Численное исследование скорости сходимости черновских аппроксимаций к решениям уравнения теплопроводности

Статья посвящена построению примеров, иллюстрирующих (с помощью компьютерного счёта) скорость сходимости черновских аппроксимаций к решению задачи Коши для уравнения теплопроводности. Рассмотрены две функции Чернова (первого и второго порядка касания по Чернову к оператору взятия второй производной) и несколько начальных условий различной гладкости. В качестве графической иллюстрации для начального условия, равного модулю синуса в степени пять вторых, построены график точного решения задачи Коши и графики десятых черновских аппроксимаций, даваемых двумя разными функциями Чернова. По графикам визуально определяется, что аппроксимации близки к решению. Для каждой из двух функций Чернова, для нескольких начальных условий различной гладкости и для номера аппроксимации до 11 включительно численно найдена соответствующая каждому приближению ошибка, то есть, супремум модуля разности точного решения и аппроксимирующей функции. Как оказалось, во всех исследованных случаях зависимость ошибки от номера аппроксимационного приближения имеет приблизительно степенной вид. Это следует из того, что, как мы обнаружили, зависимость логарифма ошибки от логарифма номера приближения имеет приблизительно линейный вид. Находя уравнение приближающей прямой с помощью линейной регрессии, мы находим показатель степени в степенной зависимости ошибки от номера приближения и называем его порядком сходимости. Порядки сходимости для всех изученных начальных условий собраны в таблицу. На рассмотренном семействе начальных условий найдена эмпирическая зависимость порядка сходимости от класса гладкости начального условия.