On the influence of intrapulse Raman scattering on the dynamics of pulses in a gradient waveguide

Abstract

Based on the method of moments, a system of equations for the parameters of a longitudinal-transverse pulse is obtained. A criterion for the stability of such signals and the characteristic length at which the intrapulse Raman scattering makes the pulse unstable are found.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что решение нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) устойчиво только для одномерного случая D = 1, который отвечает чисто пространственным или временным сигналам. При размерности D = 2, что соответствует пучкам или планарным пространственно-временным импульсам, и при D = 3, соответствующей оптическим пулям, решения не устойчивы [1]. Для стабилизации сигналов с D > 1 были предложены такие механизмы, как насыщающая нелинейность [2], конкурирующие нелинейности [3], дифракция или дисперсия более высокого порядка [4], градиентный волновод [5–7]. Стабилизация импульса для градиентного волновода обусловлена балансом между самофокусировкой, дифракцией и линейной рефракцией в неоднородной среде. В таком волноводе показатель преломления меняется от центра к периферии. В продольной динамике баланс осуществляется за счет дисперсии и кубической нелинейности. Известно, что явление вынужденного комбинационного саморассеяния (ВКС) [8–12] вызывает красный сдвиг спектра импульса. Этот сдвиг частоты в области аномальной дисперсии групповой скорости будет приводить к увеличению вклада дисперсии и выводу системы из квазиравновесия. Настоящая работа посвящена исследованию влияния ВКС на устойчивость продольно-поперечных импульсов в градиентном волноводе.

МЕТОД МОМЕНТОВ

Процесс распространения продольно-поперечных импульсов в градиентном волноводе описывается уравнением [5–7]:

$\begin{array}{c}\frac{\partial \psi }{\partial z}+\frac{i{\beta }_2}{2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\tau }^2}-\frac{{\beta }_3}{6}\frac{{\partial }^3\psi }{\partial {\tau }^3}-\\ -i\gamma \psi {\left|\psi \right|}^2+\frac{\gamma }{\omega }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\psi {\left|\psi \right|}^2\right)+\\ +i\gamma T_R\psi \frac{\partial {\left|\psi \right|}^2}{\partial \tau }+q\psi -\frac{i\mu }{2}{\Delta }_{\perp }\psi =0.\end{array}$(1)

Здесь ω — центральная частота сигнала, k₀ — волновое число на центральной частоте ω, z — координата, вдоль которой распространяется сигнал, ${\mathrm{\Delta }}_{\perp }$ — поперечный лапласиан, $\tau =t-z/v_g$ — время в сопутствующей системе координат, v_g — групповая скорость на частоте ω, $\mu =c/n_0\omega =1/n_0{k}_0,$ c – скорость света в вакууме, n₀ — показатель преломления на центральной частоте, β₂ — коэффициент дисперсии групповой скорости (ДГС), β₃ — положительный параметр, определяющий дисперсию третьего порядка, $\gamma =k_0{n}_0{n}_{2}c/8\pi$ — коэффициент кубической нелинейности, n₂ — нелинейный показатель преломления, T_R — характеризует вклад ВКС, q(r) определяет линейную рефракцию волновода:

$q\left(r\right)=\frac{\eta r^2}{a^2},$(2)

где a — поперечный радиус волновода, r — поперечная координата, $\mathrm{\eta }=\mathrm{\omega }\left(n_0^2-1\right)/2c{n}_0$.

Анализ динамики параметров импульса проводился на основе метода моментов [11]. Пробное решение выберем в виде:

$\begin{array}{c}\psi =B\exp \left[-\frac{1}{2}{\left(\frac{\tau -T}{{\tau }_p}\right)}^2-\frac{1}{2}{\left(\frac{r}{R}\right)}^2+\right.\\ +i\left(\varphi +\Omega \left(\tau -T\right)-\right.\\ \left.\left.-C\frac{{\left(\tau -T\right)}^2}{2{\tau }_p^2}-\frac{\epsilon r^2}{2R^2}\right)\right],\end{array}$(3)

где B — амплитуда сигнала, τ_p — его длительность, C — параметр, определяющий частотную модуляцию, $\varphi$ — фаза, R — параметр, пропорциональный радиусу сигнала, ε — описывает кривизну волновых поверхностей. Все параметры зависят от координаты z. Определим моменты импульса в виде:

$E=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\left|\psi \right|}^{2}2\pi rdrd\tau ,$ (4)

$T=\frac{1}{E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\tau {\left|\psi \right|}^{2}2\pi rdrd\tau ,$ (5)

$\mathrm{\Omega }=-\frac{i}{2E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left({\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial \tau }-\psi \frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial \tau }\right)2\pi rdrd\tau ,$ (6)

${\mathrm{\tau }}_p^2=\frac{2}{E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\left(\tau -T\right)}^2{\left|\psi \right|}^{2}2\pi rdrd\tau ,$(7)

$C=\frac{i}{E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left(\tau -T\right)\times \left({\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial \tau }-\psi \frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial \tau }\right)2\pi rdrd\tau ,$(8)

$R^2=\frac{1}{E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\left|\psi \right|}^{2}2\pi r^{3}drd\tau m,$(9)

$\epsilon =\frac{i}{2E}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left({\psi }^{\ast }{\nabla }_{\perp }\psi -\psi {\nabla }_{\perp }{\psi }^{\ast }\right)2\pi r^{2}drd\tau .$ (10)

Следуя методу моментов, получаем систему уравнений:

$E={\pi }^{3/2}{B}^2{\tau }_p{R}^2=\text{const},$ (11)

$\begin{array}{c}\frac{dT}{d\zeta }=L_d\left(-{\beta }_2\Omega +\frac{{\beta }_3}{2}\left({\Omega }^2+\frac{1+C^2}{2{\tau }_p^2}\right)+\right.\\ \left.+\frac{3\gamma }{2\omega {\left(2\pi \right)}^{3/2}{\tau }_p{R}^2}\right),\end{array}$ (12)

$\frac{d\Theta }{d\zeta }=\frac{L_d}{\omega {\tau }_0}\left(\frac{B_0^2\gamma T_R}{2\sqrt{2}{\tau }_0{v}^3{\rho }^2}-\frac{C}{\omega {\tau }_0{L}_N{v}^3{\rho }^2}\right),$(13)

$\frac{d\nu }{d\zeta }=-\frac{C}{v}(1+l\mathrm{\Theta }),$(14)

$\frac{dC}{d\zeta }=-\left(1+C^2\right)\frac{\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)}{v^2}+\frac{L_d}{L_{N}v{\rho }^2}\left(1-\mathrm{\Theta }\right),$(15)

$\frac{d\rho }{d\zeta }=-\frac{L_d\epsilon }{L_D\rho },$(16)

$\frac{d\epsilon }{d\zeta }=-\frac{L_d}{L_D{\rho }^2}\left(1+{\epsilon }^2\right)+\frac{L_d}{L_{N}v{\rho }^2}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)-\frac{{\rho }^2{L}_d}{L}.$(17)

В уравнениях (13)–(17) были введены безразмерные параметры $v={\mathrm{\tau }}_{\mathrm{p}}/{\mathrm{\tau }}_0,$ $\mathrm{\rho }=R/R_0,$ где τ₀, R₀ — начальные значения соответствующих параметров, $\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Omega }/\mathrm{\omega },$ $l={\mathrm{\beta }}_3\mathrm{\omega }/\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|.$ Характерные дисперсионная, дифракционная, нелинейная и рефрактивная длины определяются следующими выражениями: $L_d={\mathrm{\tau }}_0^2/\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|,$ $L_D=R_0^2/\mathrm{\mu },$ $L_N=c{n}_0\sqrt{2}/4\pi \gamma I_0,$ $L=a^2/2R_0^2\mathrm{\eta },$ где введены обозначения $I_0=c{n}_0{B}_0^2/8\pi ,$ I₀, B₀ — начальные значения центральной интенсивности и амплитуды импульса.

КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ И ЕГО УСТОЙЧИВОСТЬ

Для того чтобы найти параметры квазистационарного состояния и условия его устойчивости, перепишем (14)–(17) в виде:

$\frac{dv}{d\xi }=\frac{P_v}{m_v},$ (18)

$\frac{d{P}_v}{d\xi }=\frac{1+l\mathrm{\Theta }}{v^3}-\frac{L_d}{L_N{v}^2{\rho }^2}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)=-\frac{\partial U}{\partial v},$ (19)

$\frac{d\rho }{d\xi }=\frac{P_{\rho }}{m_{\rho }},$(20)

$\frac{d{P}_{\rho }}{d\xi }=\frac{2L_d}{L_D{\rho }^3}-\frac{2\rho L_d}{L}-\frac{2L_d}{L_{N}v{\rho }^3}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)=-\frac{\partial U}{\partial \rho }.$ (21)

Здесь $P_v=m_v\partial v/\partial \xi =-C/v, P_{\rho }=m_{\rho }\partial \rho /\partial \xi =-\epsilon /\rho , P_{\rho }=m_{\rho }\partial \rho /\partial \xi =-\epsilon /\rho , m_v=1/\left(1+l\mathrm{\Theta }\right), m_{\rho }=2L_D/L_d \xi =z/L_d.$ Систему (18)–(21)можно трактовать как механическую аналогию, описывающую движение частицы по поверхности U(ν,ρ) с координатными осями ν и ρ:

$\begin{array}{c}U\left(v,\rho \right)=\frac{1+l\mathrm{\Theta }}{2v^2}+\frac{L_d}{L_D{\rho }^2}+\frac{{\rho }^2{L}_d}{L}-\\ -\frac{L_d}{L_{N}v{\rho }^2}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)-\left(\frac{1+l\mathrm{\Theta }}{2}+\frac{L_d}{L_D}+\right.\\ \left.+\frac{L_d}{L}-\frac{L_d}{L_N}\left(1-\mathrm{\Theta }\right)\right).\end{array}$(22)

При этом масса частицы зависит от направления движения, а Θ играет роль адиабатического (медленного) параметра. Мы нормировали потенциальную функцию так, что в начальной точке ν,ρ = 1 она равна нулю. Стационарное решение системы (18)–(21) на входе в среду (ξ = 0, Θ = 0) можно записать как:

$L_d=L_N,$(23)

$\frac{1}{L_D}=\frac{1}{L_N}+\frac{1}{L}.$(24)

Выражения (23), (24) можно переписать в виде:

${\mathrm{\tau }}_0=\sqrt{\frac{2\sqrt{2}\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|}{k_0{n}_2{I}_0}},$(25)

$R_0={\left(\frac{\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|a^2}{4{\mathrm{\tau }}_0^2\mathrm{\eta }}\left(\sqrt{1+\frac{8{\mathrm{\tau }}_0^4\mathrm{\mu \eta }}{{\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|}^2{a}^2}}-1\right)\right)}^{1/2}.$(26)

В качестве среды выберем плавленый кварц. В ближнем инфракрасном диапазоне λ = 1.55 мкм имеем следующие параметры: n₀ = 1.5, ${\mathrm{\beta }}_2=-2.8\cdot {10}^{-28}{\text{с}}^2\text{/см, }$${\mathrm{\beta }}_3=1.5\cdot {10}^{-42}{\text{с}}^3\text{/см,}$ $n_2=3.2\cdot {10}^{-16}{\text{см}}^2\text{/В },$ $T_R=3 \text{фс}$. Параметр, характеризующий градиентный волновод, положим равным a = 0.1 см [6], а центральную интенсивность сигнала выберем $I_0={10}^{11} {\text{Вт/см}}^2.$ При этих значениях находим $L_N=L_d=2.2\text{см, }$$L_D=0.13\text{ см,}$ $L=0.14\text{ см,}$ $l=\mathrm{6.6,}$ $R_0=15\text{ мкм,}$ ${\mathrm{\tau }}_{\mathrm{p}}=25\text{ фс.}$ С учетом того, что L_D,L < L_N (26) можно записать в приближенной форме:

$R_0\approx {\left(\frac{\mathrm{\mu }{a}^2}{2\mathrm{\eta }}\right)}^{1/4}.$(27)

Найдем условие, при котором потенциальная поверхность (22) имеет минимум в стационарной точке (23), (24) на входе в среду (ξ = 0, Θ = 0). Легко получить, что $U_{,vv}=\mathrm{1,} U_{,\rho \rho }=8L_d/L, U_{,v\rho }=-\mathrm{2,}$ где нижние индексы после запятой определяют производные по соответствующим переменным. Условие существования минимума для поверхности определяется неравенствами $U_{,vv}>\mathrm{0,} U_{,vv}{U}_{,\rho \rho }-{\left(U_{,v\rho }\right)}^2>\mathrm{0,}$ которые можно переписать в виде:

$2L_d>L.$ (28)

Потенциальная функция (22) на входе импульса в среду представлена на рис. 1. В точке ν,ρ = 1 имеется минимум потенциальной функции.

Рассмотрим теперь учет красного сдвига частоты за счет ВКС на устойчивость сигнала. Для этого заметим, что в формуле (21) смещение частоты приводит к медленному уменьшению нелинейного члена, вызывающего фокусировку. Поскольку для выбранных параметров выполняется условие L < L_N, то нелинейностью (и ВКС) можно пренебречь по сравнению с линейной рефракцией и положить ρ = 1. В свою очередь из (19) видно, что смещение частоты приводит к росту дисперсионного слагаемого, которое увеличивается быстрее, чем уменьшается нелинейное (т.к. $l={\mathrm{\beta }}_3\mathrm{\omega }/\left|{\mathrm{\beta }}_2\right|=6.6$). По этой причине изменением нелинейного слагаемого с частотой будем в дальнейшем пренебрегать. Из вышесказанного следует, что смещение частоты будет в основном влиять на продольную составляющую v, поэтому мы можем перейти от двумерной динамики к одномерной. Для рис. 1 это означает, что мы будем рассматривать движение “частицы” вдоль сечения r = 1 потенциальной поверхности. Найдем квазистационарное решение (19), которое соответствует минимуму потенциальной функции при смещении частоты. Для этого приравняем правую часть (19) к нулю и получим зависимость относительной длительности от сдвига частоты:

ν = 1 + lΘ.(29)

Рис. 1. Потенциальное поле U(ν,ρ), определяющее динамику относительной длительности ν и радиуса ρ импульса.

Будем считать, что на входе в среду модуляция сигнала равна нулю C = 0. Тогда из (15) с учетом (29) следует, что и в дальнейшем модуляция не будет давать существенного вклада в динамику. Тогда из (13) получаем:

$\frac{d\mathrm{\Theta }}{dz}=\frac{B_0^2\gamma T_R}{2\sqrt{2}\omega {\tau }_0^2{v}^3}.$(30)

Отсюда с учетом (29) и (25) находим явные выражения:

$v={\left(\frac{4z}{L_R}+1\right)}^{1/4},$(31)

$\mathrm{\Theta }=\frac{1}{l}\left({\left(\frac{4z}{L_R}+1\right)}^{1/4}-1\right),$(32)

где $L_R={\tau }_0^4/{\mathrm{\beta }}_3{T}_R$ — характерная длина ВКС. Для выбранных параметров составляет $L_R\approx 82 \mathrm{см}.$ Из (32) в приближении $4z/L_R<1$ вытекает формула Гордона для ВКС [13].

Рассмотрим теперь деформацию сечения (ρ = 1) потенциальной поверхности (22) вследствие ВКС и определим условия устойчивости сигнала. Профиль сечения (22) с учетом вышеизложенных приближений будет иметь вид:

$\begin{array}{c}{U}_1=\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)\left(\frac{1}{2v^2}-\frac{L_d}{L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)v}-\right.\\ \left.-\frac{1}{2}+\frac{L_d}{L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)}\right).\end{array}$(33)

Как известно, в области аномальной дисперсии групповой скорости существуют следующие режимы [14]: область I $\left(0<L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)<0.5\right),$ область II $\left(0.5<L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)<1\right),$ предельный случай III $\left(L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)=1\right)$ и область IV $\left(1<L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)\right).$ Качественная картина функции (33) для этих случаев представлена на рис. 2 а-г. В случаях рис. 2 б-г динамика импульса связанная, а в случае рис. 2а дисперсия доминирует над нелинейностью, и решение перестает быть устойчивым. Значение длительности импульса на входе (z = 0, Θ = 0) (25) соответствует условию $L_d/L_N=\mathrm{1,}$ а потенциальная функция имеет вид рис. 2в. По мере распространения сигнала происходит смещение частоты, и когда параметр $L_d/L_N\left(1+l\mathrm{\Theta }\right)$ становится равным 0.5, динамика сигнала становится неустойчивой. С учетом (32) отсюда получаем, что импульс будет квазиустойчивым вплоть до $z=15L_R/\mathrm{4,}$ что соответствует примерно трем метрам. При этом длительность импульса удваивается ν = 2, а относительное смещение частоты достигает значения $\mathrm{\Theta }=1/l\approx \mathrm{0.15.}$

Рис. 2. Качественное изображение потенциальной функции (33) для четырех режимов (а) $\mathbf{0}\mathbf{<}{\mathit{L}}_{\mathbf{d}}\mathbf{/}{\mathit{L}}_{\mathbf{N}}\left(1+l\Theta \right)\mathbf{<}\mathbf{0.5,}$ (б) $\mathbf{0.5}\mathbf{<}{\mathit{L}}_{\mathbf{d}}\mathbf{/}{\mathit{L}}_{\mathbf{N}}\left(1+l\Theta \right)\mathbf{<}\mathbf{1,}$ (в) ${\mathit{L}}_{\mathbf{d}}\mathbf{/}{\mathit{L}}_{\mathbf{N}}\left(1+l\Theta \right)\mathbf{=}\mathbf{1,}$ (г) $\mathbf{1}\mathbf{<}{\mathit{L}}_{\mathbf{d}}\mathbf{/}{\mathit{L}}_{\mathbf{N}}\left(1+l\Theta \right)\mathbf{.}$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С помощью метода моментов проведено аналитическое описание распространения продольно-поперечного импульса в градиентном волноводе с учетом ВКС. Получены аналитические выражения для квазистационарных длительности и поперечного радиуса. Найдены условия квазиустойчивого распространения. Показано, что учет смещения частоты в красную область спектра за счет явления ВКС будет приводить к медленному выходу системы из равновесия.

Работа Халяпина В. А. выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (проект № 075-02-2023-934).