Mathematical Modeling of Elastically Deformed States of Thin Isotropic Plates Using Chebyshev Polynomials

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper a method for solving an inhomogeneous biharmonic equation while modeling elastically deformed states of thin isotropic rectangular plates using a system of orthogonal Chebyshev polynomials of the first kind is proposed. The method is based on representation of a solution to the initial biharmonic equation as a finite sum of Chebyshev series by each independent variable in combination with matrix transformations and properties of Chebyshev polynomials. The problem is examined for the case when a transverse load acts on the plate, and the hinge fastening along the edges of the plate is taken as boundary conditions. Using the extremes and zeros of Chebyshev polynomials of the first kind as collocation points, the boundary value problem is reduced to a system of linear algebraic equations. Decomposition coefficients of desired function with respect to Chebyshev polynomials act as unknowns in this system. As the comparison showed, the results obtained by this method with a high degree of accuracy coincide with similar results derived using analytical approach that are given in the article. The paper also presents the results of calculations using the proposed method in the case when two opposite edges of the plate are pinched and two others are pivotally fixed. The comparison with similar results of modeling the stress-strain states of rectangular plates which are presented in the open sources is carried out.

About the authors

Oksana V. Germider

Northern (Arctic) Federal University named after M.V.Lomonosov

Email: o.germider@narfu.ru
ORCID iD: 0000-0002-2112-805X

Ph.D. in Phys. and Math., associate Professor of the Department of Engineering Structures, Architecture and Graphics
Russian Federation, Severnaya Dvina Emb. 17, Arkhangelsk, 163002, Russia

Vasily N. Popov

Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov

Author for correspondence.
Email: v.popov@narfu.ru
ORCID iD: 0000-0003-0803-4419

 D.Sc. in Phys. and Math., Professor of the Department of Higher and Applied Mathematics
Russian Federation, Severnaya Dvina Emb. 17, Arkhangelsk, 163002, Russia

References

  1. S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill Book Comp., New York, 1959, 580 p.
  2. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, V. P. Shapeyev, "[Metod kollokatsiy i naimen’shikh nevyazok v prilozhenii k zadacham mekhaniki izotropnykh plastin]", Vychislitel’nyye tekhnologii, 18:6 (2013), 31–43 (In Russ.).
  3. V. P. Shapeyev, L. S. Bryndin, V. A. Belyayev, "hp-Variant metoda kollokatsii i naimen’shikh kvadratov s integral’nymi kollokatsiyami resheniya bigarmonicheskogo uravneniya", Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki, 26:3 (2022), 1–15 (In Russ.). DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1936
  4. V. A. Belyaev, L. S. Bryndin, S. K. Golushko, B. V. Semisalov, V. P. Shapeev, "h-, p-, and HP-versions of the least-squares collocation method for solving boundary value problems for biharmonic equation in irregular domains and their applications", Computational Mathematics and Mathematical Physics, 62:4 (2022), 517–537. DOI:
  5. https://doi.org/10.1134/S0965542522040029
  6. N. Mai-Duy, D. Strunin, W. Karunasena, "A new high-order nine-point stencil, based on integrated-RBF approximations, for the first biharmonic equation", Engineering Analysis with Boundary Elements, 143 (2022), 687–699. DOI: https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2022.07.014
  7. W. Shao, X. Wu, "An effective Chebyshev tau meshless domain decomposition method based on the integration-differentiation for solving fourth order equations", Applied Mathematical Modelling, 39:9 (2015), 2554–2569. DOI:
  8. https://doi.org/10.1016/j.apm.2014.10.048
  9. X. Ye, Sh. Zhang, "A family of H-div-div mixed triangular finite elements for the biharmonic equation", Results in Applied Mathematics, 15 (2022), 100318. DOI: https://doi.org/10.1016/j.rinam.2022.100318
  10. R. K. Mohanty, D. Kaur, "Compact difference scheme with high accuracy for one dimensional unsteady quasi-linear biharmonic problem of second kind: Application to physical problems", Siberian Mathematical Journal, 21:1 (2018), 65—82 (In Russ.). DOI: https://doi.org/10.15372/SJNM20180105
  11. O. M. Lytvyn, O. O. Lytvyn, I. S. Tomanova, "Solving the biharmonic plate bending problem by the Ritz method using explicit formulas for splines of degree 5", Cybernetics and Systems Analysis, 54 (2018), 994—947. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-018-0097-x
  12. Ye. M. Zveryayev, M. D. Kovalenko, D. A. Abrukov, I. V. Men’shova, A. P. Kerzhayev, O razlozheniyakh po funktsiyam Papkovicha–Fadlya v zadache izgiba plastiny, Preprinty IPM im. M. V. Keldysha, Moskva, 2019 DOI:
  13. https://doi.org/10.20948/prepr-2019-38 (In Russ.), 28 p.
  14. V. I. Ryazhskikh, M. I. Slyusarev, M. I. Popov, "Chislennoye integrirovaniye bigarmonicheskogo uravneniya v kvadratnoy oblasti", Vestn. S.-Peterburg. un-ta. Ser. 10. Prikl. matem. Inform. Prots. upr., 1:1 (2013), 52–62 (In Russ.).
  15. A. D. Tebyakin, A. V. Krysko, M. V. Zhigalov, V. A. Krysko, "Elastic-plastic deformation of nanoplates. The method of variational iterations (extended Kantorovich method)", Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 22:4 (2022), 494–505 (In Russ.). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-4-494-505
  16. A. Baseri, S. Abbasbandy, E. Babolian, "A collocation method for fractional diffusion equation in a long time with Chebyshev functions", Applied Mathematics and Computation, 322 (2018), 55—65. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2017.11.048
  17. J.Mason, D. Handscomb, Chebyshev polynomials, Chapman and Hall/CRC, New York, 2002, 360 p.
  18. S. Liu, G. Trenkler, "Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products", International Journal of Information and Systems Sciences, 4:1 (2008), 160–177.
  19. G. Yuksel, O. Isik, M. Sezer, "Error analysis of the Chebyshev collocation method for linear second-order partial differential equations", International Journal of Computer Mathematics, 92:10 (2015), 2121–2138. DOI:
  20. https://doi.org/10.1080/00207160.2014.966099
  21. O. V. Germider, V. N. Popov, "O reshenii model’nogo kineticheskogo uravneniya ES", Chebyshevskiy sbornik, 23:3 (2022), 37–49 (In Russ.). DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-3-37-49
  22. G. Chen, Zh. Li, P. Lin, "A fast finite difference method for biharmonic equations on irregular domains and its application to an incompressible Stokes flow", Advances in Computational Mathematics, 29 (2008), 113–133. DOI:
  23. https://doi.org/10.1007/s10444-007-9043-6

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2026 Germider O.V., Popov V.N.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».