Статистические структуры на многообразиях и их погружения

Важным примером структур информационной геометрии является статистическая структура. Это заданная на гладком многообразии M риманова метрика g с вполне симметрическим тензорным полем K типа (2, 1). На многообразии, снабженном статистической структурой (g, K), инвариантно определяется однопараметрическое семейство α-связностей ∇^α = D + α • K, где D — связность Леви-Чивиты метрики g, α — параметр. В работе охарактеризованы сопряженно симметрические статистические структуры и их частный случай — структуры постоянной α-кривизны. В качестве примера приведено описание структуры с α-связностью постоянной кривизны на двумерной статистической модели Парето. Показано, что двумерная логистическая модель имеет 2-связность постоянной отрицательной кривизны, а двумерная модель Вейбулла— Гнеденко — 1-связность постоянной положительной кривизны. При этом обе модели несут сопряженно симметрические статистические структуры. Для случая многообразия $\hat{M}$ линейной связности $\hat{\nabla }$ без кручения, погруженного в риманово многообразие со статистической структурой (g, K), получен критерий того, что на прообразе индуцируется статистическая структура с подходящей α-связностью $\hat{\nabla }$.