On the influence of intrapulse Raman scattering on the dynamics of pulses in a gradient waveguide

详细

Based on the method of moments, a system of equations for the parameters of a longitudinal-transverse pulse is obtained. A criterion for the stability of such signals and the characteristic length at which the intrapulse Raman scattering makes the pulse unstable are found.

全文:

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что решение нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) устойчиво только для одномерного случая D = 1, который отвечает чисто пространственным или временным сигналам. При размерности D = 2, что соответствует пучкам или планарным пространственно-временным импульсам, и при D = 3, соответствующей оптическим пулям, решения не устойчивы [1]. Для стабилизации сигналов с D > 1 были предложены такие механизмы, как насыщающая нелинейность [2], конкурирующие нелинейности [3], дифракция или дисперсия более высокого порядка [4], градиентный волновод [5–7]. Стабилизация импульса для градиентного волновода обусловлена балансом между самофокусировкой, дифракцией и линейной рефракцией в неоднородной среде. В таком волноводе показатель преломления меняется от центра к периферии. В продольной динамике баланс осуществляется за счет дисперсии и кубической нелинейности. Известно, что явление вынужденного комбинационного саморассеяния (ВКС) [8–12] вызывает красный сдвиг спектра импульса. Этот сдвиг частоты в области аномальной дисперсии групповой скорости будет приводить к увеличению вклада дисперсии и выводу системы из квазиравновесия. Настоящая работа посвящена исследованию влияния ВКС на устойчивость продольно-поперечных импульсов в градиентном волноводе.

МЕТОД МОМЕНТОВ

Процесс распространения продольно-поперечных импульсов в градиентном волноводе описывается уравнением [5–7]:

$\begin{array}{c}\frac{\partial \psi }{\partial z}+\frac{i{\beta }_2}{2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\tau }^2}-\frac{{\beta }_3}{6}\frac{{\partial }^3\psi }{\partial {\tau }^3}-\\ -i\gamma \psi {\left|\psi \right|}^2+\frac{\gamma }{\omega }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\psi {\left|\psi \right|}^2\right)+\\ +i\gamma T_R\psi \frac{\partial {\left|\psi \right|}^2}{\partial \tau }+q\psi -\frac{i\mu }{2}{\Delta }_{\perp }\psi =0.\end{array}$(1)

Здесь ω — центральная частота сигнала, k₀ — волновое число на центральной частоте ω, z — координата, вдоль которой распространяется сигнал, ${\mathrm{\Delta }}_{\perp }$ — поперечный лапласиан, $\tau =t-z/v_g$ — время в сопутствующей системе координат, v_g — групповая скорость на частоте ω, $\mu =c/n_0\omega =1/n_0{k}_0,$ c – скорость света в вакууме, n₀ — показатель преломления на центральной частоте, β₂ — коэффициент дисперсии групповой скорости (ДГС), β₃ — положительный параметр, определяющий дисперсию третьего порядка, $\gamma =k_0{n}_0{n}_{2}c/8\pi$ — коэффициент кубической нелинейности, n₂ — нелинейный показатель преломления, T_R — характеризует вклад ВКС, q(r) определяет линейную рефракцию волновода:

$q\left(r\right)=\frac{\eta r^2}{a^2},$(2)

где a — поперечный радиус волновода, r — поперечная координата, $\mathrm{\eta }=\mathrm{\omega }\left(n_0^2-1\right)/2c{n}_0$.

Анализ динамики параметров импульса проводился на основе метода моментов [11]. Пробное решение выберем в виде:

$\begin{array}{c}\psi =B\exp \left[-\frac{1}{2}{\left(\frac{\tau -T}{{\tau }_p}\right)}^2-\frac{1}{2}{\left(\frac{r}{R}\right)}^2+\right.\\ +i\left(\varphi +\Omega \left(\tau -T\right)-\right.\\ \left.\left.-C\frac{{\left(\tau -T\right)}^2}{2{\tau }_p^2}-\frac{\epsilon r^2}{2R^2}\right)\right],\end{array}$(3)

где B — амплитуда сигнала, τ_p — его длительность, C — параметр, определяющий частотную модуляцию, $\varphi$ — фаза, R — параметр, пропорциональный радиусу сигнала, ε — описывает кривизну волновых поверхностей. Все параметры зависят от координаты z. Определим моменты импульса в виде:

$E=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\left|\psi \right|}^{2}2\pi rdrd\tau ,$ (4)

$T=\frac{1}{E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\tau {\left|\psi \right|}^{2}2\pi rdrd\tau ,$ (5)

$\mathrm{\Omega }=-\frac{i}{2E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left({\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial \tau }-\psi \frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial \tau }\right)2\pi rdrd\tau ,$ (6)

${\mathrm{\tau }}_p^2=\frac{2}{E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\left(\tau -T\right)}^2{\left|\psi \right|}^{2}2\pi rdrd\tau ,$(7)

$C=\frac{i}{E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left(\tau -T\right)\times \left({\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial \tau }-\psi \frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial \tau }\right)2\pi rdrd\tau ,$(8)

$R^2=\frac{1}{E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\left|\psi \right|}^{2}2\pi r^{3}drd\tau m,$(9)

$\epsilon =\frac{i}{2E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left({\psi }^{\ast }{\nabla }_{\perp }\psi -\psi {\nabla }_{\perp }{\psi }^{\ast }\right)2\pi r^{2}drd\tau .$ (10)

Следуя методу моментов, получаем систему уравнений:

$E={\pi }^{3/2}{B}^2{\tau }_p{R}^2=\text{const},$ (11)

$\begin{array}{c}\frac{dT}{d\zeta }=L_d\left(-{\beta }_2\Omega +\frac{{\beta }_3}{2}\left({\Omega }^2+\frac{1+C^2}{2{\tau }_p^2}\right)+\right.\\ \left.+\frac{3\gamma }{2\omega {\left(2\pi \right)}^{3/2}{\tau }_p{R}^2}\right),\end{array}$ (12)

$\frac{d\Theta }{d\zeta }=\frac{L_d}{\omega {\tau }_0}\left(\frac{B_0^2\gamma T_R}{2\sqrt{2}{\tau }_0{v}^3{\rho }^2}-\frac{C}{\omega {\tau }_0{L}_N{v}^3{\rho }^2}\right),$(13)

$\frac{d\nu }{d\zeta }=-\frac{C}{v}(1+l\mathrm{\Theta }),$(14)

$\frac{dC}{d\zeta }=-\left(1+C^2\right)\frac{\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)}{v^2}+\frac{L_d}{L_{N}v{\rho }^2}\left(1-\mathrm{\Theta }\right),$(15)

$\frac{d\rho }{d\zeta }=-\frac{L_d\epsilon }{L_D\rho },$(16)

$\frac{d\epsilon }{d\zeta }=-\frac{L_d}{L_D{\rho }^2}\left(1+{\epsilon }^2\right)+\frac{L_d}{L_{N}v{\rho }^2}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)-\frac{{\rho }^2{L}_d}{L}.$(17)

В уравнениях (13)–(17) были введены безразмерные параметры $v={\mathrm{\tau }}_{\mathrm{p}}/{\mathrm{\tau }}_0,$ $\mathrm{\rho }=R/R_0,$ где τ₀, R₀ — начальные значения соответствующих параметров, $\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Omega }/\mathrm{\omega },$ $l={\mathrm{\beta }}_3\mathrm{\omega }/\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|.$ Характерные дисперсионная, дифракционная, нелинейная и рефрактивная длины определяются следующими выражениями: $L_d={\mathrm{\tau }}_0^2/\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|,$ $L_D=R_0^2/\mathrm{\mu },$ $L_N=c{n}_0\sqrt{2}/4\pi \gamma I_0,$ $L=a^2/2R_0^2\mathrm{\eta },$ где введены обозначения $I_0=c{n}_0{B}_0^2/8\pi ,$ I₀, B₀ — начальные значения центральной интенсивности и амплитуды импульса.

КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ И ЕГО УСТОЙЧИВОСТЬ

Для того чтобы найти параметры квазистационарного состояния и условия его устойчивости, перепишем (14)–(17) в виде:

$\frac{dv}{d\xi }=\frac{P_v}{m_v},$ (18)

$\frac{d{P}_v}{d\xi }=\frac{1+l\mathrm{\Theta }}{v^3}-\frac{L_d}{L_N{v}^2{\rho }^2}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)=-\frac{\partial U}{\partial v},$ (19)

$\frac{d\rho }{d\xi }=\frac{P_{\rho }}{m_{\rho }},$(20)

$\frac{d{P}_{\rho }}{d\xi }=\frac{2L_d}{L_D{\rho }^3}-\frac{2\rho L_d}{L}-\frac{2L_d}{L_{N}v{\rho }^3}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)=-\frac{\partial U}{\partial \rho }.$ (21)

Здесь $P_v=m_v\partial v/\partial \xi =-C/v, P_{\rho }=m_{\rho }\partial \rho /\partial \xi =-\epsilon /\rho , P_{\rho }=m_{\rho }\partial \rho /\partial \xi =-\epsilon /\rho , m_v=1/\left(1+l\mathrm{\Theta }\right), m_{\rho }=2L_D/L_d \xi =z/L_d.$ Систему (18)–(21)можно трактовать как механическую аналогию, описывающую движение частицы по поверхности U(ν,ρ) с координатными осями ν и ρ:

$\begin{array}{c}U\left(v,\rho \right)=\frac{1+l\mathrm{\Theta }}{2v^2}+\frac{L_d}{L_D{\rho }^2}+\frac{{\rho }^2{L}_d}{L}-\\ -\frac{L_d}{L_{N}v{\rho }^2}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)-\left(\frac{1+l\mathrm{\Theta }}{2}+\frac{L_d}{L_D}+\right.\\ \left.+\frac{L_d}{L}-\frac{L_d}{L_N}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)\right).\end{array}$(22)

При этом масса частицы зависит от направления движения, а Θ играет роль адиабатического (медленного) параметра. Мы нормировали потенциальную функцию так, что в начальной точке ν,ρ = 1 она равна нулю. Стационарное решение системы (18)–(21) на входе в среду (ξ = 0, Θ = 0) можно записать как:

$L_d=L_N,$(23)

$\frac{1}{L_D}=\frac{1}{L_N}+\frac{1}{L}.$(24)

Выражения (23), (24) можно переписать в виде:

${\mathrm{\tau }}_0=\sqrt{\frac{2\sqrt{2}\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|}{k_0{n}_2{I}_0}},$(25)

$R_0={\left(\frac{\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|a^2}{4{\mathrm{\tau }}_0^2\mathrm{\eta }}\left(\sqrt{1+\frac{8{\mathrm{\tau }}_0^4\mathrm{\mu \eta }}{{\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|}^2{a}^2}}-1\right)\right)}^{1/2}.$(26)

В качестве среды выберем плавленый кварц. В ближнем инфракрасном диапазоне λ = 1.55 мкм имеем следующие параметры: n₀ = 1.5, ${\mathrm{\beta }}_2=-2.8\cdot {10}^{-28}{\text{с}}^2\text{/см, }$${\mathrm{\beta }}_3=1.5\cdot {10}^{-42}{\text{с}}^3\text{/см,}$ $n_2=3.2\cdot {10}^{-16}{\text{см}}^2\text{/В },$ $T_R=3 \text{фс}$. Параметр, характеризующий градиентный волновод, положим равным a = 0.1 см [6], а центральную интенсивность сигнала выберем $I_0={10}^{11} {\text{Вт/см}}^2.$ При этих значениях находим $L_N=L_d=2.2\text{см, }$$L_D=0.13\text{ см,}$ $L=0.14\text{ см,}$ $l=\mathrm{6.6,}$ $R_0=15\text{ мкм,}$ ${\mathrm{\tau }}_{\mathrm{p}}=25\text{ фс.}$ С учетом того, что L_D,L < L_N (26) можно записать в приближенной форме:

$R_0\approx {\left(\frac{\mathrm{\mu }{a}^2}{2\mathrm{\eta }}\right)}^{1/4}.$(27)

Найдем условие, при котором потенциальная поверхность (22) имеет минимум в стационарной точке (23), (24) на входе в среду (ξ = 0, Θ = 0). Легко получить, что $U_{,vv}=\mathrm{1,} U_{,\rho \rho }=8L_d/L, U_{,v\rho }=-\mathrm{2,}$ где нижние индексы после запятой определяют производные по соответствующим переменным. Условие существования минимума для поверхности определяется неравенствами $U_{,vv}>\mathrm{0,} U_{,vv}{U}_{,\rho \rho }-{\left(U_{,v\rho }\right)}^2>\mathrm{0,}$ которые можно переписать в виде:

$2L_d>L.$ (28)

Потенциальная функция (22) на входе импульса в среду представлена на рис. 1. В точке ν,ρ = 1 имеется минимум потенциальной функции.

Рассмотрим теперь учет красного сдвига частоты за счет ВКС на устойчивость сигнала. Для этого заметим, что в формуле (21) смещение частоты приводит к медленному уменьшению нелинейного члена, вызывающего фокусировку. Поскольку для выбранных параметров выполняется условие L < L_N, то нелинейностью (и ВКС) можно пренебречь по сравнению с линейной рефракцией и положить ρ = 1. В свою очередь из (19) видно, что смещение частоты приводит к росту дисперсионного слагаемого, которое увеличивается быстрее, чем уменьшается нелинейное (т.к. $l={\mathrm{\beta }}_3\mathrm{\omega }/\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|=6.6$). По этой причине изменением нелинейного слагаемого с частотой будем в дальнейшем пренебрегать. Из вышесказанного следует, что смещение частоты будет в основном влиять на продольную составляющую v, поэтому мы можем перейти от двумерной динамики к одномерной. Для рис. 1 это означает, что мы будем рассматривать движение “частицы” вдоль сечения r = 1 потенциальной поверхности. Найдем квазистационарное решение (19), которое соответствует минимуму потенциальной функции при смещении частоты. Для этого приравняем правую часть (19) к нулю и получим зависимость относительной длительности от сдвига частоты:

ν = 1 + lΘ.(29)

Рис. 1. Потенциальное поле U(ν,ρ), определяющее динамику относительной длительности ν и радиуса ρ импульса.

Будем считать, что на входе в среду модуляция сигнала равна нулю C = 0. Тогда из (15) с учетом (29) следует, что и в дальнейшем модуляция не будет давать существенного вклада в динамику. Тогда из (13) получаем:

$\frac{d\mathrm{\Theta }}{dz}=\frac{B_0^2\gamma T_R}{2\sqrt{2}\omega {\tau }_0^2{v}^3}.$(30)

Отсюда с учетом (29) и (25) находим явные выражения:

$v={\left(\frac{4z}{L_R}+1\right)}^{1/4},$(31)

$\mathrm{\Theta }=\frac{1}{l}\left({\left(\frac{4z}{L_R}+1\right)}^{1/4}-1\right),$(32)

где $L_R={\tau }_0^4/{\mathrm{\beta }}_3{T}_R$ — характерная длина ВКС. Для выбранных параметров составляет $L_R\approx 82 \mathrm{см}.$ Из (32) в приближении $4z/L_R<1$ вытекает формула Гордона для ВКС [13].

Рассмотрим теперь деформацию сечения (ρ = 1) потенциальной поверхности (22) вследствие ВКС и определим условия устойчивости сигнала. Профиль сечения (22) с учетом вышеизложенных приближений будет иметь вид:

$\begin{array}{c}{U}_1=\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)\left(\frac{1}{2v^2}-\frac{L_d}{L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)v}-\right.\\ \left.-\frac{1}{2}+\frac{L_d}{L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)}\right).\end{array}$(33)

Как известно, в области аномальной дисперсии групповой скорости существуют следующие режимы [14]: область I $\left(0<L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)<0.5\right),$ область II $\left(0.5<L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)<1\right),$ предельный случай III $\left(L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)=1\right)$ и область IV $\left(1<L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)\right).$ Качественная картина функции (33) для этих случаев представлена на рис. 2 а-г. В случаях рис. 2 б-г динамика импульса связанная, а в случае рис. 2а дисперсия доминирует над нелинейностью, и решение перестает быть устойчивым. Значение длительности импульса на входе (z = 0, Θ = 0) (25) соответствует условию $L_d/L_N=\mathrm{1,}$ а потенциальная функция имеет вид рис. 2в. По мере распространения сигнала происходит смещение частоты, и когда параметр $L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)$ становится равным 0.5, динамика сигнала становится неустойчивой. С учетом (32) отсюда получаем, что импульс будет квазиустойчивым вплоть до $z=15L_R/\mathrm{4,}$ что соответствует примерно трем метрам. При этом длительность импульса удваивается ν = 2, а относительное смещение частоты достигает значения $\mathrm{\Theta }=1/l\approx \mathrm{0.15.}$

Рис. 2. Качественное изображение потенциальной функции (33) для четырех режимов (а) $\mathbf{0}\mathbf{<}{\mathit{L}}_{\mathbf{d}}\mathbf{/}{\mathit{L}}_{\mathbf{N}}\left(1+l\Theta \right)\mathbf{<}\mathbf{0.5,}$ (б) $\mathbf{0.5}\mathbf{<}{\mathit{L}}_{\mathbf{d}}\mathbf{/}{\mathit{L}}_{\mathbf{N}}\left(1+l\Theta \right)\mathbf{<}\mathbf{1,}$ (в) ${\mathit{L}}_{\mathbf{d}}\mathbf{/}{\mathit{L}}_{\mathbf{N}}\left(1+l\Theta \right)\mathbf{=}\mathbf{1,}$ (г) $\mathbf{1}\mathbf{<}{\mathit{L}}_{\mathbf{d}}\mathbf{/}{\mathit{L}}_{\mathbf{N}}\left(1+l\Theta \right)\mathbf{.}$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С помощью метода моментов проведено аналитическое описание распространения продольно-поперечного импульса в градиентном волноводе с учетом ВКС. Получены аналитические выражения для квазистационарных длительности и поперечного радиуса. Найдены условия квазиустойчивого распространения. Показано, что учет смещения частоты в красную область спектра за счет явления ВКС будет приводить к медленному выходу системы из равновесия.

Работа Халяпина В. А. выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (проект № 075-02-2023-934).