic and transversely isotropic solids // Intern. J. Solids Struct. 2003. V. 40. № 7. P. 1713–1744. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00668-6
  4. Ting T.C.T. The stationary values of Young’s modulus for monoclinic and triclinic materials // J. Mech. 2005. V. 21. № 4. P. 249–253. https://doi.org/10.1017/S1727719100000691
  5. Ting T.C.T. Explicit expression of the stationary values of Young’s modulus and the shear modulus for anisotropic elastic materials // J. Mech. 2005. V. 21. № 4. P. 255–266. https://doi.org/10.1017/S1727719100000708
  6. Norris A.N. Extreme values of Poisson’s ratio and other engineering moduli in anisotropic materials // J. Mech. Mater. Struct. 2006. V. 1. № 4. P. 793–812. https://doi.org/10.2140/jomms.2006.1.793
  7. Norris A.N. Poisson’s ratio in cubic materials // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 2006. V. 462. № 2075. P. 3385–3405. https://doi.org/10.1098/rspa.2006.1726
  8. Hayes M., Shuvalov A. On the extreme values of Young’s modulus, the shear modulus, and Poisson’s ratio for cubic materials // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. V. 65. № 3. P. 786–787. https://doi.org/10.1115/1.2789130
  9. Ting T.C.T. Very large Poisson’s ratio with a bounded transverse strain in anisotropic elastic materials // J. Elast. 2004. V. 77. № 2. P. 163–176. https://doi.org/10.1007/s10659-005-2156-6
  10. Ting T.C.T., Chen T. Poisson’s ratio for anisotropic elastic materials can have no bounds // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2005. V. 58. № 1. P. 73–82. https://doi.org/10.1093/qjmamj/hbh021
  11. Tarumi R., Ledbetter H., Shibutani Y. Some remarks on the range of Poisson’s ratio in isotropic linear elasticity // Philosophical Magazine. 2012. V. 92. № 10. P. 1287–1299. https://doi.org/10.1080/14786435.2011.644816
  12. Лисовенко Д.С. Аномальные величины коэффициента Пуассона анизотропных кристаллов // Деформация и разрушение материалов. 2011. № 7. С. 1–10.
  13. Епишин А.И., Лисовенко Д.С. Экстремальные значения коэффициентов Пуассона кубических кристаллов // Журн. техн. физики. 2016. Т. 86. № 10. С. 74–82.
  14. Остросаблин Н.И. Условия экстремальности постоянных упругости и главные оси анизотропии // Прикл. механика и техн. физика. 2016. Т. 57. № 4. С. 192–210. https://doi.org/10.15372/PMTF20160419
  15. Остросаблин Н.И. О наитеснейших границах констант упругости и приведении удельной энергии деформации к каноническому виду // Изв. АН СССР. Механика тверд. тела. 1989. № 2. С. 90–94.
  16. Остросаблин Н.И. Наитеснейшие границы изменения практических констант упругости анизотропных материалов // Прикл. механика и техн. физика. 1992. № 1. С. 107–114.
  17. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикл. механика и техн. физика. 2008. Т. 49. № 6. С. 131–151.
  18. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
  19. Остросаблин Н.И. Классы симметрии тензоров анизотропии квазиупругих материалов и обобщение подхода Кельвина // Прикл. механика и техн. физика. 2017. Т. 58. № 3. С. 108–129. https://doi.org/10.15372/PMTF20170312
  20. Остросаблин Н.И. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических сингоний // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1986. Вып. 75. С. 113–125.
  21. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
  22. Чернышев Г.Н. Взаимное обобщение уравнений упругого и гравитационного полей на основе механики деформируемых тел // Изв. АН. Механика тверд. тела. 2002. № 2. С. 86–100.
  23. Чернышев Г.Н. Упругость, гравитация, электродинамика. М.: Наука, 2003. 144 с.
  24. Букреева К.А., Бабичева Р.И., Дмитриев С.В., Zhou K., Мулюков Р.Р. Отрицательная жесткость нанопленки интерметаллида FeAl // Физика тверд. тела. 2013. Т. 55. № 9. С. 1847–1851.
  25. Lakes R., Wojciechowski K.W. Negative compressibility, negative Poisson’s ratio , and stability // Physica Status Solidi. B. 2008. V. 245. № 3. P. 545–551. https://doi.org/10.1002/pssb.200777708
  26. Wu Y., Lai Y., Zhang Z.-Q. Elastic metamaterials with simultaneously negative effective shear modulus and mass density // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. № 10. P. 105506-1–105506-5. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.105506
  27. Zadpoor A.A. Mechanical meta-materials // Mater. Horiz. 2016. V. 3. № 3. P. 371–381. https://doi.org/10.1039/C6MH00065G
  28. Yu X., Zhou J., Liang H. et al. Mechanical metamaterials associated with stiffness, rigidity and compressibility. A brief review // Progress in Materials Science. 2018. V. 94. P. 114–173. https://doi.org/10.1016/j.pmatsci.2017.12.003
  29. Остросаблин Н.И. Единственность решения граничных задач статических уравнений теории упругости с несимметричной матрицей модулей упругости // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25. № 4. С. 107–115. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2022.25.409
  30. Cairns A.B., Catafesta J., Levelut C. et al. Giant negative linear compressibility in zinc dicyanoaurate // Nat. Mater. 2013. V. 12. P. 212–216. https://doi.org/10.1038/nmat3551
  31. Остросаблин Н.И. О функциональной связи двух симметричных тензоров второго ранга // Прикл. механика и техн. физика. 2007. Т. 48. № 5. С. 134–137.
  32. Остросаблин Н.И. Функции кинетических напряжений в механике сплошных сред // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2007. Вып. 125. С. 76–116.
  33. Pipkin A.C. Constraints in linearly elastic materials // J. Elast. 1976. V. 6. № 2. P. 179–193. https://doi.org/10.1007/BF00041785
  34. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Модуль сдвига кубических кристаллов // Письма о материалах. 2012. Т. 2. С. 21–24.
  35. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Komarova M.A., Lisovenko D.S. Extreme values of the shear modulus for hexagonal crystals // Scripta Materialia. 2017. V. 140. P. 55–58. https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2017.07.002
  36. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Extreme values of Young’s modulus and Poisson’s ratio of hexagonal crystals // Mechanics of Materials. 2019. V. 134. P. 1–8. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2019.03.017
  37. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Ауксетики среди материалов с кубической анизотропией // Изв. РАН. МТТ. 2020. № 4. С. 7–24. https://doi.org/10.31857/S0572329920040054
  38. Gorodtsov V.A., Tkachenko V.G., Lisovenko D.S. Extreme values of Young’s modulus of tetragonal crystals // Mechanics of Materials. 2021. V. 154. P. 103724. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2020.103724
  39. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. The extreme values of Young’s modulus and the negative Poisson’s ratios of rhombic crystals // Crystals. 2021. V. 11. № 8. P. 863. https://doi.org/10.3390/cryst11080863
  40. Volkov M.A. Stationary Points of Poisson’s Ratio of Six-Constant Tetragonal Crystals AT Particular Orientations // Mech. Solids. 2024. V. 59. P. 3254–3265. https://doi.org/10.1134/S0025654424606244
  41. Boulanger P., Hayes M. On Young’s modulus for anisotropic media // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. № 3. P. 819820. https://doi.org/10.1115/1.2897022
  42. Boulanger P., Hayes M. Poisson’ ratio for orthorhombic materials // J. Elast. 1998. V. 50. № 1. P. 8789. https://doi.org/10.1023/A:1007468812050
  43. Cazzani A., Rovati M. Extrema of Young’s modulus for cubic and transversely isotropic solids // Intern. J. Solids Struct. 2003. V. 40. № 7. P. 17131744. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00668-6
  44. Ting T.C.T. The stationary values of Young’s modulus for monoclinic and triclinic materials // J. Mech. 2005. V. 21. № 4. P. 249253. https://doi.org/10.1017/S1727719100000691
  45. Ting T.C.T. Explicit expression of the stationary values of Young’s modulus and the shear modulus for anisotropic elastic materials // J. Mech. 2005. V. 21. № 4. P. 255266. https://doi.org/10.1017/S1727719100000708
  46. Norris A.N. Extreme values of Poisson’s ratio and other engineering moduli in anisotropic materials // J. Mech. Mater. Struct. 2006. V. 1. № 4. P. 793812. https://doi.org/10.2140/jomms.2006.1.793
  47. Norris A.N. Poisson’s ratio in cubic materials // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 2006. V. 462. № 2075. P. 33853405. https://doi.org/10.1098/rspa.2006.1726
  48. Hayes M., Shuvalov A. On the extreme values of Young’s modulus, the shear modulus, and Poisson’s ratio for cubic materials // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. V. 65. № 3. P. 786787. https://doi.org/10.1115/1.2789130
  49. Ting T.C.T. Very large Poisson’s ratio with a bounded transverse strain in anisotropic elastic materials // J. Elast. 2004. V. 77. № 2. P. 163176. https://doi.org/10.1007/s10659-005-2156-6
  50. Ting T.C.T., Chen T. Poisson’s ratio for anisotropic elastic materials can have no bounds // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2005. V. 58. № 1. P. 7382. https://doi.org/10.1093/qjmamj/hbh021
  51. Tarumi R., Ledbetter H., Shibutani Y. Some remarks on the range of Poisson’s ratio in isotropic linear elasticity // Philosophical Magazine. 2012. V. 92. № 10. P. 12871299. https://doi.org/10.1080/14786435.2011.644816
  52. Lisovenko D.S. Anomal’nye velichiny koephphitsienta Puassona anizotropnykh kristallov [Anomalous values of Poisson’s ratio of anisotropic crystals] // Deformatsiya i razrusheniye materialov. 2011. № 7. p. 110 (In Russian).
  53. Epishin A.I., Lisovenko D.S. Extreme values of the Poisson’s ratio of cubic crystals // Technical Physics. 2016. V. 61. P. 15161524. https://doi.org/10.1134/S1063784216100121
  54. Ostrosablin N.I. Extreme conditions of elastic constants and principal axes of anisotropy. J. Appl. Mech. Tech. Phy. 2016. V. 57. P. 740756. https://doi.org/10.1134/S0021894416040192
  55. Ostrosablin N.I. O naitesneyshikh granitsakh konstant uprugosti i privedenii udel’noy energii deformatsii k kanonicheskomu vidu [On the most restrictive bounds on elastic constants and the reduction of speci c deformation energy to canonical form] // Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tvyordogo tela. 1989. № 2. P. 9094 (In Russian).
  56. Ostrosablin N.I. The most restrictive bounds on change in the applied elastic constants for anisotropic materials. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 1992. V. 33. P. 95101. https://doi.org/10.1007/BF00864513
  57. Annin B.D., Ostrosablin N.I. Anisotropy of elastic properties of materials. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2008. V. 49. P. 998 1014. https://doi.org/10.1007/s10808-008-0124-1
  58. Truesdell C. A first course in rational continuum mechanics // The John Hopkins University. Baltimore, Maryland. 1972.
  59. Ostrosablin N.I. Symmetry classes of the anisotropy tensors of quasielastic materials and a generalized Kelvin approach. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2017. V. 58. P. 469–488. https://doi.org/10.1134/S0021894417030129
  60. Ostrosablin N.I. Sobstvennye moduli uprugosti i sostoyaniya dlya materialov kristallographicheskikh singoniy [Elasticity eigenvalues and eigenvectors for the materials of crystallographic singonium]. Novosibirsk: Dinamika sploshnoy sredy. 1986. V. 75. P. 113125 (In Russian).
  61. Lurie A.I. Theory of elasticity. Springer Science; Business Media, 2010.
  62. Chernyshev G.N. Mutual generalization of elastic and gravitational eld equations on the basis of solid mechanics. Mech. Solids, 2002. V. 37. № 2. P. 7081.
  63. Chernyshev G.N. Uprugost’, gravitatsiya, elektrodinamika [Elasticity, gravity, electrodynamics]. Moscow: Nauka, 2003. 144 p. (In Russian).
  64. Bukreeva K.A., Babicheva R.I., Dmitriev S.V. et al. Negative sti ness of the FeAl intermetallic nano lm // Phys. Solid State. 2013. V. 55. P. 19631967. https://doi.org/10.1134/S1063783413090072
  65. Lakes R., Wojciechowski K.W. Negative compressibility, negative Poisson’s ratio, and stability // Physica Status Solidi. B. 2008. V. 245. № 3. P. 545551. https://doi.org/10.1002/pssb.200777708
  66. Wu Y., Lai Y., Zhang Z.-Q. Elastic metamaterials with simultaneously negative e active shear modulus and mass density // Physical Review Letters. 2011. V. 107. № 10. P. 105506–1105506-5. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.105506
  67. Zadpoor A.A. Mechanical meta-materials // Materials Horizons. 2016. V. 3. № 5. P. 371381. https://doi.org/10.1039/C6MH00065G
  68. Yu X., Zhou J., Liang H. et al. Mechanical metamaterials associated with stiffness, rigidity and compressibility. A brief review // Progress in Materials Science. 2018. V. 94. P. 114173. https://doi.org/10.1016/j.pmatsci.2017.12.003
  69. Ostrosablin N.I. Uniqueness of the Solution of Boundary Value Problems for the Static Equations of Elasticity Theory with a Nonsymmetric Matrix of Elastic Moduli. J. Appl. Ind. Math. 2022. V. 16. P. 713719. https://doi.org/10.1134/S1990478922040123
  70. Cairns A.B., Catafesta J., Levelut C. et al. Giant negative linear compressibility in zinc dicyanoaurate // Nat. Mater. 2013. V. 12. P. 212216. https://doi.org/10.1038/nmat3551
  71. Ostrosablin N.I. Functional relation between two symmetric second-rank tensors // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2007. V. 48. P. 734–736. https://doi.org/10.1007/s10808-007-0094-8
  72. Ostrosablin N.I. Funktsii kineticheskikh napryazheniy v mekhanike sploshnykh sred [Functions of kinetic stresses in the mechanics of continuous media]. Novosibirsk: Dinamika sploshnoy sredy, 2007. V. 125. P. 76116 (In Russian).
  73. Pipkin A.C. Constraints in linearly elastic materials // J. Elast. 1976. V. 6. № 2. P. 179–193. https://doi.org/10.1007/BF00041785
  74. Goldshtein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Modul’ sdviga kubicheskikh kristallov [Shear modulus of cubic crystals] // Pisma o materialakh. 2012. V. 2. № 1. P. 21–24 (in Russian). https://doi.org/10.22226/2410-3535-2012-1-21-24
  75. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Komarova M.A., Lisovenko D.S. Extreme values of the shear modulus for hexagonal crystals // Scripta Materialia. 2017. V. 140. P. 55–58. https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2017.07.002
  76. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Extreme values of Young’s modulus and Poisson’s ratio of hexagonal crystals // Mechanics of Materials. 2019. V. 134. P. 1–8. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2019.03.017
  77. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Auksetiki sredi materialov s kubicheskoi anizotropiey [Auxetics among materials with cubic anisotropy] // Izvestiya RAN. Mekhanika tvyordogo tela. 2020. № 4. P. 7–24 (in Russian). https://doi.org/10.31857/S0572329920040054
  78. Gorodtsov V.A., Tkachenko V.G., Lisovenko D.S. Extreme values of Young’s modulus of tetragonal crystals // Mechanics of Materials. 2021. V. 154. P. 103724. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2020.103724
  79. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. The extreme values of Young’s modulus and the negative Poisson’s ratios of rhombic crystals // Crystals. 2021. V. 11. № 8. P. 863. https://doi.org/10.3390/cryst11080863
  80. Volkov M.A. Stationary Points of Poisson’s Ratio of Six-Constant Tetragonal Crystals AT Particular Orientations // Mech. Solids. 2024. V. 59. P. 3254–3265. https://doi.org/10.1134/S0025654424606244

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

版权所有 © Russian Academy of Sciences, 2025

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».