Метод расширенных нормальных уравнений для задач регуляризации Тихонова с дифференцирующим оператором

Рассматривается новый метод решения плохо обусловленных линейных алгебраических систем с применением дифференцирующего оператора. Такого вида задачи возникают при решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Основная сложность данного метода состоит в том, что матрица дискретного аналога оператора дифференцирования является матрицей неполного ранга. Для решения подобного класса задач используются методы, основанные на обобщенном сингулярном разложении. Этот подход имеет очень высокую вычислительную сложность, а также приводит к возникновению дополнительной погрешности в вычислениях. Предложенный в данной работе метод основан на преобразовании исходной задачи регуляризации к эквивалентной расширенной регуляризованной нормальной системе уравнений с применением дискретного аналога оператора дифференцирования. Весьма актуальной является проблема исследования спектра матрицы расширенной регуляризованной нормальной системы уравнений с матрицей дискретного оператора дифференцирования неполного ранга. Исследование точного спектра собственных значений для данной задачи не представляется возможным, поэтому в статье получены оценки границ спектра матрицы. Оценка границ спектра матрицы основана на известной теореме Куранта-Фишера. Показано, что полученные оценки границ спектра матрицы расширенной системы являются достаточно точными. Производится сравнение предложенного метода со стандартным методом, основанным на решении нормальной системы уравнений. В работе показано, что число обусловленности матрицы метода, основанного на нормальной системе уравнений, имеет намного большую величину, чем число обусловленности матрицы метода расширенных нормальных уравнений. В заключении приводится описание тестовых задач, подтверждающих результаты теоретических исследований, полученных в работе.

спектр матрицы, расширенные регуляризованные нормальные системы, число обусловленности