Classical solution of a mixed problem with the Zaremba boundary condition and conjugation conditions for a semilinear wave equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

We consider an initial-boundary value problem for a semilinear wave equation in the first quadrant in which we pose the Cauchy conditions on the spatial half-line and the Zaremba boundary condition on the time half-line. We reformulate this problem a as problem with conjugation conditions on the characteristics. The imposed inhomogeneous conjugation conditions uniquely define discontinuity of the solution on the characteristics. By the method of characteristics, we construct a solution in an implicit analytical form as a solution of some integro-differential equations. The solvability of these equations and the dependence on the initial data and the smoothness of their solutions are examined. For the problem considered, we prove the uniqueness of a solution and establish conditions of the existence of a classical solution. A mild solution is constructed in the case of insufficiently smooth data of the problem. The obtained mathematical results are applied to a problem from combustion theory.

About the authors

Viktor Ivanovich Korzyuk

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Belarusian State University

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Jan Viaczaslavavicz Rudzko

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus

without scientific degree, no status

References

  1. Волкодавов В. Ф., Бушков С. В., Илюшина Ю. А., “Для уравнения гиперболического типа задача с производными по нормам на двух частях границы рассматриваемого множества и единственность ее решения”, Мат. модел. краев. задачи., 3 (2004), 43–48
  2. Волкодавов В. Ф., Илюшина Ю. А., “Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение”, Изв. вузов. Мат., 2002, № 4, 13–17
  3. Волкодавов В. Ф., Куликова Н. А., “Задача для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка”, Диффер. уравн., 39:12 (2003), 1704–1707
  4. Корзюк В. И., Ковнацкая О. А., “Задача Пикара на плоскости для квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка”, Тр. Ин-та мат. НАН Беларуси., 31:1 (2023), 70–80
  5. Корзюк В. И., Козловская И. С., Соколович В. Ю., Севастюк В. А., “Pешение произвольной гладкости одномерного волнового уравнения для задачи со смешанными условиями”, Изв. Нац. акад. наук Беларуси. Сер. физ.-мат. наук., 57:3 (2021), 286–295
  6. Корзюк В. И., Рудько Я. В., “Классическое решение смешанных задач из теории продольного удара по упругому полубесконечному стержню в случае отделения ударившего тела после удара”, Изв. Нац. акад. наук Беларуси. Сер. физ.-мат. наук., 60:2 (2024), 95–105
  7. Корзюк В. И., Рудько Я. В., “Классическое решение третьей смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 232 (2024), 37–49
  8. Корзюк В. И., Рудько Я. В., Колячко В. В., “Решения задач с разрывными условиями для волнового уравнения”, Ж. Белорус. гос. ун-та. Мат. Информ., 3 (2023), 6–18
  9. Корзюк В. И., Столярчук И. И., “Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна"– Гордона"– Фока с неоднородными условиями согласования”, Докл. Нац. акад. наук Беларуси., 63:1 (2019), 7–13
  10. Корзюк В. И., Столярчук И. И., “Решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна"– Гордона"– Фока с интегральными условиями в случае неоднородных условий согласования”, Докл. Нац. акад. наук Беларуси., 63:2 (2019), 142–149
  11. Куликова Н. А., “Задача для уравнения гиперболического типа с сопряжением по нормали”, Мат. модел. краев. задачи., 3 (2005), 148–150
  12. Плотникова Ю. А., Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения, Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Стерлитамак, 2005
  13. Скалько Ю. И., Гриднев С. Ю., “Фундаментальное решение оператора задачи и его применение для приближенного решения начально-краевых задач”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 193 (2021), 110–121
  14. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, Изд-во МГУ, М., 1999
  15. Christov I., Jordan P. M., “Shock bifurcation and emergence of diffusive solitons in a nonlinear wave equation with relaxation”, New J. Phys., 10 (2008), 043027
  16. Frank-Kamenetskii D. A., Diffusion and Heat Exchange in Chemical Kinetics, Princeton Univ. Press, Princeton, 1955
  17. Geymonat G., “Trace theorems for Sobolev spaces on Lipschitz domains”, Ann. Math. Blaise Pascal., 14 (2007), 187–197
  18. Iwamiya T., “Global existence of mild solutions to semilinear differential equations in Banach spaces”, Hiroshima Math. J., 16 (1986), 499–530
  19. Jordan P. M., “Growth and decay of shock and acceleration waves in a traffic flow model with relaxation”, Phys. D., 207 (2005), 220–229
  20. Jordan P. M., Lambers J. V., “On the propagation and bifurcation of singular surface shocks under a class of wave equations based on second-sound flux”, Int. J. Non-Linear Mech., 132 (2021), 103696
  21. Kharibegashvili S. S., Jokhadze O. M., “Global and blowup solutions of a mixed problem with nonlinear boundary conditions for a one-dimensional semilinear wave equation”, Sb. Math., 205:4 (2014), 573–599
  22. Kohout J., “Modified Arrhenius equation in materials science, chemistry and biology”, Molecules., 26 (2021), 7162
  23. Korzyuk V. I., Rudzko J. V., “Classical and mild solution of the first mixed problem for the telegraph equation with a nonlinear potential”, Izv. Irkutsk. Univ. Ser. Mat., 43 (2023), 48–63
  24. Korzyuk V. I., Rudzko J. V., “Classical and mild solutions of the Cauchy problem for a mildly quasilinear wave equation with discontinuous and distributional initial conditions”, J. Math. Sci., 286:4 (2024), 535–559
  25. Korzyuk V. I., Rudzko J. V., “Classical solution of an initial-boundary-value problem with a mixed boundary condition and conjugation conditions for a mildly quasilinear wave equation”, Мат. V Междунар. науч. конф. «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения», посв. столетию со дня рождения Иванова Е. А. и Бриша Н. И. (Минск, 17–19 декабря 2024 г.), БГУ, Минск, 2024, 48–49
  26. Korzyuk V. I., Rudzko J. V., “Classical solution of an initial-boundary-value problem with a mixed boundary condition for a mildly quasilinear wave equation”, Proc. 11th Int. Workshop “Analytical Methods of Analysis and Differential Equations” (AMADE–2024) (Minsk, September 16–20, 2024), Belarusian State Univ., Minsk, 2024, 46–55
  27. Korzyuk V. I., Rudzko J. V., “Classical solution of the first mixed problem for the telegraph equation with a nonlinear potential”, Differ. Equations., 58:2 (2022), 175–186
  28. Korzyuk V. I., Rudzko J. V., “Classical solution of the first mixed problem for the telegraph equation with a nonlinear potential in a curvilinear quadrant”, Differ. Equations., 59:8 (2023), 1075–1089
  29. Korzyuk V. I., Rudzko J. V., “Curvilinear parallelogram identity and mean-value property for a semilinear hyperbolic equation of the second order”, Eurasian Math. J., 15:2 (2024), 61–74
  30. Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I., “Classical solution of the first mixed problem for second-order hyperbolic equation in curvilinear half-strip with variable coefficients”, Differ. Equations., 53:1 (2017), 74–85
  31. Kostanovskiy A. V., Kostanovskaya M. E., “A criterion of applicability of the parabolic heat conduction equation”, Tech. Phys. Lett., 34 (2008), 500–502
  32. Laidler K. J., “A glossary of terms used in chemical kinetics, including reaction dynamics (IUPAC recommendations 1996)”, Pure Appl. Chemistry., 68 (1996), 149–192
  33. Levanov E. N., Sotskii E. I., “Some properties of the heat-transfer process in a motionless medium, taking account of heat-flux relaxation”, J. Eng. Phys., 50 (1986), 733–740
  34. Maia S. A., Milla Miranda M., “Existence and decay of solutions of an abstract second order nonlinear problem”, J. Math. Anal. Appl., 358 (2009), 445–456
  35. Roždestvenskiĭ B. L., Janenko N. N., Systems of Quasilinear Equations and Their Applications to Gas Dynamics, Am. Math. Soc., Providence, 1983
  36. Tsutsumi M., “Some nonlinear evolution equations of second order”, Proc. Jpn. Acad., 47 (1971), 950–955
  37. Vilyunov V. N., Vorozhtsov A. B., Borovskoi I. G., Shelupanov A. A., “Ignition of condensed material”, Combust. Explos. Shock Waves., 24:3 (1988), 297–299
  38. Viliunov V. N., Zarko V. E., Ignition of Solids, Elsevier, Amsterdam, 1989
  39. Zeldovich Ya. B., “Ignition of Condensed Material”, Selected Works of Ya. B. Zeldovich. Vol. I: Chemical Physics and Hydrodynanics, Princeton Univ. Press, Princeton, 1992, 255–261
  40. Ženiček A., “Green's theorem from the viewpoint of applications”, Appl. Math. Praha, 44 (1999), 55–80

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Korzyuk V.I., Rudzko J.V.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).