Том 24, № 127 (2019)

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение x(gt = ft; x ht , t ∈ 0; 1 , где функция f удовлетворяет условиям Каратеодори, но возможно не обеспечивает действие соответствующего оператора суперпозиции из пространства существенно ограниченных функций в пространство суммируемых функций. Вследствие этого, к интегральному уравнению, которое равносильно задаче Коши, не удается применить стандартные результаты анализа, в частности, теоремы о неподвижной точке. Используемый в работе подход к исследованию разрешимости такого уравнения основан не на теоремах о неподвижной точке, а на полученных в [A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications, 2015, v. 179, № 1, 13-33] результатах о точках совпадения отображений частично упорядоченных пространств. Использование этих результатов позволило в данной работе получить утверждение о существовании и оценке решения задачи Коши для рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения, аналогичное известной теореме Чаплыгина. Основными предположениями в доказанном утверждении являются неубывание функции f(t; ·) и существование двух абсолютно непрерывных функций v , w , удовлетворяющих при п.в. t ∈ [0; 1] неравенствам vgt ≥ft; v ht , wgt ≤ft;wht . Приведен пример применения полученного утверждения.

В данной статье развиваются результаты работ, посвященных исследованию задач для функционально-дифференциальных уравнений и включений с каузальными операторами, на случай бесконечного запаздывания. Во введении обосновывается актуальность темы исследования и приведены ссылки на соответствующие работы А. Н. Тихонова, C. Corduneanu, А. И. Булгакова, Е. С. Жуковского, В. В. Обуховского и P. Zecca. Во втором разделе представлена необходимая информация из теории уплотняющих многозначных отображений и мер некомпактности, также вводится понятие многозначного каузального оператора с бесконечным запаздыванием, которое иллюстрируется примерами. В следующем разделе формулируется задача Коши для функционального включения, содержащего композицию многозначного и однозначного каузальных операторов; изучаются свойства мультиоператора, неподвижные точки которого являются решениями задачи. В частности достаточные условия, при которых этот мультиоператор является уплотняющим относительно соответствующей меры некомпактности. На этой основе в четвертом разделе получаем локальную и глобальную теоремы существования решений и непрерывную зависимость множества решений от начальных данных. Далее рассматривается случай включений с полунепрерывными снизу мультиоператорами. В последнем разделе обобщаются некоторые результаты для полулинейных дифференциальных включений и интегро-дифференциальных включений Вольтерра с бесконечным запаздыванием.

В банаховом пространстве E рассматриваются операторные функции eA , sin B , cos B операторного аргумента из банаховой алгебры ограниченных линейных операторов, действующих из E в E . Для тригонометрических операторных функций sin B , cos B выводятся формулы для синуса и косинуса суммы аргументов, аналогичные скалярному случаю. При доказательстве этих формул используется произведение рядов с операторными членами в форме Коши. Приводится основное операторное тригонометрическое тождество. Для комплексной операторной экспоненциальной функции eZ операторного аргумента Z из банаховой алгебры комплексных операторов доказывается с помощью формул для косинуса и синуса суммы основное свойство показательной функции. Рассматриваются операторные функции eAt , sin Bt , cos Bt , eZt действительного аргумента t∈(-∞;∞) . На эти функции переносятся факты, изложенные для операторных функций операторного аргумента. В частности, приводится групповое свойство операторной экспоненты eZt . Указывается правило дифференцирования функции eZt . Отмечается, что перечисленные выше операторные функции действительного аргумента t используются при построении общего решения линейного дифференциального уравнения n -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве.