Термомеханические состояния гиротропных микрополярных тел

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Статья посвящена вопросам моделирования процессов теплопроводности в микрополярных телах, термомеханические состояния которых реагируют на зеркальные отражения трехмерного пространства. Построен новый вариант теории теплопроводности, в рамках которого тепловой поток оказывается псевдовектором алгебраического веса \(+1\), подобным псевдовектору спинорных перемещений. С этим вариантом теории связаны определяющие псевдоинварианты нечетного отрицательного веса (например, коэффициент теплопроводности и теплоемкость). Этой цели удалось достичь, выбрав естественные элементы объема и площади в виде псевдоинвариантов веса \(-1\). Для представления трансляционных перемещений использовался абсолютный контравариантный вектор, а для спинорных перемещений фиксировался контравариантный псевдовектор веса \(+1\). В результате тепловой поток, тензор силовых напряжений, плотность массы и теплоемкость оказываются псевдотензорными величинами нечетного веса. В качестве термодинамического потенциала используется свободная энергия Гельмгольца, отнесенная к единице естественного элемента объема, а функциональными аргументами выступают: температура, симметричные части и сопутствующие векторы линейного асимметричного тензора деформаций и псевдотензора изгиба–кручения. Обсуждается принцип абсолютной инвариантности абсолютной термодинамической температуры. Получено нелинейное уравнение теплопроводности и выполнена его линеаризация.

Об авторах

Евгений Валерьевич Мурашкин

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: evmurashkin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
https://www.mathnet.ru/person53045

кандидат физико-математических наук; старший научный сотрудник; лаб. моделирования в механике деформируемого твердого тела

Россия, 119526, Москва, просп. Вернадского, 101, корп. 1

Юрий Николаевич Радаев

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Email: y.radayev@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
https://www.mathnet.ru/person39479

доктор физико-математических наук, профессор; ведущий научный сотрудник; лаб. моделирования в механике деформируемого твердого тела

Россия, 119526, Москва, просп. Вернадского, 101, корп. 1

Список литературы

  1. Lakes R. Elastic and viscoelastic behavior of chiral materials // Int. J. Mech. Sci., 2001. vol. 43, no. 7. pp. 1579–1589. DOI: https://doi.org/10.1016/S0020-7403(00)00100-4.
  2. Mackay T. G., Lakhtakia A. Negatively refracting chiral metamaterials: a review // SPIE Reviews, 2010. vol. 1, no. 1, 018003. DOI: https://doi.org/10.1117/6.0000003.
  3. Tomar S. K., Khurana A. Wave propagation in thermo-chiral elastic medium // Appl. Math. Model., 2013. vol. 37, no. 22. pp. 9409–9418. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.04.029.
  4. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2018. Т. 22, №3. С. 504–517. EDN: YOYJQD. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1635.
  5. Neuber H. Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat–Körper // Acta Mechanica, 1966. vol. 2. pp. 48–69. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01176729.
  6. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua / Applied Mechanics; eds. H. Görtler. Berlin, Heidelberg: Springer, 1966. pp. 153–158. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_16.
  7. Радаев Ю. Н., Мурашкин Е. В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Пробл. прочн. пластичн., 2020. Т. 82, №4. С. 399–412. EDN: TODIFV. DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.
  8. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a micropolar theory of growing solids // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020. vol. 24, no. 3. pp. 424–444. EDN: TYGBER. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1792.
  9. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории линейных гемитропных микрополярных сред // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2020. №4(46). С. 16–24. EDN: IZKTBQ. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2020.89.81.031.
  10. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Связанная термоупругость гемитропных сред. Псевдотензорная формулировка // Изв. РАН. МТТ, 2023. №3. С. 163–176. EDN: JMQVBJ.
  11. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity // Lobachevskii J. Math., 2023. vol. 44, no. 6. pp. 2440–2449. EDN: PINYDI. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060392.
  12. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories / Encyclopedia of Physics. vol. III/1 / Principles of Classical Mechanics and Field Theory; eds. S. Flügge. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer, 1960. pp. 226–902. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6_2.
  13. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford: Clarendon Press, 1951. 434 pp.
  14. Sokolnikoff I. S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua: John Wiley & Sons, 1964. 361 pp.
  15. Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus. New York: Dover Publ., 1978. xi+324 pp.
  16. Das A. J. Tensors: The Mathematics of Relativity Theory and Continuum Mechanics. Berlin: Springer Science & Business Media, 2007. xii+290 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-387-69469-6.
  17. Gurevich G. B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen: Noordhoff, 1964. 429 pp.
  18. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors // Trans. Amer. Math. Soc., 1924. vol. 26, no. 3. pp. 373–377. DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1924-1501284-6.
  19. Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1927. viii+102 pp.
  20. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des Corps déformables. Paris: A. Herman et Fils, 1909. vi+226 pp.
  21. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Wien: Springer, 1972. 285 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9.
  22. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986. viii+383 pp.
  23. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity / Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin, Heidelberg: Springer, 2004. xv+345 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.
  24. Besdo D. Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat–Kontinuums // Acta Mechanica, 1974. vol. 20, no. 1. pp. 105–131. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01374965.
  25. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Теплопроводность микрополярных тел, чувствительных к зеркальным отражениям трехмерного пространства // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 2023. Т. 165, №4 (в печати).
  26. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Тензор силовых напряжений Схоутена и аффинорные плотности положительного веса // Пробл. прочн. пластичн., 2022. Т. 84, №4. С. 545–558. EDN: KPMGGN. DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2022-84-4-545-558.
  27. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории ковариантного дифференцирования двухточечных псевдотензорных полей // Изв. РАН. МТТ, 2022. №6. С. 104–113. EDN: MZLHKD. DOI: https://doi.org/10.31857/S0572329922060149.
  28. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты. М.: Физматлит, 2009. 160 с. EDN: MWDGDN.
  29. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов: Сарат. ун-т, 2010. 328 с. EDN: QJXSPX.
  30. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О согласовании ориентаций тензорных элементов площади в микрополярном континууме, погружаемом во внешнее плоское пространство // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, №4. С. 776–786. EDN: ZKIAAJ. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1883.
  31. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории ориентированных тензорных элементов площади микрополярного континуума, погруженного во внешнее плоское пространство // Изв. РАН. МТТ, 2022. №2. С. 3–13. EDN: KRUCOL. DOI: https://doi.org/10.31857/S0572329922020155.
  32. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Л., М.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.
  33. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. 392 с.
  34. Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. М.: Наука, 1977. 88 с.
  35. Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 636 с.
  36. Радаев Ю. Н. Тензоры с постоянными компонентами в определяющих уравнениях гемитропного микрополярного тела // Изв. РАН. МТТ, 2023. №5. С. 98–110. EDN: PHNOCG. DOI: https://doi.org/10.31857/S057232992370006X.
  37. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №1(51). С. 17–26. EDN: ZJWFGT. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002.
  38. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с.
  39. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №2(52). С. 106–115. EDN: FQVGRK. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012.
  40. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №2(52). С. 118–127. EDN: ESTJSA. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013.
  41. Poincaré H. Sur les residus des integrales doubles // Acta math, 1887. vol. 6. pp. 321–380.
  42. Poincaré H. Analysis situs // J. Éc. Politech., 1895. vol. 2, no. 1. pp. 1–123 (In French).
  43. Мурашкин Е. В. О формулировках краевых условий в задачах синтеза тканых 3D материалов // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2021. №1(47). С. 114–121. EDN: CSFKRW. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2021.1.47.010.
  44. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1931. 105 pp.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).