Том 83, № 5 (2019)

Изучены конформно инвариантные интегральные неравенства для вещественнозначных функций, заданных в областях $\Omega$ евклидова пространства размерности $n$. Рассматриваются области гиперболического типа, т. е. такие области, в которых определен гиперболический радиус $R=R(x, \Omega)$, удовлетворяющий нелинейному дифференциальному уравнению Лиувилля и обращающийся в нуль на границе области. Доказаны несколько неравенств, справедливых для всех гладких финитных функций $u$, определенных в заданной области гиперболического типа. Приведем два из них:\begin{gather*}\int|\nabla u|^2R^{2-n}  dx \geq n (n-2)\int|u|^2R^{-n}  dx,\int|(\nabla u, \nabla R)|^p R^{p-s}  dx\geq \frac{2^pn^p}{p^p}\int|u|^pR^{-s}  dx,\end{gather*}где $n\geq 2$, $1\leq p< \infty$ и $1+n/2 \leq s <\infty$.Изучены также некоторые связи между евклидовыми и гиперболическими характеристиками областей.Библиография: 28 наименований.

В статье доказываются новые теоремы о производной функции Минковского.Библиография: 14 наименований.

В работе получено выражение для плотности распределения длин дуг, соединяющих соседние рациональные точки единичной окружности со знаменателями, не превосходящими заданной границы.Библиография: 10 наименований.

Получена явная формула, выражающая пси-функцию Чебышёва через дискретный спектр оператора Лапласа на фундаментальной области модулярной группы.Библиография: 16 наименований.