О стандартной гипотезе для расслоенного произведения трех эллиптических поверхностей с попарно непересекающимися дискриминантными локусами

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Доказано, что стандартная гипотеза Гротендика $B(X)$ типа Лефшеца об алгебраичности оператора $ ^{\mathrm{c}}\Lambda$ теории Ходжа верна для расслоенного произведения $X=X_1\times_CX_2\times_CX_3$ комплексных эллиптических поверхностей $X_k\to C$ над гладкой проективной кривой $C$ при условии, что дискриминантные локусы $\{\delta\in C\mid \operatorname{Sing}(X_{k\delta})\neq\varnothing\}$ $(k=1,2,3)$ попарно не пересекаются.Библиография: 42 наименования.

Об авторах

Сергей Геннадьевич Танкеев

Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

Email: tankeev@vlsu.ru
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. A. Grothendieck, “Standard conjectures on algebraic cycles”, Algebraic geometry, Internat. colloq. (Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford Univ. Press, London, 1969, 193–199
  2. S. L. Kleiman, “Algebraic cycles and the Weil conjectures”, Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Adv. Stud. Pure Math., 3, North-Holland, Amsterdam, 1968, 359–386
  3. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для комплексных абелевых схем над гладкими проективными кривыми”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:3 (2003), 183–224
  4. D. I. Lieberman, “Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds”, Amer. J. Math., 90:2 (1968), 366–374
  5. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 177–194
  6. F. Charles, E. Markman, “The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of $K3$ surfaces”, Compos. Math., 149:3 (2013), 481–494
  7. О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств $K3$-поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164
  8. D. Huybrechts, M. Lehn, The geometry of moduli spaces of sheaves, Aspects Math., E31, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997, xiv+269 pp.
  9. D. Arapura, “Motivation for Hodge cycles”, Adv. Math., 207:2 (2006), 762–781
  10. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе и существовании разложения Чжоу–Лефшеца для комплексных проективных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:1 (2015), 185–216
  11. С. Г. Танкеев, “Об индуктивном подходе к стандартной гипотезе для расслоенного комплексного многообразия с сильными полустабильными вырождениями”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:6 (2017), 199–231
  12. G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Math., 339, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, viii+209 pp.
  13. K. Kodaira, “On compact analytic surfaces. II”, Ann. of Math. (2), 77:3 (1963), 563–626
  14. П. Делинь, Д. Мамфорд, “Неприводимость многообразия кривых заданного рода”, Математика. Сб. пер., 16:3 (1972), 13–53
  15. R. Miranda, The basic theory of elliptic surfaces, Notes of lectures, Dottorato Ric. Mat., ETS Editrice, Pisa, 1989, vi+108 pp.
  16. P. Deligne, “Theorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 44 (1974), 5–77
  17. Г. А. Мустафин, “Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:5 (1985), 948–978
  18. П. Делинь, “Теория Ходжа. II”, Математика. Сб. пер., 17:5 (1973), 3–56
  19. Ю. Г. Зархин, “Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраических многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:2 (1984), 264–304
  20. B. B. Gordon, “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”: J. D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture, CRM Monogr. Ser., 10, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 314–373
  21. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. 1–3, Элементы математики, Мир, М., 1976, 496 с.
  22. S. Zucker, “Hodge theory with degenerating coefficients: $L_2$ cohomology in the Poincare metric”, Ann. of Math. (2), 109:3 (1979), 415–476
  23. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:1 (2010), 175–196
  24. Р. Годеман, Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961, 319 с.
  25. Дж. Милн, Этальные когомологии, Мир, М., 1983, 392 с.
  26. Г. Э. Бредон, Теория пучков, Наука, М., 1988, 312 с.
  27. Р. Уэллс, Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, Мир, М., 1976, 284 с.
  28. C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290
  29. W. Schmid, “Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping”, Invent. Math., 22:3-4 (1973), 211–319
  30. Н. Бурбаки, Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, Элементы математики, Физматгиз, М., 1962, 516 с.
  31. Вик. С. Куликов, П. Ф. Курчанов, “Комплексные алгебраические многообразия: периоды интегралов, структуры Ходжа”, Алгебраическая геометрия – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 36, ВИНИТИ, М., 1989, 5–231
  32. Ж.-П. Серр, Абелевы $l$-адические представления и эллиптические кривые, Мир, М., 1973, 192 с.
  33. Н. Бурбаки, Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра, Элементы математики, Наука, М., 1987, 183 с.
  34. T. Shioda, “On the Mordell–Weil lattices”, Comment. Math. Univ. St. Paul., 39:2 (1990), 211–240
  35. M. Schütt, T. Shioda, “Elliptic surfaces”, Algebraic geometry in East Asia – Seoul 2008, Adv. Stud. Pure Math., 60, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2010, 51–160
  36. Д. Мамфорд, Лекции о кривых на алгебраической поверхности, Мир, М., 1968, 236 с.
  37. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.
  38. C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp.
  39. W. Fulton, Equivariant cohomology in algebraic geometry. Appendix A. Algebraic topology, Eilenberg lectures, notes by D. Anderson (Columbia Univ., 2007), 2007, 13 pp.
  40. А. Н. Паршин, “Минимальные модели кривых рода 2 и гомоморфизмы абелевых многообразий, определенных над полем конечной характеристики”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:1 (1972), 67–109
  41. Ю. И. Манин, Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика, Наука, М., 1972, 304 с.
  42. Дж. Харрис, Алгебраическая геометрия. Начальный курс, МЦНМО, М., 2005, 400 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Танкеев С.Г., 2019

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).