Internal gravity waves in the ocean with shear flows excited by non-stationary sources

В связи с прогрессом в изучении крупномасштабных океанических волновых процессов изучение динамики и распространения внутренних гравитационных волн (ВГВ) в океане с учетом наличия течений является актуальной задачей [2, 5, 10, 16, 20]. В реальном океане внутренние гравитационные волны распространяются на фоне фоновых сдвиговых океанических течений, поэтому вертикальная и горизонтальная динамика сдвиговых течений в значительной степени связана с этими волнами. В океане такие течения могут проявляться, например, в области сезонного термоклина и оказывать заметное влияние на динамику ВГВ [16$–$18]. Интенсивными природными течениями являются потоки Антарктической донной воды, которые обтекают подводные хребты на абиссальных глубинах. Их скорости у дна нередко достигают 40$–$50 см/с [16$–$18]. Потоки донной воды, обтекая подводные хребты в проливах генерируют интенсивные внутренние волны, например в проливе Карские Ворота или Гибралтарском проливе [16$–$18]. Глубины в проливах меньше, чем в абиссальных разломах и меняются от десятков до сотен метров. Нестационарные или осциллирующие источники возмущений являются одним из механизмов генерации интенсивных внутренних гравитационных волн в природных (океан, атмосфера Земли) и искусственных стратифицированных средах. Такие источники возбуждения ВГВ могут иметь как природный (схлопывание области турбулентного перемешивания, быстрая подвижка океанического дна, распространение интенсивных атмосферных возмущений), так и антропогенный (подводные и надземные взрывы) характеры [2, 5, 6, 7, 19, 20]. Для моделирования генерации ВГВ точечным источником в реальном океане можно считать крутой склон поперечного хребта в проливах, и в качестве возможного механизма возбуждения ВГВ рассматривать, например, генерацию волн периодическим течением на склонах поперечных хребтов в проливах [5, 16$–$18]. В первом приближении можно считать, что фоновые течения с вертикальным сдвигом скорости слабо зависят от времени и горизонтальных координат, поэтому если масштаб изменения течений по горизонтали много больше длин ВГВ, а масштаб временной изменчивости много больше периодов ВГВ, то такие течения можно рассматривать как стационарные и горизонтально однородные [2, 5, 10]. В общей постановке описание динамики ВГВ в океане с фоновыми полями сдвиговых течений является весьма сложной задачей уже в линейном приближении [2, 4, 5, 10, 15, 19, 20].

В приближении Буссинеска вертикальная компонента малых возмущений скорости ВГВ $W$ удовлетворяет уравнению [2, 3, 5, 9]

 $\frac{D^2}{D{t}^2}\left(\Delta +\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)W-\frac{D}{Dt}\left(\frac{d^{2}U}{d{z}^2}\frac{\partial W}{\partial x}+\frac{d^{2}V}{d{z}^2}\frac{\partial W}{\partial y}\right)+N^2\left(z\right)\Delta W=\frac{D}{Dt}\left(\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{Dq}{Dt}\right)\right)$ 

 $\frac{D^2}{D{t}^2}\left(\Delta +\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)W-\frac{D}{Dt}\left(\frac{d^{2}U}{d{z}^2}\frac{\partial W}{\partial x}+\frac{d^{2}V}{d{z}^2}\frac{\partial W}{\partial y}\right)+N^2\left(z\right)\Delta W=\frac{D}{Dt}\left(\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{Dq}{Dt}\right)\right)$             (1)

 $W=\mathrm{0,} при z=\mathrm{0,}-H$             

где $\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+U\left(z\right)\frac{\partial }{\partial x}+V\left(z\right)\frac{\partial }{\partial y}$, $\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$,

 $N^2\left(z\right)=-\frac{g}{{\rho }^{*}}\frac{d{\rho }_0\left(z\right)}{dz}$ $–$           

квадрат частоты Брента$–$Вяйсяля (частоты плавучести), $\left(U\left(z\right),V\left(z\right)\mathrm{,0}\right)$ $–$ компоненты скорости фонового сдвигового течения на горизонте $z$, ${\rho }_0\left(z\right)$ $–$ невозмущённая плотность,  $–$ характерное значение плотности [2, 5], $q=q\left(x,y,z,t\right)$ $–$ плотность распределения источников. Задача (1) рассматривается в конечном по вертикали $-H<z<0$ и неограниченном по горизонтали $-\infty <x,y<+\infty$ слое. На дне $z=-H$ вертикальная компонента скорости $W$ равна нулю, на поверхности $z=0$ используется приближение “твёрдой крышки”: $W=0$, отфильтровывающее поверхностную моду, и мало влияющее на основные характеристики ВГВ [2, 5]. Далее предполагается выполненным условие устойчивости Майлса$–$Ховарда для числа Ричардсона:

 $Ri(z)={{\displaystyle N}}^2(z)/{{\displaystyle \left({{\displaystyle \left(\frac{dV}{dz}\right)}}^2+{{\displaystyle \left(\frac{dU}{dz}\right)}}^2\right)}}^{}>\text{1/4}$,  

это означает, что соответствующая спектральная задача не имеет комплексных собственных значений [4, 11, 14]. Характерные значения чисел Ричардсона в акваториях Мирового океана при отсутствии динамической неустойчивости фоновых сдвиговых течений могут находиться в интервалах от 2 до 20 [16$–$18]. Частота плавучести предполагается постоянной: $N\left(z\right)=N=const$. Фоновое сдвиговое течение $–$ одномерное и линейное:

 $V\left(z\right)\equiv 0$, $U\left(z\right)=U_0+\frac{U_0-U_H}{H}$ z, $U_0=U\left(0\right)$,

  $U_H=U\left(-H\right)$.

Для числа Ричардсона выполнено условие устойчивости Майлса$–$Ховарда:

 $Ri=N^2/{\left(\frac{dU}{dz}\right)}^2=\frac{N^2{H}^2}{{\left(U_0-U_H\right)}^2}>\frac{1}{4}$.            

Рассматривается точечный гармонический источник массы, расположенный на глубине $z_0$: $q\left(x,y,z,t\right)=Q\text{exp}\left(i\omega t\right)\delta \left(x\right)\delta \left(y\right)\delta \left(z-z_0\right) , Q=const$ Q = const, $\omega$ $–$ частота осцилляций источника. огда на больших расстояниях от осциллирующего источника возмущений при $r=\sqrt{x^2+y^2}\to \infty$ асимптотики решений вдоль некоторого направления $S_{\alpha }$, составляющего угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$, строятся с помощью метода стационарной фазы [1, 2, 12]

 $W\left(x,y,z,z_0,t\right)={\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{W}_n\left(x,y,z,z_0,t\right)$ 

 $W_n\left(x,y,z,z_0,t\right)~{\displaystyle \sum }_{j=1}^{J\left(\alpha \right)}\frac{Q\exp \left(i\left(\omega t-{\Theta }_n\left({\nu }_j^n,\omega \right)+{\delta }_j\right)\right)F_n\left({\nu }_j^n,\omega ,z,z_0\right)}{\sqrt{2\pi r{\chi }_n\left({\nu }_j^n,\omega \right)}\frac{\partial B\left({\mu }_n\left({\nu }_j^n,\omega \right),{\nu }_j^n,\omega \right)}{\partial S_{\alpha }}}$   

$W_n\left(x,y,z,z_0,t\right)~{\displaystyle \sum }_{j=1}^{J\left(\alpha \right)}\frac{Q\exp \left(i\left(\omega t-{\Theta }_n\left({\nu }_j^n,\omega \right)+{\delta }_j\right)\right)F_n\left({\nu }_j^n,\omega ,z,z_0\right)}{\sqrt{2\pi r{\chi }_n\left({\nu }_j^n,\omega \right)}\frac{\partial B\left({\mu }_n\left({\nu }_j^n,\omega \right),{\nu }_j^n,\omega \right)}{\partial S_{\alpha }}}$

 ${\Theta }_n\left(\nu ,\omega \right)={\mu }_n\left(\nu ,\omega \right)x+\nu y,$ 

$F_n\left(\nu ,\omega ,z,z_0\right)=\frac{{\phi }_n\left(\omega ,\nu ,z\right)}{d_n\left(\omega ,\nu \right)}\left(\frac{df\left(z_0\right)}{d{z}_0}\frac{{\phi }_n\left(\omega ,\nu ,z_0\right)}{\omega -f\left(z_0\right)}+\frac{\partial {\phi }_n\left(\omega ,\nu ,z_0\right)}{\partial z_0}\right)$

$F_n\left(\nu ,\omega ,z,z_0\right)=\frac{{\phi }_n\left(\omega ,\nu ,z\right)}{d_n\left(\omega ,\nu \right)}\left(\frac{df\left(z_0\right)}{d{z}_0}\frac{{\phi }_n\left(\omega ,\nu ,z_0\right)}{\omega -f\left(z_0\right)}+\frac{\partial {\phi }_n\left(\omega ,\nu ,z_0\right)}{\partial z_0}\right)$

$d_n\left(\omega ,\nu \right)=\frac{\partial {\phi }_0\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,-H\right)}{\partial \mu }\frac{\partial {\phi }_H\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,-H\right)}{\partial z}$

$d_n\left(\omega ,\nu \right)=\frac{\partial {\phi }_0\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,-H\right)}{\partial \mu }\frac{\partial {\phi }_H\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,-H\right)}{\partial z}$

 $B\left({\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,\omega \right)={\phi }_0\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,-H\right)\frac{\partial {\phi }_H\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,-H\right)}{\partial z}$ 

 $B\left({\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,\omega \right)={\phi }_0\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,-H\right)\frac{\partial {\phi }_H\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,-H\right)}{\partial z}$ 

 ${\chi }_n\left(\nu ,\omega \right)=\left|\frac{{\partial }^2{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right)}{\partial {\nu }^2}\right|{\left(1+{\left(\frac{\partial {\mu }_n\left(\nu ,\omega \right)}{\partial \nu }\right)}^2\right)}^{-3/2}$,            

где

 ${\phi }_n\left(\omega ,\nu ,z\right)={\phi }_0\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,z\right)={\phi }_H\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,z\right)$ 

 ${\phi }_n\left(\omega ,\nu ,z\right)={\phi }_0\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,z\right)={\phi }_H\left(\omega ,{\mu }_n\left(\nu ,\omega \right),\nu ,z\right)$, ${\mu }_n\left(\nu ,\omega \right)$ $–$

собственные функции и собственные значения вертикальной спектральной задачи, которые выражаются через модифицированные функции Бесселя мнимого индекса [3, 9], $f\left(z\right)={\mu }_n\left(\nu ,\omega \right)U\left(z\right)$, ${\nu }_j^n={\nu }_j^n\left(\alpha \right), j=\mathrm{1,2,..,}J\left(\alpha \right)$ $–$ все такие действительные корни уравнения $\frac{\partial {\mu }_n\left(\nu ,\omega \right)}{\partial \nu }=-\text{tg}\alpha$ для которых соответствующие стационарные точки $({\nu }_j^n,{\mu }_n\left({\nu }_j^n,\omega \right)$ фазовой функции ${\Theta }_n\left({\nu }_j^n,\omega \right)$ лежат на кривой $l_n^{+}\left(\alpha \right)$, ${\chi }_n\left(\nu ,\omega \right)$ $–$ кривизна этой кривой. Фазовый сдвиг ${\delta }_j$ равен $-\frac{\pi }{4}$ или $-\frac{3\pi }{4}$ в зависимости от того, обращена ли кривая $l_n^{+}\left(\alpha \right)$ в точке ${\nu }_j^n\left(\alpha \right)$ выпуклостью и вогнутостью к выбранному направлению $S_{\alpha }$. Асимптотика стационарной фазы становится неприменимой вблизи соответствующих волновых фронтов (каустик), поскольку каждая каустика порождается некоторой точкой перегиба соответствующей дисперсионной кривой, то есть такой точкой, в которой кривизна этой кривой обращается в ноль [1, 2, 12].

Для численных расчётов были использованы две модели линейных сдвиговых течений, характерных для условий Мирового океана: однонаправленное (сдвиговое течение не меняет направление своего распространения на всей глубине океана) и разнонаправленное (придонное и приповерхностное течения разнонаправлены). Число Ричардсона для использованных моделей течений равно $Ri=25$, расчёты приведены для первой волновой моды. На рис. 1 представлены результаты расчётов линий равной фазы (сплошные линии) и волновых фронтов (штриховые линии) для однонаправленного сдвигового течения, на рис. 2 для разнонаправленного течения.

Рис. 1. Волновая картина распространяющихся волн от источника в положительном направлении оси $Ox$, два волновых фронта при $x>0$

Рис. 2. Волны от источника во всех направлениях; два волновых фронта при $x>0$, два волновых фронта при $x<0$

Как показывают численные расчёты, вариативность, неоднозначность и качественное разнообразие получаемых дисперсионных соотношений определяют характер генерации различных типов волн. В частности, при относительно малых частотах осцилляций источника возбуждаются только кольцевые (поперечные) волны, причём в некоторых случаях одновременно может возбуждаться более двух волновых пакетов таких волн. Число одновременно возбуждаемых волновых пакетов определяется общим количеством отдельных ветвей дисперсионных кривых. При больших значениях частоты генерируются только продольные (клиновидные) волны двух типов, причём при увеличении значения частоты осцилляции угол полураствора волновых фронтов уменьшается. Можно также отметить, что существует такие значения частоты, при которых угол полураствора волнового фронта близок к 90°. Поэтому при этих значениях частоты, в силу многозначности дисперсионных соотношений, волновая картина возбуждаемых полей представляют собой сложную волновую систему, обладающих одновременно как свойствами продольных, так и поперечных волн. Для определённых типов волновых пакетов увеличение фазы ведёт к приближению соответствующей линии равной фазы к началу координат (положению источника возмущений), а для других типов волн $–$ к удалению от него. Для разнонаправленного типа течений получена волновая картина в виде волнового креста, в этом случае все волновые колебания, распространяющиеся от источника возмущений, могут быть локализованы внутри волновых фронтов (каустик).

Сильные придонные течения в океане наблюдаются в разломе Вима в Срединно Атлантическом хребте на 11° с. ш. [16$–$18]. На меридиане около 41° з. д. придонные поток со скоростями около 15$–$20 см/с обтекает подводный хребет, расположенный поперёк разлома. Далее поток плотной Антарктической донной воды устремляется вниз по склону на протяжении около 8 км, поток при скатывании вниз разгоняется и после опускается по высоте около 250$–$300 м. По данным измерений поток на глубине 4000$–$4500 м разгоняется до 39 см/с и потом замедляется, поскольку его кинетической энергии недостаточно, чтобы преодолеть стратификацию (рис. 3). В [7, 8, 13, 15] обтекание подводных препятствий моделировалось в лабораторных опытах, были проведены численные расчёты и предложены теоретические оценки параметров ВГВ, которые генерируются при обтекании.

Рис. 3. Измеренное поле скорости вдоль абиссального разлома Вима в тропической Атлантике при обтекании потоком донной воды поперечного подводного хребта. Цифры на верхней оси показывают номера станций профилирования течений опускаемым допплеровским профилографом течений. Максимальные скорости потока на восток (слева направо) наблюдаются после скатывания течения вниз по склону

В [7, 8, 13, 15] приведены примеры лабораторного моделирования для нескольких параметров обтекания, а также показан численный расчёт внутренних колебаний, которые возникают при таком обтекании. Структура потока в их постановке задачи и эксперимента зависит от безразмерного числа $Nh/U$, где $h$ $–$ высота препятствия, $U$ $–$ максимальное значение скорости сдвигового потока. По результатам полученных оценок при 0.5< $Nh/U$ <2 возникают распространяющиеся столбообразные (columnar) возмущения. На рис. 4 показаны линии тока течений при лабораторном и численном моделировании для различных значений параметра $Nh/U$. Имеющиеся измерения в океане соответствуют диапазону безразмерного параметра, предложенному в [7, 8]: частота Брента$–$Вяйсяля на глубине 4000$–$4500 м равна $N=0.002 {с}^{-1}$, максимальная скорость сдвигового потока 0.39 м/с, обтекаемое препятствие высотой $h=$ 250$–$300 м [16$–$18]. Тогда диапазон значений безразмерного параметра $Nh/U$ будет составлять $1.28÷1.53$.

Рис. 4. Лабораторное моделирование (вверху) и численный расчёт (внизу) обтекания потоком подводного препятствия для значений параметра $Nh/U$, близких к наблюдаемым в океане

Таким образом, полученные асимптотические результаты с различными значениями входящих в них физических параметров позволяют провести оценку характеристик ВГВ, наблюдаемых в реальных океанических условиях с течениями, а также рассчитывать волновые поля, в том числе, и от нелокальных источников возмущений различной физической природы. В результате проведения модельных многовариантных расчётов смоделированная волновая система может быть приближена к наблюдаемым в натурных и лабораторных условиях волновым картинам, что даёт возможность оценить физические параметры реальных источников генерации ВГВ в морской среде и определить основные характеристики начальных возмущений, варьируя модельные значения исходных параметров.

Источники финансирования

Работа выполнена по теме государственного задания № FFGN$–$2024$–$0005 (В.В. Булатов), № FMWE$–$2024$–$0016 (И.Ю. Владимиров, Е.Г. Морозов). Данные измерений получены в рейсах судов ИО РАН при поддержке гранта РНФ № 21$–$77$–$20004.