Критерии полноты экспоненциальной системы в геометрических терминах ширины в направлении

Полный текст

1. Введение. Формулировки критериев в терминах ширины множества. Одноточечные множества $\mathrm{<mo>\{</mo>}a\mathrm{<mo>\}</mo>}$ часто записываем без фигурных скобок, т.е. просто как $a$. Так, ${\mathbb{N}}_0\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>0}\cup \mathbb{N}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>0,1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ для множества $\mathbb{N}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ натуральных чисел, а множество ${\overline{\mathbb{N}}}_0\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\mathbb{N}}_0\cup +\infty$ $—$ верхнее порядковое пополнение множества ${\mathbb{N}}_0$ со стандартным отношением порядка $\le$ точной верхней гранью $+\infty \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\sup {\mathbb{N}}_0\notin {\mathbb{N}}_0$, для которой выполнены неравенства $n\le +\infty$ при всех $n\in {\overline{\mathbb{N}}}_0$. Множество всех действительных чисел $ℝ$ с таким же отношением порядка $\le$ рассматриваем и как вещественную ось в комплексной плоскости $ℂ$, а множество всех положительных чисел ${ℝ}^{+}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{x\in ℝ\mathrm{<mo>|</mo>0}\le x\right\}$ $—$ как положительную полуось в $ℝ$ или в $ℂ$. Порядковое пополнение множества $ℝ$ верхней гранью $+\infty \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\sup ℝ$ и нижней гранью $-\infty \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\inf ℝ$ даёт расширенные вещественную ось $\overline{ℝ}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}+\infty \cup ℝ\cup -\infty$ и положительную полуось ${\overline{ℝ}}^{+}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{ℝ}^{+}\cup +\infty$. Для пустого множества $\varnothing$ по определению $\sup \varnothing \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}-\infty$ и $\inf \varnothing \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}+\infty$.

Система векторов из топологического векторного пространства полна в нём, если замыкание линейной оболочки этой системы совпадает с этим пространством. Здесь мы обсуждаем только полноту экспоненциальных систем в функциональных пространствах. Истоки нашего исследования $—$ в следующем результате П. Мальявена и Л. А. Рубела из их совместной статьи [32] начала 1960-х гг. Для формулировки их критерия открытую и замкнутую полосы ширины $b\in {\overline{ℝ}}^{+}$ в $ℂ$, симметричные относительно вещественной оси $ℝ$ и нуля, обозначаем соответственно через

$st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{z\in ℂ:\mathrm{<mo>|</mo>}Imz\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}b\mathrm{<mo>/</mo>2}\right\}\mathrm{,}{\overline{str}}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{z\in ℂ:\mathrm{<mo>|</mo>}Imz\mathrm{<mo>|</mo>}\le b\mathrm{<mo>/</mo>2}\right\}\mathrm{.}$ (1)

Критерий Мальявена-Рубела (см. [32, теорема 9.1]). Пусть $\mathrm{0<mo><</mo>}b\in {ℝ}^{+}$ и $Z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in \mathbb{N}}$ $—$ возрастающая последовательность положительных попарно различных чисел, для которой последовательность ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo>/</mo>}{z}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in \mathbb{N}}$ ограничена, т.е. $Z$ $—$ последовательность конечной верхней плотности. Экспоненциальная система $Ex{p}^Z$, состоящая из функций $z\underset{z\in ℂ}{\mapsto }{e}^{z_{n}z}$, $n\in \mathbb{N}$, полна в пространстве непрерывных на ${\overline{str}}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}$ и голоморфных на $st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}$ функций, снабжённом топологией равномерной сходимости на компактах из ${\overline{str}}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}$, если и только если не существует числа $C\in ℝ$, для которого

${\displaystyle \sum _{r\mathrm{<mo><</mo>}{z}_n\le R}}\frac{1}{z_n}\le \frac{b}{2\pi }\ln \frac{R}{r}+C\text{привсех0<r<R<}+\infty \text{.}$ (2)

Замечание 1. Оригинальная формулировка [32, теорема 9.1] $—$ это критерий неполноты экспоненциальной системы $Ex{p}^{-Z}$ из функций $z\underset{z\in ℂ}{\mapsto }{e}^{-z_{n}z}$, $n\in \mathbb{N}$, для полос (1) ширины $2\pi b$ вместо $b$. Она эквивалентна сформулированному нами критерию полноты Мальявена$–$ Рубела.

Для компакта $K$ в $ℂ$ через $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим банахово пространство (алгебру) непрерывных функций $f:K\to ℂ$ с $\sup$ -нормой

$\parallel f{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\sup \left\{\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>|</mo>}z\in K\right\}\mathrm{.}$ (3)

Для открытого подмножества $O\subset ℂ$ через $Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначаем пространство голоморфных функций $f:O\to ℂ$ с топологией равномерной сходимости на всех компактах $K\subset O$, определяемой полунормами (3). Для компакта $K\subset ℂ$ с внутренностью $intK$ через $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначаем банахово пространство непрерывных на $K$ и голоморфных на внутренности $intK$ функций $f:K\to ℂ$ с $\sup$ -нормой (3). Очевидно, если $intK\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$, то $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Всюду далее через $Z$ обозначаем распределение точек на комплексной плоскости $ℂ$, среди которых могут быть повторяющиеся и, вообще говоря, даже бесконечное количество раз. Распределение точек $Z$ однозначно определяется функцией, действующей из $ℂ$ в ${\overline{\mathbb{N}}}_0$ и равной в каждой точке $z\in ℂ$ количеству повторений этой точки $z$ в распределении точек $Z$. Для такой функции, которую часто называют функцией кратности, или дивизором распределения точек $Z$ (см. [22, пп. 0.1.2--0.1.3]), сохраняем то же обозначение $Z$. Другими словами, $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ это количество вхождений точки $z\in ℂ$ в $Z$; пишем $z\in Z$, если $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$. Два распределения точек $Z$ и $W$ совпадают (обозначение $Z\mathrm{<mo>=</mo>}W$ 0, если $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\underset{z\in ℂ}{\equiv }W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Будем писать $Z\subset W$, если $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для всех $z\in ℂ$. Объединение $Z\cup W$ определяется тождеством $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\cup W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\underset{z\in ℂ}{\equiv }Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а разность $Z\backslash W$ при условии $W\subset Z$ $—$ тождеством $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\backslash W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\underset{z\in ℂ}{\equiv }Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Распределение точек $Z$ можно эквивалентным образом трактовать и как меру со значениями в ${\overline{\mathbb{N}}}_0$ с тем же обозначением

$Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{z\in S}}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\overline{\mathbb{N}}}_0\text{для любого S}\subset ℂ\text{.}$ (4)

При такой трактовке пересечение $Z\cap S$ однозначно определяется сужением меры $Z$ на $S$, а для положительной функции $f:S\to {\overline{ℝ}}^{+}$ можно корректно определить суммы

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}z\in Z\\ z\in S\end{array}}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_S}fdZ\mathrm{<mo>=</mo><mo>:</mo>}{\displaystyle \sum _{z\in Z\cap S}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\overline{ℝ}}^{+}\mathrm{.}$ (5)

Произведение числа $w\in ℂ\backslash 0$ на распределению точек $Z$ определяет распределение точек $wZ$ через функцию кратности $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}wZ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\underset{z\in ℂ}{\equiv }Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>/</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В частности, $-Z\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}Z$. Для числа $\theta \in ℝ$ распределение точек $e^{i\theta }Z$ с функцией кратности $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{i\theta }Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\underset{z\in ℂ}{\equiv }Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-i\theta }z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называем поворотом распределения точек $Z$ на угол $\theta$.

При $z\in ℂ$ и $r\in {ℝ}^{+}$ через

$D_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{z^{\prime }\in ℂ\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{z}^{\prime }-z\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}r\right\}\mathrm{,}{\overline{D}}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{z^{\prime }\in ℂ\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{z}^{\prime }-z\mathrm{<mo>|</mo>}\le r\right\}$

обозначаем соответственно открытый и замкнутый круги, а через $\partial {\overline{D}}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\overline{D}}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash D_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ окружность с центром $z\in ℂ$ радиусаЁ $r$.

Простейшая характеристика распределение точек $Z$ на $ℂ$ $—$ это его верхняя $p$ -плотность, определяемая в (4) как величина

$p-\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{r\to +\infty }{{\displaystyle \mathrm{limsup}}}\frac{Z\left({\overline{D}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}{r^p}\in {\overline{ℝ}}^{+}\mathrm{.}$ (6)

В дальнейшем при $p\mathrm{<mo>=</mo>1}$ в (6) порядок $p$ не упоминаем и вместо $1-\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пишем просто $\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; в случае $\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^{+}$ называем $Z$ распределением точек конечной верхней плотности, а при $\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}+\infty$ $—$ распределением точек бесконечной верхней плотности.

Левая часть неравенства (2), использованная в [32] и [34, гл. 22] в качестве основной, так называемой логарифмической характеристики распределения точек $Z$ на ${ℝ}^{+}$, была распространена на произвольные распределения точек $Z$ в $ℂ$ первоначально в статьях Б. Н. Хабибуллина [16, 17] 1988 г. с дальнейшим развитием и применениями в его же работах [18, 19] 1989-91 гг. и в последние годы в совместных статьях О. А. Кривошеевой, А. Ф. Кужаева, А. И. Рафикова [4, 5] 2017 г., а также А. Е. Салимовой и Б. Н. Хабибуллина [11–13] 2020-21 гг. Обзор по состоянию тематики вплоть до 2012 г. содержится в книге Б. Н. Хабибуллина [22, п. 3.2]. Определим развития упомянутой логарифмической характеристики распределения точек $Z$, расположенного произвольным образом на $ℂ$.

Для величины $a\in \overline{ℝ}$ и функции $f:X\to \overline{ℝ}$ их положительные части обозначаем соответственно через $a^{+}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\max \mathrm{<mo>\{</mo>}a\mathrm{,0<mo>\}</mo>}$ и $f^{+}:x\underset{x\in X}{\mapsto }{\left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{+}$. К примеру, $R{e}^{+}z\mathrm{<mo>=</mo>}\max \left\{Rez\mathrm{,0}\right\}$ $—$ положительная часть действительной части $Rez$. Произвольное число $\theta \in ℝ$ будем трактовать и как направление, определяемое единичным радиус-вектором числа $e^{i\theta }\in \partial {\overline{D}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. При такой трактовке для направления $\theta$ направления $\theta \pm \pi$ противоположны, направления $\theta \pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$ ортогональны, направление $-\theta$ $—$ сопряжённое, а направление $\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta$ $—$ ортогональное сопряжённому.

Правую логарифмическую меру интервала $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset {ℝ}^{+}$ для распределения точек $Z$ на $ℂ$ определяем как величину

${\mathcal{l}}_Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>5<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}}{\displaystyle \sum _{\stackrel{z\in Z}{r\mathrm{<mo><</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}\le R}}}R{e}^{+}\frac{1}{z}\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>5<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>5<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>=</mo>}}{\displaystyle \sum _{z\in Z\cap \left({\overline{D}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash {\overline{D}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}}R{e}^{+}\frac{1}{z}\in {\overline{ℝ}}^{+}\mathrm{<mo>;</mo>}$ (7)

левая логарифмическую мера интервала $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset {ℝ}^{+}$ для $Z$ на $ℂ$ $—$ это величина ${\mathcal{l}}_{-Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (7) для $-Z$, а логарифмическую субмеру интервала $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset {ℝ}^{+}\backslash 0$ для $Z$ на $ℂ$ задаём как

${\mathcal{L}}_Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\max \left\{{\mathcal{l}}_Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\mathcal{l}}_{-Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\in {\overline{ℝ}}^{+}\mathrm{.}$ (8)

Ширина подмножества $S\subset ℂ$ в направлениях $\theta \in ℝ$ (см. [1, п. 33], [28, п. 4.1.1], [14, гл. I, § 4], [24, п. 3.2], [22, п. 3.2]) $—$ это функция

$breadt{h}_S:\theta \underset{\theta \in ℝ}{\mapsto }\sup \left\{Re\left(\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\theta }\right)\mathrm{<mo>|</mo>}z\in S\mathrm{,}w\in S\right\}\in {\overline{ℝ}}^{+}\cup -\infty \mathrm{,}$ (9)

которая, очевидно, $\pi$ -периодична, равна $-\infty$ лишь при $S\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$, а при $S\ne \varnothing$ $—$ величина из ${\overline{ℝ}}^{+}$, равная наименьшей ширине замкнутых полос в $ℂ$, содержащих $S$ и какую-нибудь прямую, ортогональную прямой $\left\{t{e}^{i\theta }\in ℂ\mathrm{<mo>|</mo>}t\in ℝ\right\}$.

Пример 1. Ширина любого круга в любом направлении равна его диаметру. Полосы (1) имеют ширину $b$ в направлениях $\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}+\pi k$ при любом целом $k\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\mathbb{N}}_0\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathbb{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а в любом другом направлении $—$ ширину $+\infty$. Для $S\subset ℂ$ и числа $a\in ℂ$ полагаем $aS\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{az\mathrm{<mo>|</mo>}z\in S\right\}\subset ℂ$. При таком обозначении $e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}$ $—$ полоса ширины $b$ в направлении $\theta$.

Теорема 1. Для любых числа $b\in {ℝ}^{+}\backslash 0$, направления $\theta \in ℝ$ и произвольного распределения точек $Z$ на $ℂ$ следующие четыре утверждения равносильны: [ I.]

1. Для любой выпуклой области $D\subset ℂ$ ширины $breadt{h}_D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le b$ в направлении $\theta$ система

$Ex{p}^Z\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{w\underset{w\in ℂ}{\mapsto }{w}^p{e}^{zw}\mathrm{<mo>|</mo>}z\in Z\mathrm{,}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-1\ge p\in {\mathbb{N}}_0\right\}$

полна в пространстве $Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с топологией равномерной сходимости на компактах.

2. Для любого выпуклого компакта $K$ ширины $breadt{h}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}b$ в направлении $\theta$ экспоненциальная система $Ex{p}^Z$ полна в банаховом пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с нормой (3).

3. Распределение точек $Z$ бесконечной верхней плотности с $\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}+\infty$ или же логарифмическая субмера ${\mathcal{L}}_{e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для поворота $e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z$ распределения точек $Z$ на угол $\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta$ удовлетворяет неравенству

$\underset{\mathrm{1<mo><</mo>}s\to +\infty }{{\displaystyle \mathrm{limsup}}}\frac{1}{\ln s}\underset{r\to +\infty }{{\displaystyle \mathrm{limsup}}}{\mathcal{L}}_{e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}sr\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge \frac{b}{2\pi }\mathrm{.}$ (10)

4. Система $Ex{p}^Z$ полна в пространстве $Hol\left(e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)$.

Если при $N\subset \mathbb{N}$ и некоторой нумерации $Z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in N}$ распределения точек $Z$ на $ℂ$, в которой каждое число $z\in ℂ$ встречается ровно $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ раз, можно так подобрать последовательность ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in N}$ попарно различных целых чисел $m_n\in \mathbb{Z}$ и число $c\in {ℝ}^{+}$, что

${\displaystyle \sum _{n\in N}}\left|\frac{1}{z_n}-\frac{c}{m_n}\right|\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{,}$ (11)

то внешняя плотность Редхеффера распределения точек $Z$ на $ℂ$ конечна и не превышает числа $c$ (см. [3, 20, 33], а также [22, 2.1.1]), а сама она равна точной нижней грани таких $c\in {ℝ}^{+}$.

Пример 2. Если распределение попарно различных точек $Z$ является разделённым в том смысле, что $\inf \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}z-z^{\prime }\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}z\in Z$, $z^{\prime }\in Z$, $z\ne z^{\prime }\mathrm{<mo>\}</mo><mo>></mo>0}$ и целиком лежит в какой-нибудь полосе (1) конечной ширины $b\in {ℝ}^{+}$, то $Z$ имеет конечную внешнюю плотность Редхеффера.

Будем говорить, что распределение точек $Z$ на $ℂ$ имеет конечную внешнюю плотность Редхеффера вблизи направления $\theta$, если найдётся число $a\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, для которого часть

$Z_a^{\theta }\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{z\in Z\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}\arg z-\theta \mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}a\right\}$ (12)

распределения точек $Z$ после её поворота $e^{-i\theta }{Z}_a^{\theta }$ на угол $-\theta$ является распределением точек $e^{-i\theta }{Z}_a^{\theta }$ конечной внешней плотности Редхеффера.

Пример 3. Если при некотором $a\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ для распределения точек $Z_a^{\theta }$ из (12) сумма

${\displaystyle \sum _{z\in Z_a^{\theta }}}\frac{1}{\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{<mo><</mo>}+\infty$

конечна, то при выборе $c\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>0}$ ряд (11), очевидно, сходится, откуда следует, что распределение точек $Z$ на $ℂ$ имеет конечную внешнюю плотность Редхеффера вблизи направления $\theta$. Согласно примеру 2, если для распределения точек $Z_a^{\theta }$ из (12) при некотором $a\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ его поворот $e^{-i\theta }{Z}_a^{\theta }$ на угол $-\theta$ является разделённым и полностью лежит в какой-нибудь полосе (1) конечной ширины $b\in {ℝ}^{+}$, то $Z$ имеет конечную внешнюю плотность Редхеффера вблизи направления $\theta$.

Следующий, существенно более тонкий, чем теорема 1, результат значительно обобщает критерий полноты Мальявена$–$ Рубела и даже неулучшаем, если использовать в критерии лишь логарифмическую субмеру распределения точек $Z$ на $ℂ$.

Теорема 2. Для любых числа $b\in {ℝ}^{+}$, направления $\theta \in ℝ$ и распределения точек $Z$ на $ℂ$ конечной внешней плотности Редхеффера вблизи противоположных направлений $\theta$ и $\theta -\pi$ следующие четыре утверждения равносильны: [ I.]

1. Для любого выпуклого компакта $K$ ширины $breadt{h}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le b$ экспоненциальная система $Ex{p}^Z$ полна в банаховом пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с нормой (3).

2. Логарифмическая субмера ${\mathcal{L}}_{e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z}$ для поворота $e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z$ распределения точек $Z$ на угол $\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta$ удовлетворяет равенству

$\underset{1\le r\mathrm{<mo><</mo>}R\mathrm{<mo><</mo>}+\infty }{{\displaystyle \sup }}\left({\mathcal{L}}_{e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{b}{2\pi }\ln \frac{R}{r}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}+\infty \mathrm{.}$ (13)

3. При значениях $n$ и $N$, пробегающих соответственно ${\mathbb{N}}_0$ и $\mathbb{N}$, имеем

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \mathrm{limsup}}}\underset{0\le n\mathrm{<mo><</mo>}N}{{\displaystyle \sup }}\left({\mathcal{L}}_{e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^n\mathrm{,}{e}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{b}{2\pi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}+\infty \mathrm{.}$ (14)

4. Система $Ex{p}^Z$ полна в пространстве $C\left(e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\overline{s}t{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)\cap Hol\left(e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)$, снабжённом топологией равномерной сходимости на компактах из замкнутой полосы $e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\overline{s}t{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}$.

2. Доказательства критериев.

Доказательство теоремы 1. Эквивалентность утверждений 1 и 1, верная для любых систем целых функций, а не только экспоненциальных, $—$ простое следствие определений полноты в функциональных пространствах и топологии равномерной сходимости на компактах.

Докажем эквивалентность утверждений 1 и 1. Неполнота системы $Ex{p}^Z$ в пространстве $Hol\left(e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)$ в топологии равномерной сходимости на компактах по теореме Хана$–$ Банаха эквивалентна существованию ненулевого линейного непрерывного функционала на $Hol\left(e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)$, который обращается в нуль на каждой экспоненциальной функции из $Ex{p}^Z$ (см. [22, теорема 1.1.1]). Такой функционал может быть продолжен как ненулевой линейный непрерывный функционал на $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для некоторого выпуклого компакта $K\subset e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}$, который по-прежнему равен нулю на каждой экспоненциальной функции из $Ex{p}^Z$. Вновь по теореме Хана$–$ Банаха (см. [22, теорема 1.1.1]) это означает, что система $Ex{p}^Z$ не полна в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, в то время как ширина компакта $K\subset e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}$ в направлении $\theta$ строго меньше $b$.

Докажем эквивалентность утверждений 1 и 1. Если $Z$ имеет конечную верхнюю плотность, т.е. $\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}+\infty$, то левая часть (10) $—$ это один из вариантов определения логарифмической блок-плотности распределения точек $e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z$ [22, определение (3.2.4)]); согласно [18, теорема 2], [22, теорема 3.2.2] условие (10) означает, что система $Ex{p}^{e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z}$ полна в пространстве $Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Используя обратный поворот на угол $\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$ к распределению точек $e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z$, получаем полноту системы $Ex{p}^Z$ в пространстве $Hol\left(e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)$.

Доказательство теоремы 2. Эквивалентность утверждений 2 и 2 обосновывается практически так же, как выше доказывалась эквивалентность утверждений 1 и 1 теоремы 1 на основе следствий из теоремы Хана$–$ Банаха по схеме, изложенной в [22, п. 1.1.1].

При доказательстве эквивалентности 2 $\iff$ 2 после соответствующих поворотов $ℂ$ и распределения точек $Z$ достаточно рассмотреть случай $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$. Выделим в этом случае из $Z$ определённую в (12) часть $Z_a^{\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ конечной внешней плотности Редхеффера вблизи направления $\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$. Это означает, что распределение точек $e^{-i\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{Z}_a^{\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ имеет конечную внешнюю плотность Редхеффера, из определения которой в соответствии сЁ(11) легко видеть, что конечна сумма

${\displaystyle \sum _{z\in Z_a^{\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}}}\left|Re\frac{1}{z}\right|\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{.}$

Точно так же для части $Z_a^{-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$, определённой в (12), имеем

${\displaystyle \sum _{z\in Z_a^{-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}}}\left|Re\frac{1}{z}\right|\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{.}$

Таким образом, для распределения точек $Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{Z}_a^{\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}\cup Z_a^{-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ сходится сумма

${\displaystyle \sum _{z\in Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}}}\left|Re\frac{1}{z}\right|\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{.}$ (15)

По построению часть $Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ распределения точек отделена от мнимой оси $iℝ$ в том смысле, что она лежит вне пары открытых вертикальных углов, содержащих $iℝ\backslash 0$, и при выполнении (13) и (15) точная верхняя грань

$\underset{1\le r\mathrm{<mo><</mo>}R\mathrm{<mo><</mo>}+\infty }{{\displaystyle \sup }}\left({\mathcal{L}}_{Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{b}{2\pi }\ln \frac{R}{r}\right)$ (16)

равна $+\infty$. Отсюда согласно [19, следствие 4.2] для отделённого от мнимой оси распределения точек $Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ следует, что экспоненциальная система $Ex{p}^{Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}}$ полна в пространстве $C\left(\overline{s}t{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)\cap Hol\left(st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)$, снабжённом топологией равномерной сходимости на компактах. Тем более экспоненциальная система $Ex{p}^Z$ с бóльшим распределением показателей $Z\supset Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ полна в этом пространстве. Таким образом, доказана импликация 2 $\Rightarrow$ 2.

Теперь из отрицания утверждения 2 выведем отрицание утверждения 2. Если не выполнено (13) при $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$, то ввиду (15) конечна точная верхняя грань из (16). Рассмотрим целую функцию

$g:z\underset{z\in ℂ}{\mapsto }\sin \frac{bz}{2}$ (17)

экспоненциального типа. Легко подсчитать, что найдётся число $C_b\in {ℝ}^{+}$, с которым

$\frac{b}{2\pi }\ln \frac{R}{r}\le \frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_r^R}\frac{\ln \left|g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}{y^2}dy+C_b\text{при всех 1}\le \text{r<R<}+\infty \text{.}$

Исходя из последнего согласно предполагаемой конечности (16) для функции $g$ из (17) имеем

$\underset{1\le r\mathrm{<mo><</mo>}R\mathrm{<mo><</mo>}+\infty }{{\displaystyle \sup }}\left({\mathcal{L}}_{Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_r^R}\frac{\ln \left|g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}{y^2}dy\right)\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{.}$

При этом условии для целой функции $g$ экспоненциального типа с распределением нулей, лежащим вне пары открытых вертикальных углов, содержащих мнимую ось, а точнее, для (17) на $ℝ$, найдётся (см. [19, основная теорема]) такая целая функций $f_b\ne 0$ экспоненциального типа с распределением нулей $Zer{o}_{f_b}$, рассматриваемым с учётом кратности, что $Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}\subset Zer{o}_{f_b}$ и в то же время $\left|f_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \left|g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|$ при всех $y\in ℝ$. Учитывая явный вид функции $g$ из (17), получаем

$\ln \left|f_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \frac{b}{2}\mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo>}+c_b{\text{длянекоторогоc}}_{\text{b}}\in {ℝ}^{+}\text{ при всех y}\in ℝ\text{,}Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}\subset Zer{o}_{f_b}\mathrm{.}$ (18)

Поворот $e^{-i\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{Z}_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ распределения точек $Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ на угол $-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$ по условию имеет конечную внешнюю плотность Редхеффера. Для такого распределения точек из сочетания теоремы Бёрлинга$–$ Мальявена о радиусе полноты с классической теоремой Пэли$–$ Винера (см., например, [20, 33]) следует, что найдётся целая функция $q\ne 0$ экспоненциального типа с распределением корней $Zer{o}_q\supset e^{-i\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{Z}_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$, для которой $\left|q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}$ при всех $x\in ℝ$. Обратный поворот на угол $\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$ даёт целую функцию $h\ne 0$ экспоненциального типа, определяемую тождеством $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\underset{z\in ℂ}{\equiv }q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-i\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, для которой

$\left|h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \frac{1}{1+y^2}\text{при всех y}\in ℝ\text{,}{Z}_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}\subset Zer{o}_h\mathrm{.}$

Отсюда согласно (18) следует, что целая функция $f\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{f}_{b}h\ne 0$ экспоненциального типа для некоторой постоянной $C\in {ℝ}^{+}$ удовлетворяет условиям

$\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \frac{C}{1+y^2}\exp \frac{b\mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo>}}{2}\text{при всех y}\in ℝ\text{,}Z\subset Zer{o}_f\mathrm{.}$

Это значит (см. [8, гл. IV, § 1, п. 3], что найдётся прямоугольник $Q\subset st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}$ и ненулевая непрерывная функция $p$ на его границе $\partial Q$, для которых имеет место представление функции $f$ через преобразование Фурье$–$ Лапласа

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{\partial Q}}{e}^{zw}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz\mathrm{.}$

Таким образом, найден линейный непрерывный функционал на $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{s}t{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. [22, гл. 1; п. 3.2.2]), который равен нулю на каждой функции из экспоненциальной системы $Ex{p}^Z$. Следовательно, система $Ex{p}^Z$ не полна в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{s}t{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; импликация 2 $\Rightarrow$ 2 тоже доказана.

Импликация 2 $\Rightarrow$ 2 получается при выборе значений $r\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^n$ и $R\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^N$, когда $n$ и $N$ пробегают соответственно ${\mathbb{N}}_0$ и $\mathbb{N}$. Если же 2 неверно и левая часть (13) конечна, то, переходя к случаю $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$ и разбирая рассмотренные выше распределения точек $Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$ и $Z\backslash Z_a^{\pm \pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}$, нетрудно убедиться, что каждое из этих распределений точек конечной верхней плотности. Следовательно, их объединение $Z$ тоже имеет конечную верхнюю плотность, и тогда величины ${\mathcal{L}}_Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^n\mathrm{,}{e}^{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ согласно определениям (7)$–$(8) равномерно ограничены по $n\in {\mathbb{N}}_0$. Отсюда при конечности левой части (13) нетрудно удостовериться в конечности левой части в (14), что даёт импликацию 2 $\Rightarrow$ 2.

Замечание 2. Более разнообразные результаты могут быть получены из электронной публикации [29], принятой к печати в существенно расширенной форме в журнал <<Известия РАН. Серия математическая>> [25]. Частично они доложены на Международных конференциях по комплексному анализу памяти А. А. Гончара и А. Г. Витушкина в Москве в 2021 г., а также на Международных конференциях <<Понтрягинские чтения$–$XXXIII>> в Воронеже (см. [26]) и <<Комплексный анализ и смежные вопросы>> в Казани (см. [30]) в 2022 г.

3. Условия полноты в иных терминах, выражаемых через ширину.

3.1. Широта и диаметр. Широтой (см. [14, гл. I, § 4], [24, п. 3.2 ]), или толщиной (см. [28, 4.1.1]), множества $S$ называется наименьшее значение его ширины по направлениям:

$width\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{\theta \in ℝ}{{\displaystyle \inf }}breadt{h}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\overline{ℝ}}^{+}\cup -\infty \mathrm{<mo>;</mo>}$ (19)

оно равно $-\infty$ тогда и только тогда, когда $S$ пусто, и $+\infty$, если и только если нет полосы конечной ширины, содержащей $S$. Диаметр

$diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\sup \left\{\mathrm{<mo>|</mo>}z-w\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}z\in S\mathrm{,}w\in S\right\}$

равен наибольшему значению его ширины по направлениям (см. [14, гл. I, § 4], [27, § 11, предложение 11.1]):

$diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{\theta \in ℝ}{{\displaystyle \sup }}breadt{h}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\overline{ℝ}}^{+}\cup -\infty \mathrm{.}$ (20)

Возможно определение ширины множества $S\subset ℂ$ в направлении и через его опорную функцию, которую по традиции (см. [6, 31]) можно определить как $2\pi$ -периодическую функцию

$sp{f}_S:\theta \underset{\theta \in ℝ}{\mapsto }\underset{s\in S}{{\displaystyle \sup }}Res{e}^{-i\theta }\in \overline{ℝ}$ (21)

на $ℝ$, хотя в теории выпуклости и её применениях более уместно опорной функцией множества $S\subset ℂ$ называть положительно однородную выпуклую функцию

$Sp{f}_S:z\underset{z\in ℂ}{\mapsto }\underset{s\in S}{{\displaystyle \sup }}Res\overline{z}\underset{z\in ℂ}{\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>21<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\equiv }}\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\arg z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (22)

(см. [1, 7, 9, 10, 15], а также [24, п. 1.1]), где для последнего равенства и всюду далее используем соглашение $0\cdot x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ для любого $x\in \overline{ℝ}$. В терминах опорных прямых к $S\subset ℂ$ (см. [1, п. 33], [28, п. 4.1.1], [14, гл. I, § 4]) ширина $breadt{h}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в направлении $\theta \in ℝ$ равна расстоянию между двумя опорными прямыми к $S$, ортогональными радиус-вектору точки $e^{i\theta }$, что в терминах опорных функций (21)$–$(22) означает тождества

$breadt{h}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\underset{\theta \in ℝ}{\equiv }sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta +\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>22<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\underset{\theta \in ℝ}{\equiv }}\frac{1}{r}\left(Sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r{e}^{i\theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+Sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-r{e}^{i\theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\text{привсехr}\in {ℝ}^{+}\backslash \text{0}\mathrm{.}$ (23)

Таким образом, согласно (23) широта и диаметр множества $S\subset ℂ$ определяются через опорные функции $sp{f}_S$ и $Sp{f}_S$ из (21) и (22) по формулам

$width\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>19<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>=</mo>}}\underset{\theta \in ℝ}{{\displaystyle \inf }}\left(sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta +\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>19<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>19<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>=</mo>}}\underset{0\ne z\in ℂ}{{\displaystyle \inf }}\frac{Sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+Sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}$ (24)

$diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>19<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>19<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>20<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>=</mo>}}\underset{\theta \in ℝ}{{\displaystyle \sup }}\left(sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta +\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>19<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>19<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>20<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>20<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>=</mo>}}\underset{0\ne z\in ℂ}{{\displaystyle \sup }}\frac{Sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+Sp{f}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}$ (25)

3.2. Логарифмическая блок-плотность и следствия из теоремы 1. Пусть $\mathcal{l}$ $—$ функция интервалов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset {ℝ}^{+}$ со значениями из $\overline{ℝ}$ и $\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\mathcal{l}\left(\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right)$. Определим окончательно введённые в [2] четыре логарифмические блок-плотности:

$\ln -\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{a\to +\infty }{{\displaystyle \lim sup}}\frac{1}{\ln a}\underset{r\to +\infty }{{\displaystyle \lim sup}}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}ar\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}barl$ (0.3.2^-)

$\ln -\underset{¯}{dens}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{a\to +\infty }{{\displaystyle \lim inf}}\frac{1}{\ln a}\underset{r\to +\infty }{{\displaystyle \lim sup}}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}ar\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}l$ (0.3.20.3.2_-)

$\ln -den{s}_{\inf }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{a\mathrm{<mo>></mo>1}}{{\displaystyle \inf }}\frac{1}{\ln a}\underset{r\to +\infty }{{\displaystyle \lim sup}}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}ar\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}infl$ (0.3.20.3.20.3.2i)

$\ln -den{s}_{\text{b}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\inf \left\{b\in {ℝ}^{+}:\underset{\mathrm{0<mo><</mo>}r\mathrm{<mo><</mo>}R\mathrm{<mo><</mo>}+\infty }{{\displaystyle \sup }}\left(\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-b\ln \frac{R}{r}\right)\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \right\}\mathrm{.}bl$ (0.3.20.3.20.3.20.3.2b)

(см. [17], [18, формула (1.9)], [32, определения 3.4, 3.5], [11, определение 4]). Положительную функцию интервалов $\mathcal{l}\ge 0$ называем логарифмической субмерой интервалов, если выполнены следующие два условия: [(i)]

1. $\underset{\mathrm{0<mo><</mo>}r\in {ℝ}^{+}}{{\displaystyle \sup }}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,2}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}+\infty$ (логарифмический рост);

2. $\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{r}_1\mathrm{,}{r}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{r}_1\mathrm{,}{r}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{r}_2\mathrm{,}{r}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для всех $\mathrm{0<mo><</mo>}{r}_1\mathrm{<mo><</mo>}{r}_2\mathrm{<mo><</mo>}{r}_3\mathrm{<mo><</mo>}+\infty$ (субаддитивность).

Если в неравенстве из (2) знак неравенства $\le$ можно заменить на знак равенства $\mathrm{<mo>=</mo>}$ для любых значений $\mathrm{0<mo><</mo>}{r}_1\mathrm{<mo><</mo>}{r}_2\mathrm{<mo><</mo>}{r}_3\mathrm{<mo><</mo>}+\infty$ (аддитивность), то функцию интервалов $l$ называем логарифмической мерой интервалов. Очевидно, класс всех логарифмических субмер интервалов $—$ выпуклый конус над ${ℝ}^{+}$, замкнутый относительно операции максимума.

Предложение 1 (см. [2, теорема 1], [18, § 1], [11, предложение 6]). Для логарифмической субмеры интервалов $\mathcal{l}\ge 0$ все четыре логарифмические блок-плотности из (26) конечны и совпадают, а верхний предел $\underset{a\to +\infty }{{\displaystyle \lim sup}}$ в (26⁻) и нижний предел $\underset{a\to +\infty }{{\displaystyle \lim inf}}$ в (26₋) можно заменить на обычный предел $\underset{a\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}$. Далее, для логарифмической субмеры интервалов $\mathcal{l}\ge 0$ все четыре логарифмические блок-плотности из (26) обозначаем единообразно символом $\ln -dens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Пример 4. Для распределения точек $Z$ на $ℂ$ конечной верхней плотности примерами логарифмической меры и субмеры интервалов могут служить соответственно определённая в (7) правая логарифмическая мера ${\mathcal{l}}_Z$ для этого распределения точек $Z$, а также логарифмическая субмера ${\mathcal{L}}_Z$ из (8). В таком случае логарифмическую блок-плотность $\ln -dens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{L}}_Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем обозначать через $\ln -dens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и называть её логарифмической блок-плотностью распределения точек $Z$. В частности, левая часть в (10) $—$ это в точности логарифмическая блок-плотность поворота $e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}Z$ распределения точек $Z$ на угол $\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\theta$.

Следующие два следствия теоремы 1 иллюстрируют возможности её применения в случае геометрических характеристик области, отличных от ширины в направлении, хотя и тесно связанных с ней через формулы (19), (24), (20), (25).

Следствие 1. Пусть $Z$ $—$ распределение точек на $ℂ$ конечной верхней плотности, а также $\mathrm{0<mo><</mo>}b\in {ℝ}^{+}$. Тогда следующие четыре утверждения равносильны: [ I.]

1. Для любой выпуклой области $D\subset ℂ$ широты $width\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le b$ cистема $Ex{p}^Z$ полна в $Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2. Для любого выпуклого компакта $K$ широты $width\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}b$ cистема $Ex{p}^Z$ полна в пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3. Выполнено неравенство $\underset{\theta \in ℝ}{{\displaystyle \inf }}\ln -dens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{i\theta }Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge b\mathrm{<mo>/</mo>2}\pi$.

4. Для любого $\theta \in ℝ$ система $Ex{p}^Z$ полна в $Hol\left(e^{i\theta }st{r}_{b\mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)$.

Доказательство. Согласно определениям широты (19) и (24) эквивалентности теоремы 1 сразу следуют из соответствующих эквивалентностей теоремы 1, применённых по всем $\theta \in ℝ$.

Следующий результат даёт лишь достаточные условия полноты в терминах диаметра.

Следствие 2. Пусть $Z$ $—$ распределение точек на $ℂ$ и $\mathrm{0<mo><</mo>}b\in {ℝ}^{+}$. Если $\overline{d}ens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}+\infty$ или $\underset{\theta \in ℝ}{{\displaystyle \sup }}\ln -dens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{i\theta }Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge b\mathrm{<mo>/</mo>2}\pi$, то экспоненциальная система $Ex{p}^Z$ полна в пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для любого выпуклого компакта $K$ диаметра $diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}b$ и в $Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для всякой выпуклой области $D$ диаметра $diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le b$.

Доказательство. По формуле (20) или (25) для диаметра это достаточное условие полноты системы $Ex{p}^Z$ в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для любого выпуклого компакта $K$ диаметра $diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}b$ следует из импликации 1 $\Rightarrow$ 1 теоремы 1, что влечёт за собой полноту $Ex{p}^Z$ в $Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для всех выпуклых областей $D$ диаметра $diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le b$ по определению топологии равномерной сходимости на компактах в $Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Замечание 3. Одна наша конструкция (см. [21, § 5, теорема 6]) позволяет для любого сколь угодно большого числа $b\mathrm{<mo>></mo>0}$ построить разделённое распределение попарно различных точек $Z$ на положительной полуоси ${ℝ}^{+}$, для которого $\underset{\theta \in ℝ}{{\displaystyle \sup }}\ln -dens\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{i\theta }Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и в то же время система $Ex{p}^Z$ полна в любом $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap Hol\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}intK\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}b$. Таким образом, логарифмическая блок-плотность даже разделённого распределения точек на луче не может полностью характеризовать полноту экспоненциальной системы в терминах диаметра $diam\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Об авторах

Булат Нурмиевич Хабибуллин

Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: khabib-bulat@mail.ru
Россия, Уфа

Елена Геннадьевна Кудашева

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы

Email: lena_kudasheva@mail.ru
Россия, Уфа

Анна Евгениевна Салимова

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Email: anegorova94@bk.ru
Россия, Уфа

Список литературы

Дополнительные файлы