Том 25, № 3 (2023)

В банаховом пространстве методами теории ветвления построено периодическое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения c малым возмущением при производной (возмущенное уравнение). При условии наличия полного обобщенного жорданова набора доказана единственность этого периодического решения. Показано, что при равенстве нулю малого параметра и при выполнении некоторых условий периодическое решение возмущенного уравнения переходит в семейство периодических решений невозмущенного уравнения. Результат получен с помощью представления возмущенного уравнения в виде операторного уравнения в банаховом пространстве и применения теории обобщенных жордановых наборов и модифицированного метода Ляпунова-Шмидта, сводящий исходную задачу к исследованию разрешающей системы Ляпунова-Шмидта в корневом подпространстве. При этом разрешающая система распадается на две неоднородные системы линейных алгебраических уравнений, которые при ε ≠ 0 имеют единственные решения, а при ε = 0-2n - параметрические семейства вещественных решений, соответственно.

Настоящая работа посвящена исследованию математических моделей совместного расчёта электрических и тепловых полей в электрохимических системах (в электролитах). Как известно, процесс прохождения в электролите электрического тока сопровождается выделением джоулева тепла. Следствием перераспределения температуры в электрохимической системе является изменение основных физико-химических параметров: вязкости и плотности проводящей среды, удельной электропроводности и теплопроводности, коэффициента теплоотдачи и т. д. Учет в математических моделях взаимовлияния тепловых и электрических полей особую значимость приобретает в технологиях электролиза цветных металлов (в первую очередь, промышленного производства алюминия), характеризующегося высокотемпературными режимами и интенсивностью электротепломассопереноса. Процессы электролитно-плазменного удаления покрытий, полирования деталей и плазменно-электролитического оксидирования привлекают особое внимание со стороны машиностроительной промышленности благодаря возможности качественного улучшения свойств поверхности. В статье исследуются вопросы корректности постановок нелинейных моделей. Исследован вопрос однозначной разрешимости системы, установлены априорные оценки обобщенного решения в Соболевских нормах. Также система нелинейных уравнений в частных производных, рассматриваемая в работе, может описывать математическую модель совместного расчёта электрических и тепловых полей в твердых проводниках электричества и тепла.

В настоящей работе проведено исследование лазерной конверсии метановых смесей при различных условиях проведения вычислительного эксперимента. Подобные течения характеризуются резкими локальными изменениями газодинамических характеристик и концентраций компонент смеси. Их динамика и взаимные превращения описываются жесткой системой из уравнений Навье-Стокса и химической кинетики, что накладывает серьезные ограничения на выбор вычислительного алгоритма. Вычислительные эксперименты проводились с использованием ранее разработанного 2D-кода для моделирования дозвуковых осесимметричных течений многокомпонентной среды, дополненным модулем для учета лазерного излучения и модулем решения уравнений химической кинетики конверсии метана. Верификация результатов осуществлялась посредством расчетов конверсии метана под воздействием внешнего обогрева стенок. Сопоставление концентраций веществ на выходе из трубы с непосредственным решением системы дифференциальных уравнений химической кинетики при различных температурах проведения реакции показало хорошее соответствие результатов. Проведены вычислительные эксперименты по воздействию лазерного излучения на течение химически активной поглощающей среды. Показано, что вводимое в смесь лазерное излучение, поглощаемое этиленом, изменяет характер течения и значительно увеличивает температуру газовой смеси. Повышение температуры способствует увеличению выхода целевых продуктов (этилена, ацетилена, водорода) на меньшей длине реактора, в то время как в отсутствии излучения максимальные концентрации продуктов появляются на выходе из реактора. Исследовано влияние исходного состава газовой смеси на конверсию метана, сделан вывод, что наличие этилена значительно увеличивает образование целевых продуктов при умеренных температурах стенок реактора в присутствии лазерного излучения.

При математическом моделировании поведения дисперсных сред в различных сосудах или трубах может потребоваться найти искажение, вносимое частицами взвеси в распределение температуры внутри емкости. Необходимым этапом такого расчета служит определение температурного поля, возникающего при расположении дисперсных частиц рядом с плоской стенкой сосуда; при этом предполагается, что несущая среда неподвижна, а инородные частицы для простоты считаются шарообразными. Авторы статьи при решении указанной задачи заменяют плоскость фиктивной частицей, зеркально расположенной относительно заданной. Это позволяет далее использовать метод мультипольного разложения для представления температуры, которая в данном случае является гармонической функцией координат. Найденное решение используется для нахождения эффективной теплопроводности слоя частиц, помещенных в полупространство, ограниченное плоскостью постоянной температуры. Для этого полученное решение осредняется по всем возможным положениям частиц внутри бесконечно протяженного объема ограниченной толщины, а результат сравнивается с решением эталонной задачи о распределении температуры в полупространстве, содержащем однородный слой иной теплопроводности. Вычисления проведены в предположении, что взвешенные в среде сферы расположены достаточно редко и потому взаимодействуют только с плоскостью, но не друг с другом. Найдено поправочное слагаемое, которое следует ввести в формулу эффективной теплопроводности в случае, когда общая протяженность среды в направлении, перпендикулярном плоскости, конечна.